4.2.3 对数函数的性质与图象导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学导学案聚焦对数函数的性质与图象，通过“温故”环节链接对数运算法则、换底公式等旧知，“知新”部分以表格形式梳理定义、定义域、单调性等核心性质，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料融入对数函数发展的数学史，激发学生用数学眼光观察探究的兴趣，基础过关题分层设计，强化数学思维中的推理与运算能力，表格化梳理与规范解析助力数学语言精确表达，便于自主学习与教师评估。

4.2.3 对数函数的性质与图象 预习提要 1.理解对数函数的概念和单调性； 2.了解对数函数图象及变换； 3.阅读课本P24—P27内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 1.对数的运算法则： loga(MN)= ； logaMα= ； ，其中a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R. 2.换底公式：一般地，我们有 ，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1，这一结果通常称为换底公式. 二、知新：课本研习梳理 1.对数函数的定义：一般地，函数 称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1． 2.对数函数的性质： 定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 R 单调性 在(0，+∞)上是增函数 在(0，+∞)上是减函数 共点性 图象过点 ，即loga1=0 对称性 函数y=logax与 的图象关于x轴对称 基础过关 1.函数的定义域为( ) A.R B. C. D. 2.函数的值域为R的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 3.若函数有意义，且在区间上单调递减，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知是定义在R上的偶函数，且，当时，，若，则实数( ) A. B.1 C.2 D.3 5.已知函数，且的图象恒过点，则函数的单调递减区间为__________. 反思 对数最早由纳皮尔为简化天文计算创造，但在很长一段时间里，人们只把对数当作计算工具，并没有想到它可以形成一条连续曲线。直到欧拉做出重大突破，他发现对数函数正是指数函数的反函数，两条图象关于直线y=x对称。借助这一关系，欧拉总结出对数函数恒过点(1,0)，区分底数大于1和0到1两种不同增减趋势，同时解释为什么对数真数必须大于零。后来柯西用极限完善证明，戴德金夯实实数理论。从一串离散的数字表格，到一条完整优美的对数曲线，历经两百余年一代代数学家接力探索，最终形成我们今天学习的对数函数知识。 答案及解析 温故：课前知识链接 1.logaM+logaN αlogaM 2. 知新：课本研习梳理 1.y=loga x 2.(0，+∞) (1，0) 基础过关 1.答案：D 解析：的定义域满足，解得或，则定义域为. 2.答案：A 解析：当时，，满足值域为R，成立；当时，应有，则，综上， 对于A，是的充分不必要条件，满足； 对于B，是的充要条件，不满足； 对于C，是的必要不充分条件，不满足； 对于D，是的既不充分也不必要条件，不满足. 3.答案：D 解析：由题知且.设，则在区间上单调递减，由复合函数的单调性可得，即.又因为当时，所以，解得.综上得.故选D. 4.答案：D 解析：由题设，又，且，，所以，即，所以，可得（负值舍去）. 5.答案： 解析：当时，，所以的图象过定点，即，，所以，令，解得或，函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递减，即的单调递减区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $