4.3 指数函数与对数函数的关系 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学导学案聚焦指数函数与对数函数的关系及反函数概念，通过“温故”环节的性质对比表格链接旧知，“知新”部分以问题链逐步梳理反函数定义、性质及求解步骤，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料融入反函数思想的历史发展，培养学生数学眼光，基础过关题设计注重反函数性质应用，锻炼数学思维，知新环节通过填空规范数学语言表达，预习目标明确且解析详尽，助力学生自主学习与能力提升。

4.3 指数函数与对数函数的关系 预习提要 1.掌握指数函数与对数函数的关系； 2.理解反函数的概念； 3.阅读课本P30—P32内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 指数函数与对数函数的性质： 函数 指数函数y=ax 对数函数y=loga x 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 0<a<1时为减函数；a>1时为增函数 二、知新：课本研习梳理 1.反函数的定义：一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有 的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的 ．此时，称y=f(x)存在反函数． 2.反函数的表达式：如果函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y=f(x)的反函数的表达式，可以通过对调y=f(x)中的x与y，然后从 中求出y得到． 3.反函数的性质：一般地，函数y=f(x)的反函数记作 ．值得注意的是，y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同.y=f(x)的值域与y=f-1(x)的 相同，y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线 对称． 4.反函数的单调性：由反函数的定义可知，如果y=f(x)是单调函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定存在. 此时，如果y=f(x)是增函数，则y=f-1(x)也是 ；如果y=f(x)是减函数，则y=f-1(x)也是 . 5.反函数的求解步骤： (1)令y=f(x)，对调其中的x和y，得 ； (2)从x=f(y)中解出 ； (3)写出反函数f-1(x)的解析式. 基础过关 1.若函数的图象经过第三、四象限，则的图象经过( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 2.函数的反函数的定义域为( ) A. B. C. D. 3.已知函数的反函数图象过点，则( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.若函数是函数的反函数，则的值为( ) A.16 B.0 C.1 D.2 5.已知函数，它的反函数经过点，则______. 反思 反函数思想最早来自几何曲线的观察，沃利斯注意到交换x与y可以得到一条新曲线。真正里程碑式的工作由欧拉完成。在对数诞生一百多年后，欧拉终于打通指数与对数的联系，证明指数函数和对数函数互为反函数，并且发现二者图象关于直线y=x对称。后来柯西利用极限理论说明，只有一一对应的函数才有反函数，单调函数一定满足这个条件。从几何直观，到经典的指数对数范例，再到严谨的映射定义，一代代数学家不断挖掘“逆向对应”的规律，形成我们今天学习的反函数完整知识。 答案及解析 温故：课前知识链接 R (0,+∞) 知新：课本研习梳理 1.唯一 反函数 2.x=f(y) 3.y=f-1(x) 定义域 y=x 4.增函数 减函数 5.x=f(y) y=φ(x) 基础过关 1.答案：B 解析：因为函数与的图象关于直线对称，所以的图象经过第二、三象限. 2.答案：D 解析：函数的值域为，所以其反函数的定义域为. 3.答案：D 解析：依题意函数的反函数图象过点，所以的图象经过点，所以，解得.故选：D. 4.答案：B 解析：函数是函数的反函数，则.故.故选：B. 5.答案：2 解析：因为函数的反函数经过点，所以函数经过点，所以，又且，所以.故答案为2. 学科网（北京）股份有限公司 $