4.4 幂函数-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

(教师独具内容)

课程标准：通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．

教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质．

教学难点：应用幂函数的性质解决问题．

核心素养：1.通过学习幂函数的概念、幂函数的图象和性质培养数学抽象素养.2.通过应用幂函数的性质解决问题培养逻辑推理素养．

知识点一　幂函数的概念

一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．

[提醒]　幂函数与指数函数的区别

知识点二　一些常用幂函数的图象

同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象如图所示．

知识点三　幂函数的共同特征

(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)．

(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．

(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴．

1．(幂函数图象的公共点)幂函数y＝xα(α是常数)的图象一定经过点(　　)

A．(0，0)   B．(1，1)

C．(－1，1)   D．(1，－1)

答案：B

2．(幂函数的图象)已知幂函数的图象经过点P(16，4)，则该幂函数的大致图象是(　　)

答案：C

3．(幂函数的概念)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________．

答案：3

4．(幂函数的性质)若y＝axa2－是幂函数，则该函数的定义域是________，值域是________，是________(填“奇”或“偶”)函数，单调递减区间是______________，单调递增区间是______________．

答案：R　[0，＋∞)　偶　(－∞，0]　[0，＋∞)

题型一　幂函数的概念　

　已知幂函数y＝(m2－m－1)·xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．

[解]　∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，

∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.

当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；

当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.

故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．

【感悟提升】判断一个函数是否为幂函数的方法

(1)看形式：看该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．

(2)明特征：幂函数需满足以下三个特征：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.