4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图象的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

第2课时　对数函数的性质与图象的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.进一步理解对数函数的性质与图象；会比较对数值大小及解简单的对数不等式. 2.会求对数型函数的单调区间及判断对数函数的单调性. 题型(一)　比较大小 [例1]　比较下列各组数的大小. (1)lo与lo； (2)lo3与lo3； (3)loga2与loga3. 解：(1)y=lox在(0，+∞)上单调递减， 因为<，所以lo>lo. (2)法一：lo3-lo3 =-=. ∵y=lg x是增函数，∴lg<lg<0<lg 3. ∴lo3-lo3<0. ∴lo3<lo3. 法二：因为在x∈(1，+∞)上，y=lox的图象在y=lox图象的上方，所以lo3<lo3. (3)当a>1时，y=logax为增函数，所以loga2<loga3； 当0<a<1时，y=logax为减函数， 所以loga2>loga3. |思|维|建|模| 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. [提醒]　比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小. [针对训练] 1.已知lom<lon<0，则 (　　) A.n<m<1 B.m<n<1 C.1<m<n D.1<n<m 解析：选D　因为0<<1，lom<lon<0，所以m>n>1.故选D. 2.已知实数a=log45，b=，c=log30.4，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 解析：选D　由题知，a=log45>1，b==1， c=log30.4<0，故c<b<a. 题型(二)　解对数不等式 [例2]　解下列不等式. (1)lox>lo(4-x)； (2)logx>1； (3)loga(2x-5)>loga(x-1). 解：(1)由题意可得 解得0<x<2. 所以原不等式的解集为(0，2). (2)当x>1时，logx>1=logxx， 解得x<，此时不等式无解. 当0<x<1时，logx>1=logxx， 解得x>，所以<x<1. 综上所述，原不等式的解集为. (3)当a>1时，原不等式等价于解得x>4. 当0<a<1时，原不等式等价于解得<x<4. 综上所述，当a>1时， 原不等式的解集为(4，+∞)； 当0<a<1时，原不等式的解集为. |思|维|建|模| 常见的对数不等式的3种类型 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y=logax的单调性求解； (3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解. [针对训练] 3.log3(x+2)>1的解集是 (　　) A.(2，+∞) B.(1，+∞) C.(0，1) D.(0，1)∪(1，+∞) 解析：选B　log3(x+2)>1⇒log3(x+2)>log33，又函数y=log3x在(0，+∞)上单调递增，所以x+2>3，解得x>1，故不等式的解集为(1，+∞). 4.不等式lo(2x+3)<lo(5x-6)3的解集是　　　　.  解析：易知lo(5x-6)3=lo(5x-6)3=lo(5x-6)， 由lo(2x+3)<lo(5x-6)3， 可得lo(2x+3)<lo(5x-6). 又函数y=lox在(0，+∞)上单调递减， 所以可得 解得<x<3. 答案： 题型(三)　对数型函数的单调性 [例3]　求函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调区间. 解：由题意，函数f(x)=lo(x2-2x-3)， 设t=x2-2x-3，令t>0，即x2-2x-3>0， 解得x>3或x<-1， 又由t=(x-1)2-4在区间(3，+∞)上单调递增，在区间(-∞，-1)上单调递减， 又由函数y=lot在定义域内单调递减， 结合复合函数单调性的判定方法， 可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，单调递减区间为(3，+∞). [变式拓展] 1.若本例函数变为f(x)=loga(x2-2x-3)，求f(x)的单调区间. 解：由例3知t=x2-2x-3在(-∞，-1)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 若0<a<1，则y=logat单调递减， 所以f(x)=loga(x2-2x-3)在(-∞，-1)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减. 若a>1，则y=logat单调递增， 所以f(x)=loga(x2-2x-3)在(-∞，-1)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增. 2.若本例函数变为y=loga(2-ax)，且在[0，1]上单调递减，求a的取值范围. 解：令y=logat，t=2-ax，当0<a<1时，y=logat为减函数，t=2-ax为减函数，不合题意； 当a>1时，y=logat为增函数，t=2-ax为减函数，符合题意，需要2-ax>0在[0，1]上恒成立，即(2-ax)min>0，所以2-a>0，解得a<2， 从而1<a<2.综上，a的取值范围为(1，2). |思|维|建|模| 形如f(x)=logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域). (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间；g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间. (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间，g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间. [针对训练] 5.(1)求函数y=lo(4x-x2)的单调区间； (2)已知函数f(x)=log2(x2+ax+3)-2在(1，+∞)上单调递增，求a的取值范围. 解：(1)由4x-x2>0，得函数的定义域是(0，4). 令t=4x-x2(0<x<4)， 则y=lot. ∵t=4x-x2=-(x-2)2+4， ∴t=4x-x2(0<x<4)的单调递减区间是[2，4)，单调递增区间是(0，2). 又y=lot在(0，+∞)上是减函数， ∴函数y=lo(4x-x2)的单调递减区间是(0，2)，单调递增区间是[2，4). (2)因为函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，又函数y=log2x在定义域上单调递增， 所以u=x2+ax+3在(1，+∞)上单调递增，且u>0在(1，+∞)上恒成立， 所以-≤1且12+1×a+3≥0， 解得a≥-2， 即a的取值范围为[-2，+∞). 题型(四)　对数型函数的综合问题 [例4]　已知函数f(x)=log2为奇函数，其中a≠-1. (1)求f(0)和实数a的值； (2)若f(x)满足f(1-t)+f(1-t2)>0，求实数t的取值范围. 解：(1)由f(x)=log2，得f(0)=log21=0. 因为函数f(x)是奇函数，所以f(-x)+f(x)=0， 即log2+log2 =log2=0=log21， 即·=1， 则1-a2x2=1-x2， 所以a2=1，又因为a≠-1，所以a=1. (2)由(1)知f(x)=log2，由>0， 解得-1<x<1，则f(x)的定义域为(-1，1)，因为f(x)=log2=log2，所以f(x)在(-1，1)上为减函数.又因为f(1-t)+f(1-t2)>0， 即f(1-t)>-f(1-t2)=f(t2-1)， 所以解得1<t<， 所以实数t的取值范围为(1，). |思|维|建|模| (1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解； (2)判断函数的奇偶性，一定要先求函数的定义域，再研究f(x)与f(-x)的关系. 　　[针对训练] 6.已知函数f(x)=为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数g(x)=log3·log3+m，若对任意的x1∈[3，27]，总存在x2∈(0，2]，使得g(x1)=f(x2)成立，求实数m的取值范围. 解：(1)函数f(x)=中，3x+a≠0. 由f(x)是奇函数，得f(x)+f(-x)=0， 即+=0，整理得(a+1)(3x+3-x+2)=0，解得a=-1.此时f(x)=， 满足f(x)+f(-x)=+=+=0，即函数f(x)为奇函数，符合题意.所以实数a的值为-1. (2)由(1)知f(x)==1+，显然y=f(x)在(0，2]上单调递减，所以函数f(x)在(0，2]上的值域A=.又g(x)=log3·log3+m=(log3x-1)(log3x-2)+m，x∈[3，27]， 设t=log3x，则t∈[1，3]，y=(t-1)(t-2)+m=t2-3t+2+m，当t=时，有ymin=-+m，当t=3时，有ymax=2+m，因此函数g(x)在[3，27]上的值域B=.由对任意的x1∈[3，27]，总存在x2∈(0，2]，使得g(x1)=f(x2)成立，可知B⊆A，于是-+m≥，解得m≥. 所以实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $