第21章 一元二次方程 小结与复习 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及实际应用，通过知识框架图串联从实验问题到方程应用的逻辑脉络，结合表格对比四种解法的理论依据与适用形式，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于采用“典例引领-分层训练-实际应用”策略，如通过水渠宽度计算、商场调价问题培养模型意识与应用意识，A/B/C组习题分层设计满足不同学生需求，助力学生提升运算能力与推理意识，教师可依托资料精准实施复习教学。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 小结与复习 1 实验问题 直接开平方法 公式法 因式分解法 配方 平方根 一元二次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程的根 根的判别式 根与系数的关系 一元二次方程 分析数量关系 知识结构 2 1.一元二次方程的解法 方法名称 理论根据 使用方程的形式 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 平方根的定义 完全平方公式 配方法 两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0 x2 = p 或 (mx + n)2 = p(p ≥ 0) 所有的一元二次方程 所有的一元二次方程 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程 ① ② ③ 优先选择 要点巩固 2. 一元二次方程根的判别式 Δ = b2 – 4ac （1）当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； （3）当 Δ < 0 时，方程无实数根. 在应用时，要根据根的情况限定 Δ 的取值，同时应注意二次项系数不为 0 这一条件. 3.一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根与系数的关系，在应用时要注意变形. 同时要明确根与系数的关系成立的两个条件： （1）a ≠ 0，（2）Δ ≥ 0 x1＋x2＝－，x1x2＝. 4. 应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意. 知识模块一　一元二次方程的概念及其解法 自学互研 1. 形如ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)的方程是一元二次方程，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项． 典例1：若关于x的方程(a－1)x2＋3ax－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是______． a≠1 2．一元二次方程的解法(直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法) 典例2：解下列方程： (1)(x＋1)2－9＝0；　(2)(x－3)2＋2x(x－3)＝0； (3)2x2－5x＋2＝0； (4)2x2－9x＋8＝0. 解：(1)移项，得(x＋1)2＝9. 直接开平方，得x＋1＝±3， 即x1＝2，x2＝－4. (2)方程左边分解因式，得(x－3)(x－3＋2x)＝0. ∴x－3＝0或x－3＋2x＝0， 得x1＝3，x2＝1. (3)原方程可化为x2－x＝－1. 配方，得x2－x＋＝－1＋. 即( x－ ) 2＝. 直接开平方，得x－＝±. ∴x1＝，x2＝2. (4)这里a＝2，b＝－9，c＝8. ∵b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝17＞0， ∴x＝＝＝， 即x1＝，x2＝. 11 知识模块二　一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系 自学互研 典例3：已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根． (1)求整数m的最大值； (2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式＋－x1x2的值． 解：(1)∵一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根， (2)∵m＝1， ∴Δ＝(－2)2－4m＝8－4m＞0，解得m＜2. ∴整数m的最大值为1. ∴此一元二次方程为x2－2x＋1＝0. ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1. ∴ ＋－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝(2)2－3×1＝8－3＝5. 知识模块三　一元二次方程的实际应用 自学互研 典例4：如图，在一块长92 m、宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠的宽度为____m. 1 典例5：某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至32.4元． (1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？ 解：(1)设降价率为x. 由题意，得40(1－x)2＝32.4. 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不符合题意，舍去). 答：这个降价率是10%. (2)(40－32.4)÷0.2×10＝380(件)， 典例5：某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至32.4元． (1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率； (2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？ ∴两次调价后，每月可销售该商品500＋380＝880(件). 答：两次调价后，每月可销售该商品880件． 复习题 A 组 1.解下列方程: (1) 3x2=2x; (2)6x2－40=0; (3) x(3x－1)=3－x; (4)y(y－2)=4－y; (5)4x(1－x)=1; (6)(t－2)-3t2=0. 解： (1) 移项，得3x2－2x=0 因式分解法，得x (3x－2) =0 ∴x =0或3x－2)=0， ∴ x1 =0或x2 = . (2) 移项，得6x2=40， 两边同时除以6，得x2= = ∴x =± =± ， ∴ x1 =或x2 = － . (3) 整理，得x2－1=0 因式分解法，得 (x－1) (x＋1) =0 ∴x －1 =0或x＋1 =0， ∴ x1 =1或x2 = － 1. (4) 整理，得y2－2y － 4=0 Δ =(-1) 2 －4×1×(－ 4) =17 ∴y =， ∴ y1 =或y2 = . (5) 4x2 －4x＋ 1=0 ∴ 2x－1 =0， ∴ x1 =x2 = . (2x－1) 2=0 (6) t2 －2t＋3t2 =0 ∴ －2t =0或t ＋1=0 ， ∴ t1 = 0或t2 =－ 1. －2t2 －2t=0 －2t (t ＋1) =0 2.已知关于x的方程x2－3x+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根? (3)当k取何值时，方程没有实数根? 解： 这里a=1 ， b=－3 ， c=1， ∴Δ =(-3) 2 －4×1×k =9－4k. ∴ (1)当9－4k＞0，即k＜时，方程有两个不相等的实数根. (2)当9－4k = 0，即k = 时，方程有两个相等的实数根. (3)当9－4k ＜ 0，即k ＞ 时，方程没有实数根. 3.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积: (1)2x2 +5x－1=0; (2) (x+2)2=2(x2+3). 解：(1) Δ =52 －4×2×(－1) =25＋8＝33＞0, 所以x1＋x2 =－ x1·x2 =－ . (2) 整理，得x2 －4x ＋2=0. ∴Δ =(－4)2 －4×1×2 =8＞0, 所以x1＋x2 =4 x1·x2 =2 . 4.已知A=2x2+7x－1，B=4x+1,分别求出满足下列条件的x的值: (1)A与B的值互为相反数; (2)A的值比B的值大3. 解：(1) A＋B＝0，即2x2+7x－1+4x+1＝0, 整理，得2x2+11x ＝0. 解得x1＝0 ，x2＝－. (2) A － B＝3，即2x2+7x－1 － (4x+1)＝3, 整理，得2x2+3x－5＝0. 解得x1＝1，x2＝－. 5.已知关于x的方程(2x－m)(mx＋1)=(3x+1)(mx－1)有一个根是0，求它的另一个根和m的值. 解:因为x=0是方程的根,将其代人(2x－m)(mx＋1)=(3x+1)(mx－1),得－m= － 1,即m=1, 所以原方程为(2x－1)(x＋1)=(3x+1)(x－1) , 整理，得x2－3x=0， 方程左边分解因式,得x(x－3)=0, 所以x1＝0， x2＝3, 所以方程的另一个根为3，m的值为1. 6.已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数. 解:设中间的一个奇数为a,则较小的一个奇数为a－2,较大的一个奇数为a＋2, 由题意,得(a－2)2+a2+(a+2)2=371. 解得a1=11， a2=－11. 所以这三个连续奇数为9,11,13或-13，-11，-9. 7.要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽为4m的绿化带，使余下部分的面积为100m2.求原正方形广场的边长.(精确到0.1m) 解:设原正方形广场的边长为x米， 由题意,得x2-4x=100, 解得x1=2＋2， x2=2－2(不符合题意，舍去) 所以x=2＋2≈12.2(米). 答:原正方形广场的边长约为12.2米. 8.村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为1.6m2的等腰梯形，它的上底比渠深多2m，下底比渠深多0.4m.求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度. 解:设渠深为x米，则上底边的长为(x+2)米，下底边的长为(x+0.4)米， 由题意,得(x+2+x+0.4)x=1.6, 整理,得x2+1.2x－1.6=0. 解得x1=0.8， x2=－2 (不符合题意，舍去) 则x+2=2.8， x+0.4=1.2. 答:灌溉渠横截面上、下底边的长分别为2.8米、1.2米,渠深为0.8米. 9.如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30n mile (n mile单位“海里”符号)的A处有一艘可疑船只，测得它正以60kn的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75kn的速度准备在B处拦截.问:经过多少时间能赶上? A B O 北 解:设经过x小时能赶上， 则AB=60x海里,OB=75x海里, OA=30海里. 在Rt△OAB中,由勾股定理,得(60x)2+302=(75x)2. 解得x1=， x2=－ (不符合题意，舍去) 答:经过小时(即40分钟)能赶上. B 组 10.解下列方程: (1) 4(x－2)2－(3x－1)2=0; (2)(2x－1)2+3(2x－1)+2=0; (3) x2+5=2x; (4) x2－x－2=0. 解: (1) x1 =1， x2 =－3. (2) x1 =0， x2 =－. (3) x1 = x2 =. (4) x1 =－ ， x2 =. 11.已知x=1是一元二次方程(a－2)x2+(a2－3)x－ a+1=0的一个根，求a的值. 解:把x=1代入原方程,得a2－4=0， 解得a1= 2，a2=－2. 因为二次项系数不为零，即a－2≠0, 所以a=－2. 12.已知关于x的方程2x2－4x+3q=0的一个根是1－，求它的另一个根和q的值. 解:设另一个根为x，由根与系数的关系知x1＋1－＝－＝ 所以x1 ＝1＋ . 又因为(1＋)× (1－) ＝ . 所以. 所以方程的另一个根为1＋， 的值为. 13.已知关于x的方程(m－1)x2－(m－2)x－2m=0，它总是二次方程吗?试求出它的根. 解：不一定是二次方程，有以下两种情况： 当m=1时，方程是x－2=0,是一元一次方程，此时x =2; 当m≠1时，方程是一元二次方程，原方程即为[(m－1)x＋m] (x－2)=0， ∴ x1 = －， x2 =2， 故当m=1时，不是二次方程，此时x=2； 当m ≠ 1时，是二次方程，方程的解是x1 = －， x2 =2. 14.已知代数式x2－5x+7，先用配方法证明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数;再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少? 解：由题意得x2－5x+7＝(x－ )2+, ∵ (x－ )2≥0， ∴(x－ )2+ ， ∴(x－ )2+， ∴这个代数式的值总是正数. 设代数式的值为M,则有M=x2-5x+7， M=(x－ )2+， ∴当x =时，这个代数式的值最小为. 15.学校原有一块面积为1500m2的矩形场地，现结合环境整治，将场地的一边增加5m，另一边减少5m，结果场地的面积增加了10%.求现在场地的长和宽. 解：设现在场地的一边长为x米，由于现在场地的面积为1500×(1＋10％)＝1650m2，故宽为m， 根据题意有:(x－5) (＋5) ＝1500， 化简得，x2 ＋25x-1650=0， 解得：x1=30， x2=－55(不符合题意，舍去). 当x=30时， ＝55. 答:现在场地的长为55米，宽为30米. C 组 16.解方程: (1)(x2－x)2 － 5(x2-x)+6=0; (2) － = 1. 解：(1)设a=x2－x,则原方程为a2-5a+6=0， 解得a=2或a=3， 当a=2时，x2－x=2，解得x1=2， x2=－1. 当a=3时，x2－x=3，解得x1=， x2=. 所以原方程的解为x1=2， x2=－1 ，x3=， x4=. (2)设y=,则原方程为y － =1，即y2－y－2=0， 解得y1=2， y2=－1. 当y=2时，=2，2x2－x－1=0， 当y=－1时，= －1 ，x2＋x＋1=0， 所以原方程的解为x1=1， x2=－. 解得x1=1， x2=－ Δ =1－4 = －3＜0,所以此方程无解； 17.证明:对于任何实数m，关于x的方程 (x－1)(x －2)=m2总有两个不相等的实数根. 证明:方程化为一般式为:x2-3x+2-m2=0， ∴Δ =32-4(2-m2) =4m2+1, ∵ 不论m取何值，4m2≥0， ∴Δ ＞0, ∴不论m取何值时，关于x的方程 (x－1)(x －2)=m2总有两个不相等的实数根. 18.设方程2x2+3x－4=0的两根为x1、x2，求下列各式的值: (1) +； (2) + . 解： 2x2+3x－4=0，这里a=2，b=3， c=－4， ∴ (1) += = (2) + == 19.已知y≠0,且3x2－2xy－8y2=0,求的值. 解:∵3x2-2xy-8y2=0 ∴ (3x+4y)(x-2y)=0 ∴3x+4y=0或x-2y=0, ∴x=y或x=2y, 当x= y时，=； 当x=2y时，=2. 20.已知关于x的方程mx2－(2m－1)x+m-2=0. (1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根? (2)当m取何值时，方程有实数根? 解:当m=0时，原方程为一元一次方程. 当m≠0时，原方程为一元二次方程， ∴Δ =[-(2m-1)]2-4×m (m-2) =4m+1. (1)当4m+1＞0且m≠0时，即m＞-时，方程有两个不相等的实数根. (2)当4m+1≥0且m≠0或m=0时，即m ≥ -时，方程有实数根. 21.某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元.经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%.若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施?请将本题补充完整并解答. 解 措施1 降低产品成本 问题:求每个季度平均降低成本百分率? 设每个季度平均降低成本百分率为x. 根据题意，得65(1-10%)(1+4%)-50 (1- x)2=15. 解这个方程，得符合题意的近似解x≈4.3%. 答:每个季度平均降低成本百分率约为4.3%. 措施2 降低产品成本 问题:求半年后每件产品降低成本多少元? 设半年后每件产品成本降低x元. 根据题意，得65(1-10%)(1+4%)- (50 - x)=15. 解这个方程，得x＝4.16. 答:半年后每件产品降低成本4.16元. 措施3 增加产量 问题:求每个季度产品平均增长百分率. 设每个季度产品平均增长率为x，原单位时间内产量a个. 根据题意,得65a(1-10%)(1+4%)·(1+x)2－50a(1+x) 2=15a. 解这个方程,得符合题意的近似解x≈17.6%. 答:每个季度产品平均增长率约为17.6%. $