2.1-2.2 圆的标准方程与一般方程 讲义-2026-2027学年高二上学期 数学北师大版选择性必修第一册

2.1 圆的标准方程 BS 2.2 圆的一般方程 BS 目录 考点一 求圆的标准方程 2 考点二 根据圆一般方程求参数 9 考点三 点与圆的位置关系 14 考点四 对称问题 21 考点五 轨迹方程 23 考点一 求圆的标准方程 【例1】写出下列圆的标准方程： ①圆心为原点，半径为； ②圆心为点，半径为； ③经过点，圆心为点; ④已知点，求以线段为直径的圆的标准方程。 【答案】（1）①；②；③；④ 【例2】 过点，且圆心在直线上的圆的方程是( ) A． B． C． D． 答案：C 本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D， 点在圆上，排除A故选C 【例3】已知点，，，则外接圆的圆心坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即. 线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即. 由.所以外接圆的圆心坐标为.故选：A 典例： 1．若不同的四点共圆，则实数__________． 【答案】-1或5 【详解】易知圆心在线段的垂直平分线上，该直线方程为，设圆心坐标为，半径为，所以，解得，所以所求圆的方程为， 点在圆上，所以，解得或． 故答案为：-1或5 2、已知为坐标原点,直线与直线的交点为,则直线的倾斜角的取值范围为( ) 变式训练： 1．设，则以线段为直径的圆的方程是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的中点坐标为，圆的半径为， 所以圆的方程为.故选：A. 2．圆心为，且与x轴相切的圆的标准方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆心为，圆与x轴相切，所以圆的半径为2， 所以圆的标准方程为，故选：B 3．已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________. 【答案】 【解析】由题得圆心的坐标为(1,0)，|MN|= 所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为 4.圆C的圆心为点，且经过点，则圆C的方程为________. 【答案】 【解析】由于圆C的圆心为点，且经过点， 圆的半径为，则, 所以圆的方程为， 故答案为：. 5.已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 线段的中点为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为， 故选：D． 6.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 7．以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 8.已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 9.写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆心在，半径长是， 故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． 10.过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 11．经过点且圆心在直线上的圆的方程是____. 【答案】 【解析】设圆的方程为 因为圆心在直线上，得，所以可得圆的方程为， 因为圆经过点， 所以，解得， 因此，所求圆的方程为， 故答案为． 12.求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 13．过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 14、经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 15、已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 考点二 根据圆一般方程求参数 【例1】圆的方程的圆心坐标为__________，半径为_________。 解析：将一般方程化成标准方程，即圆心坐标为（2,0），半径为2. 【例2】方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是(　　) A．a<－2或a> B．－<a<2 C．－2<a<0 D．－2<a< 【答案】D 【解析】由题意可得圆的标准方程，由解得，选D. 典例： 1．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 变式训练： 1．已知圆，则圆心及半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆， 即，所以圆心为，半径为.故选：A 2．已知圆圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为_____. 【答案】 【解析】圆的标准方程为，则点， 线段的中点为，且， 因此，以为直径的圆的标准方程为. 故答案为：. 3．将圆平分的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可， 由，得， 所以圆心坐标为， 对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误， 对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误， 对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确， 对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误， 4．方程x2+y2+ax2by+c＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( ) 【答案】B 【解析】x2+y2+ax﹣2by+c＝0可化为： ，解得故选：B 5.曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得， 故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为 . 故选：D. 6．圆的圆心到直线的距离为2，则( ) A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】圆的标准方程是，圆心为， ∴，解得．故选：B. 7．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于方程表示的曲线为圆，则，解得. 因此，实数的取值范围是.故选：B. 8． “”是“为圆方程”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】方程表示圆需满足或，所以“”是“为圆方程”的充分不必要条件，故选：A. 9．若方程表示圆，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由方程表示圆，则满足， 整理得，解得或， 即实数的取值范围是.故答案为：. 10.若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 11．若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 【答案】B 【详解】 由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1. 12．已知为圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】72 【详解】由，得，则圆心，半径， 所以， 设，由在圆上，可得， 又， 则， ，∴当时，取到最大值. 故答案为：72. 考点三 点与圆的位置关系 【例1】点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】A 【解析】因为a2＋52＝a2＋25＞24，所以点P在圆外． 【例2】已知和满足，求 （1）的最值；（2）圆上一点与所围成的三角形的面积最大值和最小值。 解：（1）表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，则最大值为圆心到原点的距离加上半径的和的平方，最小值为圆心到原点的距离减去半径的差的平方。 圆心到原点的距离为：，圆的半径为 所以得最大值为：，最小值为： （2）依题意：， 的直线方程为，圆心到直线的距离为， 所以点P到直线AB距离的最大值为：，点P到直线AB距离的最小值为： 所以， 典例： 1．(2018 新课标三卷)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 详解：直线分别与轴，轴交于，两点 ,则 点P在圆上 圆心为（2，0），则圆心到直线距离 故点P到直线的距离的范围为 则 故答案选A. 2．若满足，，则最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， . 因为，故可设，， 则，其中. 故当时取小值. 故选：D 3．已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，，则， 整理后， 与已知轨迹方程展开整理得：， 对照，得，解得，所以. 则当、、三点共线时取得最小值 故选：B. 变式训练： 1．点在圆的( ) A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定 【答案】A 【解析】将点的坐标代入圆的方程即，∴点在圆上， 故选：A 2.已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 3.“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 4.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 【答案】A 【详解】点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴ (2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1. 5.若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 6．若点在圆内，则的取值范围( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，解得．故选：A． 7．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是( ) A．(1,1) B．(0,1) C． D． 【答案】A 【解析】因为点在圆的内部，则，解得.故选A. 8．若M(x0，y0)为圆x2+y2=r2(r＞0)上一点，则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【解析】因为M(x0，y0)为圆x2+y2=r2(r＞0)上一点，所以 因此圆心O到直线x0x+y0y=r2距离为，即直线x0x+y0y=r2与该圆相切，选A. 9.若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】把原点坐标代入圆的方程得:解得：本题正确选项： 10、圆上的点到点的距离可能为（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 11.圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 【答案】C 【详解】 圆心为(2，0)，半径1，所以圆上的点到原点的距离d满足2－1≤d≤2＋1，即1≤d≤3. 12.已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C 13.已知和满足，求的最大值和最小值。 【答案】最大值为 ；最小值为 14.已知和满足，求的取值范围。 【答案】 15.已知圆，点.设点P是圆C上的动点，令，求的最大值及最小值。 【答案】最大值：74 最小值：34 16.已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆化为， 则圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆上，则， 当的面积最大时，， 在中，，则， 所以， 所以. 故选：A. 17.已知复数满足，则的最大值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设， 由已知可得， 所以位于原点为圆心，半径为的圆上. 又， 可以看做点到圆上点的距离. 因为点在圆外，且， 所以，点到圆上点的距离的最大值为， 所以，的最大值为3. 故选：A． 18.已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】设，∵， ∴，表示以为圆心，2为半径的圆， ∴，表示圆上的点到点的距离， ∴的最小值为. 故选：A. 考点四 对称问题 【例1】已知圆C：x2+y2=4，则圆C关于直线l：对称的圆的方程为(　　) A．x2+y2﹣6x+6y+14=0 B．x2+y2+6x﹣6y+14=0 C．x2+y2﹣4x+4y+4=0 D．x2+y2+4x﹣4y+4=0 【答案】A 【解析】设圆心C(0，0)关于直线l：x﹣y﹣3=0的对称点为D(a，b)， 则由⇒；∴对称圆的方程为(x﹣3)2+(y+3)2=4⇒x2+y2﹣6x+6y+14=0． 故选：A 变式训练： 1．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，圆心为，半径，则圆的方程为，故选：C． 2．圆关于直线：对称的圆的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为2， 设关于直线：的对称点为， 则，解得． 所以，则圆关于直线对称的圆的方程为．故选：C． 3．圆上有任意两点A,B关于直线对称，则k=( ) A．2 B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】由题意得直线经过圆心，所以，解得，故选A 4.圆关于直线对称的圆的标准方程是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有，圆的圆心C，半径为3，设所求圆的圆心为， 由圆C和圆C’关于直线l对称得，点C和点C’关于直线l对称， 则，解得， 则所求圆的标准方程是．故选：A． 5.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为_______ 【答案】 6.求圆关于点（3,1）对称的圆的方程。 【答案】 考点五 轨迹方程 【例1】已知动点P到点A(4,1)的距离是到点B(-1,-1)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】设，则由题意可知，即，化简整理得. 【例2】设圆的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是__________________. 【答案】x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 【解析】 设PA的中点M的坐标为， ，圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A坐标为，由已知有 ，则，又P点在圆上，所以，所以，即． 典例： 1．已知点，，点A关于直线的对称点为点B，在中，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的坐标为，则，则的坐标为， 设，， ． 所以. 故选：C 2．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于直线， 即，所以在直线上， 设，其中， 由两边平方得， 即， 整理得， 由于，所以 ，其中， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 且最大值为，则，解得. 故选：A 变式训练： 1．若动点到两点的距离之比为，则点的运动轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】设点，则，， 所以，化简得.故答案为：. 2.平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 3．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【详解】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 4.已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则满足.故 .故. 又点在圆上.故.故选:C 5．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设中点的坐标为，则， 因为点在圆上，故，整理得到. 故选：D. 6、在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点的坐标为，点的坐标为， 依题意点在圆上，可得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 7．点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆上任意一点为，中点为， 则，可得， 代入得， 化简得． 故选：D． 8.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：C. 9.（多选）已知倾斜角为的直线过点，动点在直线上，为坐标原点，动点满足，则下列结论正确的是（    ） A．直线的方程为 B．动点的轨迹方程为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】由倾斜角为得出斜率为1，,直线过点，得直线的方程为，故选项错误； 设， 可得动点的轨迹为圆，故选项B正确； 因为圆心到直线的距离，所以由 可知线段最小值为，线段无最大值，所以选项错误､正确. 故选:. 10、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 【答案】 【详解】设，则， 整理得（或）. 设，则， 故 . 令，则=. 故答案为：； . 11．已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 圆的标准方程 BS 2.2 圆的一般方程 BS 目录 考点一 求圆的标准方程 2 考点二 根据圆一般方程求参数 5 考点三 点与圆的位置关系 7 考点四 对称问题 10 考点五 轨迹方程 12 考点一 求圆的标准方程 【例1】写出下列圆的标准方程： ①圆心为原点，半径为； ②圆心为点，半径为； ③经过点，圆心为点; ④已知点，求以线段为直径的圆的标准方程。 【例2】 过点，且圆心在直线上的圆的方程是( ) A． B． C． D． 【例3】已知点，，，则外接圆的圆心坐标为( ) A． B． C． D． 典例： 1．若不同的四点共圆，则实数__________． 2、已知为坐标原点,直线与直线的交点为,则直线的倾斜角的取值范围为( ) 变式训练： 1．设，则以线段为直径的圆的方程是( ) A． B． C． D． 2．圆心为，且与x轴相切的圆的标准方程为( ) A． B． C． D． 3．已知两点，以线段为直径的圆的方程为________________. 4.圆C的圆心为点，且经过点，则圆C的方程为________. 5.已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 6.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 7．以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 8.已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9.写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 10.过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 11．经过点且圆心在直线上的圆的方程是____. 12.求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 13．过三点的圆的标准方程是 . 14、经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 15、已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 考点二 根据圆一般方程求参数 【例1】圆的方程的圆心坐标为__________，半径为_________。 【例2】方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是(　　) A．a<－2或a> B．－<a<2 C．－2<a<0 D．－2<a< 典例： 1．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 变式训练： 1．已知圆，则圆心及半径分别为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆圆心为，为坐标原点，则以为直径的圆的标准方程为_____. 3．将圆平分的直线是（    ） A． B． C． D． 4．方程x2+y2+ax2by+c＝0表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( ) 5.曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 6．圆的圆心到直线的距离为2，则( ) A． B． C． D．2 7．已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 8． “”是“为圆方程”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．若方程表示圆，则的取值范围是 ． 10.若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 12．已知为圆上的动点，则的最大值为 . 考点三 点与圆的位置关系 【例1】点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【例2】已知和满足，求 （1）的最值；（2）圆上一点与所围成的三角形的面积最大值和最小值。 典例： 1．(2018 新课标三卷)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若满足，，则最小值是（    ） A． B． C． D． 3．已知点在圆上，A（，0），，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 变式训练： 1．点在圆的( ) A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．无法判定 2.已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 3.“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 5.若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若点在圆内，则的取值范围( ) A． B． C． D． 7．若点在圆的内部，则实数a的取值范围是( ) A．(1,1) B．(0,1) C． D． 8．若M(x0，y0)为圆x2+y2=r2(r＞0)上一点，则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 9.若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 10、圆上的点到点的距离可能为（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 11.圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 12.已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 13.已知和满足，求的最大值和最小值。 14.已知和满足，求的取值范围。 15.已知圆，点.设点P是圆C上的动点，令，求的最大值及最小值。 16.已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 17.已知复数满足，则的最大值为（   ） A．3 B． C．2 D． 18.已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 考点四 对称问题 【例1】已知圆C：x2+y2=4，则圆C关于直线l：对称的圆的方程为(　　) A．x2+y2﹣6x+6y+14=0 B．x2+y2+6x﹣6y+14=0 C．x2+y2﹣4x+4y+4=0 D．x2+y2+4x﹣4y+4=0 变式训练： 1．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( ) A． B． C． D． 2．圆关于直线：对称的圆的方程为( ) A． B． C． D． 3．圆上有任意两点A,B关于直线对称，则k=( ) A．2 B． C． D．不存在 4.圆关于直线对称的圆的标准方程是( ) A． B． C． D． 5.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为_______ 6.求圆关于点（3,1）对称的圆的方程。 考点五 轨迹方程 【例1】已知动点P到点A(4,1)的距离是到点B(-1,-1)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为______. 【例2】设圆的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是__________________. 典例： 1．已知点，，点A关于直线的对称点为点B，在中，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练： 1．若动点到两点的距离之比为，则点的运动轨迹方程为__________. 2.平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 4.已知定点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是( ) A． B． C． D． 5．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是( ) A． B． C． D． 6、在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（    ） A． B． C． D． 7．点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 8.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9.（多选）已知倾斜角为的直线过点，动点在直线上，为坐标原点，动点满足，则下列结论正确的是（    ） A．直线的方程为 B．动点的轨迹方程为 C．的最大值为 D．的最小值为 10、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 11．已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 5 学科网（北京）股份有限公司 $