1.2.4圆与圆的位置关系（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

2.4 圆与圆的位置关系 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 思考：我们如何判断直线与圆的位置关系？ 代数法：联立直线和圆的方程 几何法：求圆心到直线的距离 有两解 有一解 无解 相交 相切 相离 比较 章节导读 2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程 2.3直线与圆的位置关系 2.4圆与圆的位置关系 圆的标准方程 点与圆的位置关系 相离 相切 相交 直线与圆的弦长问题 圆的一般方程 点与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 公共弦与公切线问题 学 习 目 标 1 2 3 数形结合理解圆与圆的位置关系及其判断方法. 掌握用代数法和几何法判断两圆的位置关系. 能灵活联立方程求公共弦方程和公共弦长等问题. 读教材 阅读课本P35-P37，6分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“圆与圆的位置关系”吧！ 1.圆与圆的位置关系有哪些？用什么方法具体判断呢？ 2.能否类比直线与圆，联立方程判断圆与圆的位置关系呢？ 新课引入 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 类比直线与圆的位置关系的研究方法，运用圆的方程， 通过定量计算研究圆与圆的位置关系？ 学习过程 01 03 02 目录 1 圆与圆的位置关系 2 相交－－公共弦问题 3 题型训练 新知探究1 问题：回忆初中所学的知识，圆与圆的位置关系有哪些？ 　　 外离 无公共点 外切 1个公共点 相交 2个公共点 内切 1个公共点 内含 无公共点 如何判断圆与圆的位置关系呢？ 新知探究1 探究1 已知两个圆的圆心和半径，如何判断圆与圆的位置关系？ 相交： 内 几何方法能直观的展现圆与圆的位置关系，且计算量不大，作为首选方法 新知探究1 探究1 类比直线与圆，联立两圆方程如何判断圆与圆的位置关系？ 圆与圆相交 圆与圆相切(内切、外切) 圆与圆相离(内含、外离) 两组解 一组解 无解 代数方法能求出交点坐标，但Δ=0，Δ<0 时，不能准确判断圆与圆的位置关系. 运算难 新知1 圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系: 2.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系，步骤： (1)求出两圆的 圆心坐标及半径r1, r2； (2)求两圆的圆心距d； (3)比较d与|r1-r2|, r1+r2的大小关系，得出结论 两圆位置关系 相交 外离 内含 外切 内切 图形 圆心距与两圆半径的关系 两圆交点个数 2 0 0 1 1 典例分析 例1 画图并判断圆C1：x2 +y2 +2x=0 和圆C2：x2 +y2–2y =1的位置关系？ 解：如图，由已知，得： C1：(x+1)2+y2=1,圆心C1(－1，0)，半径r1=1； C2：x2+(y+1)2=2,圆心C2(0,-1),半径r2= 则有： ∴圆C1与圆C2相交. 课本第36页 典例分析 例2 圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 B 解:把圆O1和圆O2化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4， 典例分析 例3 圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0 的位置关系为( ) A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 C 解:由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3， 则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切. 典例分析 例4 圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O：x2 +y2 =1相外切，求圆C的方程？ 解：设圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2，因为圆C与x轴和y轴都相切， 所以|a|=|b|=r.①，因为圆C与圆O：x2 +y2 =1相外切， 所以： 由方程①化简方程②，得： ，所以 ， ② 所以圆C的方程为： 或 或 或 课本第36页 典例分析 例5 已知以C(4,－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切,求圆C 的方程？ 解:设圆C的半径为r， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 学习过程 01 03 02 目录 1 圆与圆的位置关系 2 相交－－公共弦问题 3 题型训练 新知探究2 思考 当两个圆的一般式方程相减时，会得到什么结果？ 当不全为0时， 此时式表示直线； 当全为0时， 此时式表示两圆圆心重合， 我们将这样的圆称为同心圆； r R 这条直线和两个圆之间有什么关系呢？ 新知探究2 思考 当两个圆的一般式方程相减时，会得到什么结果？ 该直线总与两圆圆心连线垂直； 当两圆相交时，该直线为两圆的公共弦；当两圆相切时，该直线为两圆的公切线. 新知探究2 探究2 当圆与圆相交时，如何求公共弦所在的直线方程的方程？ 设两圆的交点为 点也在两个圆上， 则直线AB的方程为 两圆的一般方程相减 新知探究2 探究2 当圆与圆相交时，如何求公共弦的弦长？ 设两圆的交点为 直线AB的方程为 求出点 方程组的解 ⇳ 两圆的交点坐标 新知探究2 探究2 当圆与圆相交时，如何求公共弦的弦长？ －直线AB的方程为 新知2 相交－－公共弦问题 2.相交－－公共弦问题: 设两圆的交点为 直线AB的方程为 求出点 公共弦方程： 典例分析 例1 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. 求两圆公共弦所在直线的方程及弦长? 解:设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， ①－②，得x－y＋4＝0，即x－y＋4＝0即为两圆公共弦AB所在直线的方程. 典例分析 例2 已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l： x＋2y＝0.当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r 的值？ 解：由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2， 又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0， 两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0，因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)， 即r2＝9(r>0)，解得r＝3. 方法总结 公共弦方程与公共弦长公式： 直线AB的方程为 公共弦方程： 求出点 学习过程 01 03 02 目录 1 圆与圆的位置关系 2 相交－－公共弦问题 3 题型训练 判断圆与圆的位置关系 题型1 题型探究 例1 已知圆C1：， 圆C2：， 试求为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切； (2)相交； (3)外离； (4)内含? 判断圆与圆的位置关系 题型1 题型探究 解:圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 判断圆与圆的位置关系 题型1 题型探究 例2 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. 求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程？ 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 方法总结 过两圆交点的圆的方程： F2:已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， 圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交， 则过两圆交点的圆的方程可设为： x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). F1:求两圆的交点坐标计算量大 题型探究 圆与圆相交求弦长问题 题型2 解：将两圆的方程相减， 所以a＝1. 题型探究 例4 已知两圆和圆 (1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度？ 圆与圆相交求弦长问题 题型2 解：(1)将两圆的方程写成标准方程为 .所以两圆的圆心和半径分别为 ∴两圆相交. 题型探究 例4 已知两圆和圆 (1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度？ 圆与圆相交求弦长问题 题型2 解：(2)因为两圆相交，将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为 (3)F1：由(2)知圆的圆心到直线的距离 ， ∴公共弦长为. F2：设两圆相交于与点，则，两点满足方程组 解得∴.即公共弦长为. 课堂小结 1.圆与圆的位置关系: 2.几何法：判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小关系，步骤： (1)求出两圆的 圆心坐标及半径r1, r2； (2)求两圆的圆心距d； (3)比较d与|r1-r2|, r1+r2的大小关系，得出结论 两圆位置关系 相交 外离 内含 外切 内切 图形 圆心距与两圆半径的关系 两圆交点个数 2 0 0 1 1 课堂小结 2.相交－－公共弦问题: 设两圆的交点为 直线AB的方程为 求出点 公共弦方程： 感谢聆听！ = 则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝＝<r1＋r2， 又r2－r1<，所以两圆相交. 圆心距d＝＝5， = = 则A，B两点坐标是方程组的解. 又圆C1的圆心(－3,0)，r＝， ∴C1到直线AB的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. = ∴|C1C2|＝＝a. 其圆心为，代入x－y－4＝0， 例3若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，求a的值？ 得相交弦所在的直线方程为y＝， 圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1， = $$