21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

5.一元二次方程的根与系数的关系

 

1．探索一元二次方程的根与系数的关系．

2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？

 

二、合作探究

探究点：一元二次方程根与系数的关系

【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值

已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则＋的值为(　　)

A．－1  B.  C．－  D．1

解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝，mn＝－1，＋＝＝＝－.故选C.

方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.

 

【类型二】根据方程的根确定一元二次方程

已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是(　　)

A．x2－6x＋8＝0  B．x2＋9x－1＝0

C．x2－x－6＝0  D．x2＋x－20＝0

解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D.

方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项．

 

【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解

已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________．

解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1.

方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解