21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式、根的判别式，引导学生解方程计算两根和与积，观察规律，衔接公式法与判别式知识，搭建从特殊到一般的学习支架。 此资料以“计算猜想—归纳验证—公式推导—应用拓展”为主线，培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），如推导韦达定理强调a≠0与Δ≥0前提，通过x₁²+x₂²等代数式变形训练运算能力，分层练习与易错点辨析提升应用意识，助力学生建立逆向思维，教师可直接用于教学突破难点。

5.一元二次方程的根与系数的关系21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系 教案 一、教材分析 《一元二次方程的根与系数的关系》（韦达定理）是一元二次方程章节的重要拓展内容，安排在公式法、根的判别式之后。本节课揭示了一元二次方程两根与系数之间的固定数量关系，无需解方程即可快速完成两根和、两根积的计算，是对一元二次方程知识体系的完善与拓展。该知识点是中考高频考点，常用于代数式求值、已知根求方程、参数求解、根的符号判断等题型，同时为后续二次函数图像与方程综合问题、高中函数学习奠定重要基础，在初中代数知识体系中具有极强的衔接作用与实用价值。 二、学情分析 九年级学生已经熟练掌握一元二次方程的解法、根的判别式，具备扎实的方程计算与代数变形能力，能够准确求解一元二次方程的实数根。但学生此前仅停留在“解方程求根”的单向思维，首次接触“不解方程、由系数推根的关系”的逆向思维模式，认知存在一定难度。学生普遍存在易错点：容易遗忘韦达定理适用前提（方程有实数根、二次项系数不为0）；两根和、两根积公式记忆混淆；含参数题型中忽略判别式检验，导致出现增根问题。 三、教学目标 1. 知识与技能：探索并掌握一元二次方程根与系数的关系，熟记两根之和、两根之积公式；明确韦达定理的适用条件；能不解方程求解两根和、两根积，能完成简单代数式求值、已知根求方程、求参数取值等题型。 2. 过程与方法：经历“计算猜想—归纳验证—公式推导—应用拓展”的探究过程，体会从特殊到一般的数学思想，培养学生观察归纳、逆向推理、代数变形与综合解题的能力。 3. 情感态度与价值观：感受一元二次方程中系数与根的内在规律，体会数学的逻辑性与对称性，培养严谨的推理思维和规范的解题习惯，提升学生综合运用方程知识解决问题的能力。 四、教学重难点 重点：掌握一元二次方程根与系数的关系，熟练运用公式进行简单计算与代数式求值。 难点：理解根与系数关系的推导过程；掌握含参数题型中“判别式检验”的隐藏条件，灵活变形代数式解决综合题型。 五、教学准备 多媒体课件、课堂分层练习题、易错点对比素材 六、教学过程 （一）复习旧知，猜想导入（5分钟） 复习回顾：一元二次方程一般形式、求根公式、根的判别式的应用。出示简单一元二次方程：$$x^2-5x+6=0$$，让学生解方程求出两根，计算两根之和、两根之积，对比方程系数，引导学生发现规律：两根之和等于一次项系数相反数，两根之积等于常数项。再出示多个方程验证规律，顺势设问：任意一元二次方程的根与系数是否都存在固定关系？引出本节课课题——一元二次方程的根与系数的关系。 （二）探究新知，推导公式（22分钟） 1. 归纳推导韦达定理 对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当 $$\Delta\geq0$$ 时，方程存在两个实数根 $$x_1、x_2$$。通过求根公式代数推导，归纳核心公式：两根之和 $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，两根之积 $$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$。教师着重强调两大适用前提：$$a eq0$$（保证是一元二次方程）、$$\Delta\geq0$$（保证方程有实数根），规避学生直接套用公式忽略前提的错误。 2. 简化形式专项说明 针对二次项系数为1的特殊方程 $$x^2+px+q=0$$，简化公式：$$x_1+x_2=-p$$，$$x_1x_2=q$$，方便学生快速计算，区分通用公式与特殊公式的适用场景。 3. 典型例题精讲 基础例题：不解方程，求方程 $$2x^2-6x+3=0$$ 的两根和与两根积，规范解题步骤：先判断 $$\Delta$$、确定a、b、c、代入公式计算。提升例题：利用根与系数关系求代数式的值，如 $$x_1^2+x_2^2$$、$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$，教会学生通过完全平方公式、通分等方式变形代数式，建立整体代入的解题思维。 4. 高频易错点辨析 汇总核心易错点：忽略 $$\Delta\geq0$$ 前提盲目套公式；记错两根和的负号；混淆a、b、c对应系数；含参数题型不检验根的存在性。通过错题对比纠错，强化学生解题的严谨性。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：不解方程求两根和、两根积，夯实公式应用；提升练习：整体代入求代数式的值，训练代数变形能力；拓展练习：已知一根求另一根、求参数取值范围的综合题型。学生独立完成后小组互评，教师针对符号错误、忽略前提条件等共性问题集中讲评，规范解题流程。 （四）课堂小结，梳理体系（3分钟） 引导学生自主总结：韦达定理公式、适用两大前提、代数式变形技巧、常见题型解法。教师升华：根与系数的关系是方程的逆向应用，实现了“不求根、知根性”的解题突破，完善了一元二次方程的解题体系，为后续综合应用奠定基础。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材课后对应习题，熟练掌握公式基础应用；拓展作业：整理韦达定理易错点与常见代数式变形公式，完成1-2道参数综合题型训练。 七、板书设计 21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系 1. 适用前提：$$a eq0$$ 且 $$\Delta\geq0$$ 2. 通用公式：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}，x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$ 3. 特殊形式：$$x^2+px+q=0，x_1+x_2=-p，x_1x_2=q$$ 4. 常用变形：平方和、倒数和整体代入 5. 核心易错：符号问题、忽略判别式检验 八、教学反思 本节课采用特殊到一般的探究模式，贴合学生认知规律，知识衔接自然，有效突破了逆向思维难点。通过公式推导、例题示范、分层训练，大部分学生能够掌握根与系数的关系，可独立完成基础计算与简单代数式求值题型。但课堂反馈发现，学生最突出的问题是符号把控不准，容易遗漏两根和公式中的负号，且普遍忽略判别式检验的前提条件，在含参数题型中极易出错。后续教学中，需强化公式前提条件的记忆，增加符号辨析专项训练，多设计对比变式题，引导学生规范解题步骤，培养严谨的逻辑推理能力，提升学生综合运用知识的能力。 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1·x2的值，你能得出什么结果？ 二、合作探究 探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，则＋的值为(　　) A．－1 B. C．－ D．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出m＋n和mn的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m、n是方程2x2－x－2＝0的两实数根，所以m＋n＝，mn＝－1，＋＝＝＝－.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0. 【类型二】根据方程的根确定一元二次方程 已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是(　　) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果令方程ax2＋bx＋c＝0中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为x2＋x－20＝0.故选D. 方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项． 【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解 已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0的一个根，则另一个根为________． 解析：设另一根为x1，则由根与系数的关系得x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为x＝－1. 方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决． 【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数 关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　) A．－1或5 B．1 C．5 D．－1 解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x1，x2，由题意，得x＋x＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a，x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当a＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a＝5.当a＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a＝－1.故选D. 方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面． 【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用 已知x1、x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2＝－，x1x2＝.由－x1＋x1x2＝4＋x2得x1＋x2＋4＝x1x2，∴－＋4＝，解得a＝24.经检验a＝24是方程－＋4＝的解．即存在a＝24，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立． (2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－＋＋1＝为负整数，则6－a为－1或－2，－3，－6.解得a＝7或8，9，12. 三、板书设计 教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件. 学科网（北京）股份有限公司 $