21.2.5 根的判别式-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 第5课时 根的判别式 基础 导 学 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， a、b、c都为常数)的根的判别式：把代数式 叫做关于x的方程ax2十bx十c= 0(a≠0)的根的判别式，记作 2.一元二次方程的解与根的判别式的 关系： (1)△≥0台方程有 其中： △>0→方程有 △=0台方程有 (2)△<0台→方程 ★注意：(1)准确找出a、b、c,方程必须化为一 元二次方程的一般形式；(2)此判别式只适用于 元二次方程，若无法确定是否为一元二次方程， 则应分类讨论， 典 例 探究 考点1 不解方程，判断已知方程的根的 情况 【例1】不解方程，判别下列一元二次方程 根的情况. (1)x2-2x+1=0;(2)3x2+4x+5=0; (3)-x2+7x+6=0;(4)3x2+5x=0. 规律与方法：(1)确定a、b、c的值，计算出△， 原方程根的情况得以确定；(2)对于一元二次方 程ax2十bx十c=0(a≠0)，当a,c异号或c=0 时，此方程一定有两实根 【变式训练1】 一元二次方程2x2+3x+1 =0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【例2】设m是实数，求证：方程(x-1)(x 一2)=m2有两个不相等的实根， 规律与方法：计算△后，用因式分解或配方， 即可确定△的符号，从而确定方程解的情况， 考 点2 已知根的情况，求待定字母的值或 范围 【例3】k取何值时，关于x的一元二次方程 kx2-12x十9=0. (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 规律与方法：题中给出已知方程的根的情况 作为条件，求a、b、c中字母的值或范围，应据根的 情况写出对应的△≥0或△>0或△≤0或△< 0,从而建立起方程或不等式，解之，求得字母的 值或范围.注意：使用判别式的前提是：①a≠0； ②原方程化成一元二次方程的一般形式 【变式训练2】(1)若关于x的一元二次方 程方程(k一1)x2十4x+1=0有两个不相等的实 数根，则的取值范围是 () A.k<5 B.k<5,且k≠1 C.k≤5，且k≠1 D.k>5 (2)关于x的方程2x2-(2m+1)x+m=0 的根的判别式的值是9，则m= (3)若关于x的方程a.x2+2(a十2)x十a=0有 实数解，那么实数a的取值范围是 【变式训练3】已知为实数，关于x的方 程为x2+kx-4k-16=0. (1)试判断这个方程根的情况， (2)是否存在实数k,使这个方程两个根为 连续偶数？若存在，求出k及方程的根；若不存 在，请说明理由， 第21章一元二次方程 课 后 演练 【基础过关】 1.（自贡中考)关于x的方程x2十mx-2=0根 的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.(北京中考)若关于x的一元二次方程x2-4x 十c=0有两个相等的实数根，则实数c的值 为 () A.-16B.-4C.4 D.16 3.(宿迁中考)规定：对于任意实数a、b、c,有【a, b】★c=ac十b,其中等式右面是通常的乘法和 加法运算，如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于 x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等 的实数根，则m的取值范围为 （) A.n< B.m C.m>4且m0 D.m<4且m≠0 4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2 =0有两个实数根，m为正整数，且该方程的 根都是整数，则符合条件的所有正整数m的 和为 () A.6 B.5 C.4 D.3 5.(1)若一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0没 有实数根，则m的取值范围是 (2②)关于x的方程x2-4红-号-0有实数根， 则k的取值范围是 6.(济南中考)关于x的一元二次方程x2-4x十 2a=0有实数根，则a的值可以是 (写出 一个即可). 7.已知a、b、c是△ABC的三条边，且方程cx2+ 2bx+a=bx2+2a.x+b有两个相等的实数根， 那么这个三角形是 3 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 8.当m为何值时，一元二次方程(m2-1)x2+2 【能力提升】 (m-1)x+1=0: (1)有两个不相等的实数根； 10.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限， (2)有两个相等的实数根； 则关于x的方程ax2+bx+c-0根的情况是 (3)没有实数根. () A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 11.（泰安中考)已知关于x的一元二次方程x2 一4x一a=0有两个不相等的实数根，则a的 取值范围是 12.(广州中考)关于x的方程x2-2x+4-m= 0有两个不等的实数根. 9.关于x的一元二次方程x2一3x十k=0有实 (1)求m的取值范围； 数根 (1)求的取值范围； ②化简m·是 2m+11 (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二 次方程(m-1)x2十x十m-3=0与方程x2 3x十k=0有一个相同的根，求此时m的值. ·44 【创新探究】 13.已知关于x的一元二次方程m,x2-(3m+2) x+2m+2=0(m>0). (1)求证：方程有两个不相等的实数根， (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中 x1<x2),若y是关于m的函数，且y=x2 2x1,求这个函数的解析式 (3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答： 当自变量m的取值满足什么条件时，y ≤2m. 4 第21章一元二次方程 第6课时根与系数的关系 基础导学 1.关于x的一元二次方程x2+x十q=0 (p,q为常数)有两实根x1,x2,则：(1)2一4q 0;(2)01+2= ;(3)x012=_, 2.如果，x2为一元二次方程ax2+bx十c=0 (a≠0)的两实根，那么x十2= 20T2= ,△=b-4ac0. 3.若ac<0,则关于x的一元二次方程ax2 +bx+c=0一定 实根，这是因 为 注意：使用一元二次方程ax2十bx十c=0的 根与系数的关系的前提为 4.与一元二次方程根与系数的关系有关的 几种常见变形： (1)x12+x22=(01十x2)2-2x1x2; (2)(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2; (3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; (4)1+1=西+2 (5)4+2=2+2_十22-22」 C2℃1 C12 C1.C2 (6)a一2=√（一22=√/(0十2）2-402. 典例探究 考点①已知方程一根，不解方程求另一根 【例1】已知方程3x2+mx-5=0的一根 为2，求另一根及m的值. 5【例2】(1a==5,(2a=2,4=-号 1 (3)m==2;（4)原方程无实数解。 【变式训练1】2-98179十厘9-V回 4 【使武训练2】涵=2生5a2≥5 ②a-t区%-1 6 【例3】(1)m=3+5 ,235(2)x1=1+3,2一 5,(3=-2a=-9:0m=14a=-12 课后演练 1D2B3D4C5是 6号或-号 7.x1=-2,x2=4 80=1+9a=1-9 2 (2)1=为=35 9.1m=分%=-1(2)m=1+5,=15 2 ,2= (8a=18,=-号 10（①=%a=1（2m=2或3 11.a=-5+3 ,6=-5-37 6 6 第5课时根的判别式 基础导学 1.-4ac△=B-4ac 2.(1)两个实数根两个不相等的实数根 两个相等的实数根(2)无实根 典例探究 【例1】(1)此方程有两个相等的实数根 (2)此方程没有实数根 (3)此方程有两个不相等的实数根 (4)此方程有两个不相等的实数根【变式训练1】A 【例2】原方程可化为：x2-3x十2一m2=0,△=4m2十1> 0,结论成立. 【例3】(1)k<4且≠0.(2)k=4.(3)k>4. 【变式训练2】(1)B(2)2或-1(3)a≥-1 【变式训练3】(1)原方程总有两个实数根 37 指南针·课堂优化· (2)存在实数一10，一6，使原方程两个根为连续偶数 课后演练 1.A2.C3D4B5.(1m<号 (2)k≥-6 6.17.等腰三角形（非等边三角形） 8.(1)当m<1且m≠一1时，方程有两个不相等的实数根； (2)方程不可能有两个相等的实数根； (3)当m>1时，方程没有实数根， ,Qk≤是（②m的值为号 10.B11.a>-4 12.(1)m>3(2)-2 13.(1)证明略(2)y=2(m>0) m (3)在同-直角坐标系中分别画出y=2(m>0)与y 2m(m>0)的图象，由图象可得：当m≥1时，y≤2m. 第6课时根与系数的关系 基础导学 1.≥ -p92.-6日 ≥ 3.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥≥0 典例探究 【例1】x2= 5 7 ,m=- 【变式训练1】B 【例2】13【变式训练2】1)-号 (2)17 【例3】m=3 【变式训练3】(1)k的取值范围是：k>2(2)k的值为=3 【例)所求方程为t-一是x十名=0【变式训练)D 课后演练 1D2.C32445.1236号7m> 8.(1)证明略(2)m的值为一2或1 9.一1510.一511.2312.(1)k>1(2)k的值为2 13.(1①m=-5,m=6(2)号或2(3)正整数c的最小值是3 专题练习2与一元一次方程 有关的阅读理解题 类型1 1.(1)1=√2，x2=-√2,3=3，x4=-√5 (2)5或45±7V厘 41 4 (3)15 九年级上册·数学(HS) 类型2 (3)设第一年用甲方案整理降低的Q值为x, 2.(1)AC(2)顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，图略 第二年Q值因乙方案治理降低了100m=100×0.3=30, (3)可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）. (30-a)十2a=39.5,a=9.5,x=30-a=20.5. 类型3 12.(1)该商城4月份卖出125辆自行车 3.0)号 - 2号 (3)士√17 (2)该商城应进人A型车34辆，B型车13辆 第21章《一元二次方程》专题复习 21.3 实践与探究 【例1】A【例2】m=√2时，原方程为一元二次方程. 第1课时数字、面积问题 【例3】C【例4)a2+形=5. 基础导学 1.审题等量关系数学问题 【50✉=9&=专：2)a=3,=号； 典例探究 【例1】这三个奇数分别是：一3，一1,1或15,17,19. 【例2】这个两位数是68.【变式训练1】这个两位数为36 【例6)B【例7】a≥-1 【例3】道路的宽为2m 【例8】(1)证明略(2)△ABC的周长为a+b+c=10. 【变式训练2】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米 【例9】每周应限定参观的人数是2000人，门票价格是20元 课后演练 第21章章末测试 1.A2.B3.A4.A5.-3或516.97.28.24cm 1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.B8.B 9.(1)长40m,宽20m(2)1500m2 9.=a=510.>-111.-412.-号 10.这个两位数为2411.(1)5s(2)1.6s或4.8s 12.分别在10s、15s、30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形 13.34号小号 的面积是450cm. 15.(10m=3+√页，2=3-(2)x1=8, 33=2 第2课时增长率问题 (3)=2m,x2=3m 4 基础导学 基数变动后的数增长（或降低）的百分率 16.四 x=-b土VF-4ac x=6,x2=-4 典例探究 2a 【例1】(1)2.6(1十x);(2)可变成本平均每年增长的百17.(1)4月份再生纸的产量为500吨 分率为10%. (2)m的值为20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【例2】10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20% 18.(1)1秒(2)2秒(3)不能 【变式训练1】每顶头盔应降价20元 第22章图形的相似 【变式训练2】(1)月平均增长率为20% (2)售价应降低 20元. 22.1 成比例线段 课后演练 第1课时成比例线段 1.A2.B3.B4.C5.200(1+x)2=401 基础导学 6.60+60(1+x)+60(1+x)2=2007.25% 1.成比例线段 2合=台34号 d 8.(1)从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 典例探究 率为20%；(2)下调后每架无人机的售价为2万元 9.(1)y=一10x+1000(2)50万元/台10.30% 【a0-号②2-8÷13=0 169 11.(1)n=0.3 【例2】(1)(2)不是(3)(4)是 1 (2)m=2 第二年用乙方案新治理的工厂数量为60家 【变式训练】D【刚3】兰=子 38