25.2解一元二次方程——直接开方法 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心知识，以概念辨析、根的应用及解法训练为主线，构建从定义到应用的递进式训练体系，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|选择/填空（含参数的方程定义判断）|从一元二次方程定义出发，强化二次项系数非零及次数要求的抽象理解| |根的应用|4题|选择/解答（已知根求参数、构造方程）|通过根的性质推导参数关系，培养符号意识与推理能力| |解法应用|5题|解答（直接开平方法及变式）|从基础解法到含参数方程求解，体现运算能力的逐步提升|

1. 若方程 是一元二次方程，则 ． 2. 是关于的一元二次方程，则的值应为（ ）． A. B. C. D. 无法确定 3. 若一元二次方程的常数项是，则的值是 ． 1. 如果关于的一元二次方程的两根分别为 ，，那么这个一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知 是关于 的方程 的一个非零解，则 的值是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个根，求的值． 4. 若是一元二次方程的一个根，求的值． 1. 一元二次方程 A. 的根是（ ）． B. ， C. D. ， 2. 用直接开平方法解方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． 3. 求的值： 4. 解方程： ． ． 5. 求下列方程中 （ 1 ） 的值． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ） ． 6. 用直接开平方法解关于的方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 7. 解关于的方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 8. 解方程： ． $ 1. 已知关于的方程 是一元二次方程，求 的取值范围． A. B. C. D. B 根据一元二次方程的定义，应当满足故选 ． ， ． 【知识点】由一元二次方程定义求参数的值 2. 关于的一元二次方程中，则一次项系数是 ． 或 方程 是一元二次方程， ，解得 ， 当 当 时，原方程可化为 时，原方程可化为 ，故一次项系数是 ； ，故一次项系数是 ． 故此方程的一次项系数是 或 ． 【知识点】由一元二次方程定义求参数的值 1. 已知是方程的某个根，求代数式 的值． ． 由题意， 是方程 ， ， 的根， 有 又 ， ，所以原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】利用根求代数式的值 2. 已知是方程的一个实数根，求代数式 的值． ． ∵ ∴ ∴ ∴原式 是方程 ， ， 的一个实数根， ， ． 【知识点】利用根求代数式的值 3. 是方程 的根，则式子 的值为（ ）． A. B. C. D. B 【知识点】利用根求代数式的值 1. 解方程：． ， ． 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 【能力】运算能力 2. 求下列各式中的值． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ） （ 2 ） 或 ． ． （ 1 ） ∴ ∴ 解得 ， ， 或 ， 或 ． （ 2 ） ， ∴ ， 解得 ． 【知识点】高次方程 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 【能力】运算能力 3. 选择适当方法解下列方程． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ） （ 2 ） ， ， ． ． （ 1 ） 即 所以 ， 或 ， ， ． （ 2 ） ， ， 所以 或 ， ， ． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 4. 解方程： ． ， ． 略 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 【能力】运算能力 5. 解方程：． 或 ． ， ∴ ∴ ∴ ， 或 ． ， 或 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 6. 用直接开方法解下列方程． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）当 当 ， ． ． ， ， 时， ， ． ； 时，原方程无实根． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 $ 1. 已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程中，则一次项系数是 ． 1. 已知是方程的某个根，求代数式 的值． 2. 已知是方程的一个实数根，求代数式 的值． 3. 是方程 的根，则式子 的值为（ ）． A. B. C. D. 1. 解方程： ． 2. 求下列各式中的值． （ 1 ） ． （ 2 ） ． 3. 选择适当方法解下列方程． （ 1 ） ． （ 2 ） 4. 解方程： ． ． 5. 解方程： 6. 用直接开方法解下列方程． ． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. 若方程 是一元二次方程，则 ． 由题意得 ，解得 ． 【知识点】由一元二次方程定义求参数的值 2. 是关于的一元二次方程，则的值应为（ ）． A. B. C. D. 无法确定 C ∵ 是关于 的一元二次方程， ∴ ∴ ， ． 【知识点】由一元二次方程定义求参数的值 3. 若一元二次方程的常数项是，则的值是 ． 由题意得： ． ，且 ， 解得： 故答案为： ． 【知识点】一元二次方程的一般形式 1. 1 学科网（北京）股份有限公司 如果关于的一元二次方程的两根分别为 ，，那么这个一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. C 方程两根分别为 则 ∴ ， ， ， ， ， ， ∴原方程为 ． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 2. 已知是关于的方程的一个非零解，则的值是（ ）． A. B. C. D. A 略 【知识点】由一元二次方程的解求参数的值 3. 已知是方程的一个根，求的值． 原式值为 ． ∵ 是方程 的一个根， ∴ ． 原式 ， ∵ ， ∴ ． 即原式值为 ． 【知识点】整式乘除化简求值-整体代入化简求值 4. 若是一元二次方程的一个根，求的值． ． ． ∵ ∴ ∴ 是一元二次方程 的一个根， ，且 ， ， ∴原式 ． 【知识点】由一元二次方程的解求参数的值 1. 一元二次方程的根是（ ）． A. B. ， C. D. ， D 移项得 解得 故选 ． ， ，开方得 ． ， 【能力】运算能力 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 【知识点】一元二次方程的根 2. 用直接开平方法解方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ） ， ． （ 2 ）当 当当 时， 时， ， ； ； 时，方程无实数根． （ 1 ） ， ， ． （ 2 ）当 ， ， ， 当 时， ， ， 当 时，方程无实数根． 【能力】运算能力 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 3. 求的值： ． 或 ． 或 ， ， ∴ 或 ． 【能力】运算能力 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 4. 解方程： ． ， ． ， ， ， ． 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 5. 求下列方程中的值． （ 2 ） ． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ） ， ， ． ， （ 2 ） ， ， ， ． 【知识点】利用立方根解方程 6. 用直接开平方法解关于的方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ， ． ， ． ， ． （ 1 ）略 （ 2 ）略 （ 3 ）略 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 【思想】方程思想 【能力】运算能力 7. 解关于的方程： （ 1 ） ． 5 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ， ， ， ． ． ． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ． 【能力】运算能力 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 8. 解方程： ． ， ． ， ， ， ． ， ， ． ∴ ， ． 【知识点】直接开平方法求一元二次方程的根 $