25.3实际问题与一元二次方程-传染问题 题集2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，通过阶梯式问题链构建“问题情境-模型抽象-方程求解-实际检验”的系统性解题方法，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |传播问题|4题（流感/电脑感染）|设平均传染数x，用1+x、(1+x)²表示传播后数量，列方程并检验正根|从具体传播情境抽象“初始量-传播量-总量”关系，建立(1+x)ⁿ模型| |分支/握手问题|5题（树枝分支/聚会握手）|分支问题：1+x+x²=总数；握手问题：x(x-1)/2=次数，提炼“单循环”数量关系|通过分支、握手等情境，理解相同数量关系在不同场景的表达，强化数学抽象与逻辑推理|

1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． （ 1 ）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （ 2 ）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 2. 甲型流感病毒的传染性极强，某地因人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两轮传染后共有人患了甲型流感． （ 1 ）每轮平均一个人传染了几个人？ （ 2 ）如果按照这个传染速度，再经过轮传染后，这个地区一共将会有多少个人患甲型流感？ 3. 某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有台电脑被感染（假定被感染的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理）． （ 1 ）求每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？ （ 2 ）如果按照此感染速度，经过三轮感染后被感染的电脑总数会不会超过台？ 4. 为了宣传环保，刘红同学写了一篇倡议书，决定用微信的方式传播，她设计了如下的传播规则：将倡议书点对点的发给自己个微信好友，每位好友收到后，又转发给自己个与前面个人互不相同的好友，依次类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了活动，则 ． 5. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手次，设有人参加这次聚会，则列出的方程正确的是（ ）． A. C. B. D. 6. 元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为人，则（ ）． A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感． （ 1 ）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （ 2 ）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ （ 1 ）每轮传染中平均一个人传染了 个人． （ 2 ）第三轮将又有 人被传染． （ 1 ）设每轮传染中平均一个人传染了 人， ， 解得 ， （舍去）． （ 2 ） ． 【知识点】一元二次方程的传播问题 2. 甲型流感病毒的传染性极强，某地因人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两轮传染后共有人患了甲型流感． （ 1 ）每轮平均一个人传染了几个人？ （ 2 ）如果按照这个传染速度，再经过轮传染后，这个地区一共将会有多少个人患甲型流感？ （ 1 ） 个人． （ 2 ） 个人． （ 1 ）设平均一个人传染了 个人， ， 解得 ， （舍去），答：每轮平均一个人传染 个人． （ 2 ） （人）． 所以再经过 轮传染，将有 个人患甲型 流感. 【知识点】一元二次方程的传播问题 3. 1 学科网（北京）股份有限公司 某种电脑病毒在网络中传播得非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮传播后共有台电脑被感染（假定被感染的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理）． （ 1 ）求每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？ （ 2 ）如果按照此感染速度，经过三轮感染后被感染的电脑总数会不会超过台？ （ 1 ） 台. （ 2 ）会. （ 1 ）设一台电脑感染 台电脑， ， ， （舍）、 ． 答：每轮感染中平均一台电脑感染 台电脑． （ 2 ）∵ ， ∴三轮感染后被感染的电脑总数会超过 台． 【知识点】一元二次方程的传播问题 4. 为了宣传环保，刘红同学写了一篇倡议书，决定用微信的方式传播，她设计了如下的传播规则：将倡议书点对点的发给自己个微信好友，每位好友收到后，又转发给自己个与前面个人互不相同的好友，依次类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了活动，则 ． ∴ ∵ ． ， 故答案为： ． 【知识点】一元二次方程的传播问题 5. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手次，设有人参加这次聚会，则列出的方程正确的是（ ）． A. C. B. D. B 已知有 人参加，每人和另外 个人握手．可列方程 ． 【知识点】一元二次方程的握手、送礼物问题 6. 元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为人，则（ ）． A. B. C. D. A ∵共有 人，则 人需送出或收到 张卡，∴ ． 【知识点】一元二次方程的传播问题 $ 1. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，并完成本题解答的全过程，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可． 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人．解题方案： 设每轮传染中平均一个人传染了个人， （ 1 ）用含的解析式表示： 第一轮后共有 人患了流感． 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，第二轮后共有 人患了流感． （ 2 ）根据题意，列出相应方程为 ． （ 3 ）解这个方程，得 ． （ 4 ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了 个人． 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 （ ）． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 3. 一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染电脑会不会超过台？ 4. 某学校机房有台学生电脑和台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染． （ 1 ）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （ 2 ）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 5. 小明将勤工俭学挣得的元钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入．若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共 元，则这种存款的年利率为（ ）． A. B. C. D. 6. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数共有 个．若设主干长出个支干，则可列方程是（ ）． A. B. C. D. 7. 1 学科网（北京）股份有限公司 某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出的小分支数目． 8. 分别年的同学相邀在一起聚会，每两人之间通过手机通话一次，设人共通话次，则列方程的一般形式为 ． 9. 某同学生日聚会，见面时每两个同学都互相握手了一次，共握手了次，则参加此次聚会的人数是 （ ）． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 10. 陈杨去参加好友聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现朋友间共送礼物件，若设有人参加聚会，根据题意可列方程（ ）． B. D. A. C. $ 1. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，并完成本题解答的全过程，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可． 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人．解题方案： 设每轮传染中平均一个人传染了个人， （ 1 ）用含的解析式表示： 第一轮后共有 人患了流感． 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了个人，第二轮后共有 人患了流感． （ 2 ）根据题意，列出相应方程为 ． （ 3 ）解这个方程，得 ． （ 4 ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了 个人． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） ; 或 （ 1 ）用含 的解析式表示： 第一轮后共有 人患了流感． 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 个人，第二轮后共有流感． 人患了 （ 2 ）根据题意，列出相应方程为 ． （ 3 ）解这个方程，得 或 ． （ 4 ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了 个人． 【知识点】一元二次方程的传播问题 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 （ ）． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 1 学科网（北京）股份有限公司 B 设每轮传染中平均一个人传染的人数为 ，则 ， ；故答案为 ． 【知识点】一元二次方程的传播问题 3. 一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染电脑会不会超过台？ 每轮感染中，平均一台电脑感染 台，经过三轮感染，一共有 台电脑感染，超过了 台电脑． 设每轮感染中平均一台电脑感染 台，根据题意得 解得 或 ， （舍）． 所以每轮感染中，平均一台电脑感染 台． 经过三轮感染，一共有 台电脑，超过了 台电脑． 【知识点】一元二次方程的传播问题 4. 某学校机房有台学生电脑和台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染． （ 1 ）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （ 2 ）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ （ 1 ）每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑． （ 2 ） 轮感染后机房内所有电脑都被感染． （ 1 ）设每轮感染中平均每一台电脑会感染 台电脑，依题意得： ， 整理得 ， 则 解得 或 ， ， （舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑． （ 2 ）∵ 轮后，有 台电脑被感染， 故 ∵ ， 时， 时， ， ． 答： 轮感染后机房内所有电脑都被感染． 【知识点】一元二次方程的传播问题 5. 小明将勤工俭学挣得的元钱按一年定期存入银行，到期后取出元用来购买学习用品，剩下的元和应得的利息又全部按一年定期存入．若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共 元，则这种存款的年利率为（ ）． A. B. C. D. A 设这种存款的年利率为 ，据题意得 ， 将 化简得：解得 ∴ 看成一个整体， ， 或 ， （舍负） ∴这种存款的年利率是 ． 【知识点】一元一次方程的经济问题-储蓄 6. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数共有 个．若设主干长出个支干，则可列方程是（ ）． A. B. C. D. B ∵一个主干可以长出 个支干， ∴ 个支干可以长出 个小分支， ∴总共的树枝为 个主干、 个支干和 个小分支， ∴列得方程为： ． 【知识点】一元二次方程的其他实际问题 7. 某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出的小分支数目． 每个支干长出的小分支数目为 ． 则 设每个支干长出的小分支数目为 ， ， ， ， （舍）， ， 答：每个支干长出的小分支数目为 ． 【知识点】一元二次方程的传播问题 8. 分别年的同学相邀在一起聚会，每两人之间通过手机通话一次，设人共通话次，则列方程的一般形式为 ． 甲与乙通电话和乙与甲通电话，为同一次电话， ， 故答案为 ． 【知识点】一元二次方程的传播问题 9. 某同学生日聚会，见面时每两个同学都互相握手了一次，共握手了次，则参加此次聚会的人数是 （ ）． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 B 设这次参加聚会的同学有 人，则每人应握 ， ， 次手，由题意得： 即： 解得： ， （不符合题意舍去） 所以，这次参加同学聚会的有 人． 故选： ． 【知识点】一元二次方程的握手、送礼物问题 10. 陈杨去参加好友聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现朋友间共送礼物件，若设有人参加聚会，根据题意可列方程（ ）． B. D. A. C. B 设有 人参加聚会，则每人送出故选 ． 件礼物，由题意得 ． 【知识点】一元二次方程的握手、送礼物问题 $