4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和，涵盖公式推导、基本运算、Sn与an关系及实际应用。通过问题链导入，如“与首尾等距离两项和能否求和”，衔接等差数列性质，以倒序相加法推导为支架，构建通项与求和公式的知识脉络。 其亮点在于以数学抽象（公式推导）、数学运算（例1基本量计算）、逻辑推理（例2判断等差数列）为核心，结合实验室建设费用等实际问题，采用规律方法总结与分层练习，助力学生提升运算推理能力，为教师提供系统教学资源与清晰教学路径。

　4.2.2　第1课时　等差数列的前n项和 学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法.(数学抽象) 2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.(数学运算) 3.进一步理解Sn与an的关系,并能运用这个关系解决相关问题.(逻辑推理) 基础落实·必备知识全过关 知识点　等差数列的前n项和公式及其推导 等差数列的前n项和公式 Sn=　　　　　或Sn=　　　　　  推导方法 等差中项(需要对n的取值分类讨论),倒序相加法(不需要分类讨论) 微点拨 1.两个公式均为等差数列的求和公式,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量.通常已知其中三个,可求其余两个,而且方法就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形式之一. 微思考 若等差数列的前n项和为Sn,则其前2n-1项和能否用an表示?二者关系是什么? 提示 能,根据等差数列求和公式及等差中项,可得S2n-1=(2n-1)an. 重难探究·能力素养速提升 重难探究·能力素养速提升 问题1我们知道在有穷等差数列中,与首尾两项等距离的两项之和与首尾两项之和相等,利用此性质能否解决等差数列的求和问题?又该如何化解遇到的困难? 问题2等差数列的求和公式可以写成两种形式,对于具体问题该如何选择? 探究点一　等差数列前n项和公式的基本运算 【例1】 (1)(2026湖南衡阳期末)已知等差数列{an}满足a4+a7=28, a1+a5+a10=41,则其前30项和S30=(　　) A.585　　B.957　　C.1 020　　D.1 085 (2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=　　　　　.  (3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-5,Sn=-14,则公差d=　　　　　.  分析 利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组进行计算求解. C 15 -1 解析 设等差数列{an}的公差为d,由解得所以S30=30a1+d=30×5+×2=1 020.故选C. (2)设等差数列{an}的公差为d, 则解得 所以a9=a1+8d=-1+8×2=15. (3)由Sn==-14,解得n=7, 所以d==-1. 规律方法　a1,d,称为等差数列的两个基本量,an和Sn都可以用这两个基本量来表示,在a1,d,n,an,Sn五个量中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用. 探究点二　利用数列前n项和公式判断等差数列 【例2】 若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是不是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由. 解 当n=1时,S1=a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故an=4n-5.数列{an}是等差数列,证明如下:因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,所以数列{an}是等差数列. 问题3数列是一类特殊的函数,如何从函数的角度来分析等差数列前n项和的特征? 问题4根据数列的前n项和与项之间的关系an=Sn-Sn-1,等差数列的前n项和与项之间又该如何联系? 规律方法　等差数列前n项和公式Sn的特征 (1)若数列前n项和公式Sn是不带常数的二次函数形式Sn=An2+Bn,则此数列是等差数列. (2)若数列前n项和公式Sn是带常数的二次函数形式Sn=An2+Bn+C(C≠0),则此数列从第2项开始才是等差数列,通项公式写成分段形式: 探究点三　等差数列的求和在实际生活中的应用 问题5如何发现生活当中蕴含的等差数列模型?哪些信息是体现等差数列的关键点? 【例3】 疫苗是有效控制病毒传染的关键.为了早日生产某种病毒的疫苗,某研究所计划建设n个实验室,从第1实验室到第n实验室的建设费用依次构成等差数列,已知第7实验室比第2实验室的建设费用高15万元,第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元,现在总共有建设费用438万元,则该研究所最多可以建设的实验室个数是(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 C　 解析 设第n实验室的建设费用为an万元,其中n∈N*,设等差数列{an}的公差为d, 令Sn≤438,即3n2+37n-876≤0且n∈N*, 解得0<n≤12. 所以该研究所最多可以建设12个实验室. 规律方法　应用等差数列解决实际问题的一般思路 本节要点归纳 1.知识清单: (1)等差数列前n项和公式及推导过程. (2)与等差数列前n项和有关的基本运算. (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. (4)利用等差数列前n项和公式解决实际问题. 2.方法归纳:倒序相加法、公式法、整体代换法. 3.常见误区:(1)由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论;(2)判断等差数列时,容易忽视第1项的验证;(3)实际问题中易忽视还原验证. 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 知识点1 等差数列前 项和公式的推导方法（倒序相加法）的应用 1.已知函数满足 ，若 ，则数列 的通项公式为( ) A A. B. C. D. 【解析】 由 ，得 ，两式相加得 ，又 ,所以，所以 .故选A. 19 变式 已知函数，则 _____. 20 【解析】 .记 ，则 ，两式相加得，故 . 21 2.[2026江苏扬州月考]已知数列的通项公式为 则 ( ) D A.48 B.49 C.50 D.51 22 【解析】 当时， ，则 ，又,所以 且 ,都成立.记 ，则 ，所以 ，故 ，即 . 23 知识点2 等差数列前 项和基本量的计算 3. ( ) C A.1 363 B.1 410 C.1 457 D.1 504 【解析】 记数列2，5，8， ，92为数列，则数列 为等差数 列，，公差， ，所以 ，即，解得 ， （ 利用确定.）所以 . . . 24 4.已知为等差数列的前项和，，公差，若 ， 则 为( ) D A.9 B.14 C.12 D.10 【解析】 因为，且,，公差 ，所 以,即，解得 舍去 .故选D. 25 5.[2026浙江宁波期末]已知等差数列的前项和为，公差为 ，若 ，，则 ( ) B A. B. C.2 D.3 【解析】 由，,可得 解得 . 因为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 . 26 6.[2026北京朝阳区模考]已知等差数列的前项和为 ，若 ，则 ( ) B A.10 B.15 C.20 D.25 【解析】 在等差数列中， , （ 设的公差为,则,所以 ） 所以 . 27 变式 等差数列中，已知，则 的前10项和 等于( ) B A.36 B.30 C.20 D.18 28 【解析】 记等差数列的前项和为.由 是等差数列得 ，故，即 ,所以 ，故选B. 设的公差为,则由 ,得 ,即 ,所以 . 29 7.[2026湖北十堰调研]已知等差数列的前项和为 ，若 ，，则 ( ) B A.19 B.25 C.30 D.33 30 【解析】 设的公差为 ，由题意，得 即解得 所以 . 由，得，即.由 ，得 ，所以.设的公差为 ，则 ，所以 . 31 8.（多选）定义数列的 “差分数列”.若数列 的 “差分数列”是公差为2的等差数列，且， ，则 ( ) ABD A. B. C. D.数列的前25项和 32 【解析】 由题意得，，即，故 ，A正确.因 为数列是公差为2的等差数列，且 ，所以 ，故，B正确.由 ，得 ，所以当时，，所以，当时，满足上式，故 ，C错误. , （ ）D 正确. 33 9.已知等差数列的公差不为0，记其前项和为，若 ， ，则正整数 的值为___. 6 【解析】 设等差数列的公差为，由 ，得 ，解得，所以 ，故 ， ，因此 ，整理得， ,又 ,所以 ,整理得解得 或 （舍去）. 34 10.在等差数列中，公差，其前项和为，且 , . （1）求 ； 【解析】 由得 解得或 因为公差，所以所以 所以 . 35 （2）若，求数列的前项和 . 【解析】 由（1）知 ， 所以，所以 ， 所以数列为等差数列，且 ， 所以 . 36 1.跨模块 [2026四川德阳中学月考]已知等差数列的公差为 ， 前项和为,若且（点为直线 外一 点），则 ( ) A A.1 013 B.2 026 C.1 D. 【解析】 因为，所以,, 三点共线，又 ，所以 ，故 . 能力提升 37 2.[2026山东济南月考]把正整数以下列方法分组，（1）,,, ， 其中从第二组起，每组都比它的前一组多一个数，设表示第 组中所有 数的和，那么 ( ) B A.1 113 B.4 641 C.5 082 D.5 336 【解析】 第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20 组的最后一个数大1.因为第组有 个数，所以前20组一共有 个数，故第21组的第一个数为211， 这组一共有21个数，所以 .故选B. 38 3.若等差数列满足，则 ( ) C A.2 025 B. C. D. 39 【解析】 由等差数列满足，得对于正整数, ，当 时， ，则 .设 ，则 ，两式相加可得 ，解得 .故选C. 40 4.新定义 （多选）[2026河南南阳期末]记无穷数列的前项和为 .若 对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“ 数列”. 下列说法正确的是( ) ABC A.若，则是“ 数列” B.若，则是“ 数列” C.若，则是“ 数列” D.若是首项，公差的等差数列，且是“ 数列”，则 41 【解析】 若，则，故对任意的正整数，总存在正整数 ， 使得，故是“数列”，A正确；若 ，则 ，故此时 为等差数列， ，由于，故对任意的正整数 ，总存在正 整数，使得，B正确；若，则当 时， ，当时， ，此时对任 意的正整数，总存在正整数，使得 ，C 正确；若是首项，公差 的等差数列，则 42 ，，因为是“ 数列”， 所以对任意的正整数，总存在正整数，使得 ，即 ，整理得 ，要满足 ，显然，故 且 ，所以 ，D错误. 5.教材习题变式 若数列,满足 , ,，则数列 的前50项和为 _______ . 2 600 【解析】 由, 两式作差可得 ，所以 ，又 ，，所以,所以数列 是 首项为3，公差为2的等差数列，所以 ，所以 的前50项和为 . 44 6.[2026华中师大一附中期末]记为等差数列的前 项和，已知 ， . （1）求和 的通项公式； 【解析】 设等差数列的公差为 ， 由,,可得解得, ， 所以 ， . 45 设等差数列的公差为 . 因为，所以 ， 又,所以 ， 所以 ， 所以 . 46 （2）求 . 【解析】 令，为数列的前 项和， 则 ， . 当时， ,所以 ; 当时， ,所以 47 . 综上， na1+d 2.当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式Sn=.用此公式时,有时要结合等差数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有Sn=(ak+an-k+1). 3.当已知首项a1,公差d及项数n时,用公式Sn=na1+d. an= 由题意可得 解得 则Sn=20n+n2+n. $