26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过旧知复习（一次函数图象对比）与生活情境（篮球轨迹等抛物线实例）导入，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于以直观想象和逻辑推理为核心，通过描点法作图、动态演示a对开口的影响、自主探究a<0的性质，培养数学抽象与运算能力。分层练习结合数形结合等数学思想小结，助力学生系统掌握知识，教师可借助结构化流程提升教学效率。

26.2.1 二次函数y=a的图象和性质 1.7.2013 同学们好，今天我们来学习二次函数的图象和性质。二次函数的图象是一条优美的曲线，叫做抛物线。它在生活中随处可见，比如投篮时篮球的轨迹。让我们一起探索这条曲线背后的数学奥秘。 ‹#› 学习目标 直观想象 通过动手实践，掌握用描点法画出二次函数 的图象，能够直观感知图象的形状、对称轴、顶点等关键几何特征，建立数与形的初步联系。 数学抽象 从具体的二次函数实例出发，去除非本质属性，抽象出 的通用概念与基本性质，理解参数是刻画函数变化规律的核心要素，提升数学概括能力。 逻辑推理 通过对比不同参数 对应的函数图象，归纳并推理出|a| 的正负决定开口方向、|a|的大小决定开口宽窄的规律，形成严谨的数学思维习惯。 数学运算 规范完成列表取值、精确计算函数值、准确描点连线等作图步骤，在运算过程中养成细心严谨的习惯，提升数学运算的准确性与规范性。 1.7.2013 本节课我们将围绕四个核心素养展开学习：通过动手作图，培养直观想象能力；通过观察归纳，锻炼数学抽象能力；通过对比分析，发展逻辑推理能力；通过规范作图，提升数学运算能力。 ‹#› 旧知复习 二次函数的定义 一般地，形如y = ax² + bx + c（其中 a, b, c 是常数，且 a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。其中 x 是自变量，a, b, c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 思考：一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象还会是直线吗？结合二次函数的表达式特点，你能猜想出它的图象会是什么形状呢？ 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来回顾一下画一次函数图象的方法，以及二次函数的定义。我们知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象会是什么样的呢？它还会是直线吗？ ‹#› 生活中的抛物线 01. 生活情境观察 在体育运动中，运动员投篮时，篮球离开手后在空中飞行的轨迹呈现出一条优美的曲线。这是生活中最直观、最常见的曲线实例之一。 02. 数学概念联结 这条曲线的形状，与我们即将深入学习的二次函数的图象高度相似。在数学中，我们把这种具有特定开口和对称性的曲线正式命名为“抛物线”。 探究: 结合生活中的抛物线实例，思考并探究：如何准确画出二次函数的图象？这条抛物线又具备哪些独特的几何性质（如开口方向、对称轴、顶点等）？ 1.7.2013 大家看这张投篮的图片，篮球飞行的轨迹就是一条抛物线。二次函数的图象就是这样的抛物线。今天，我们就来学习如何画出这条抛物线，并研究它的性质。 ‹#› 探究任务1：最简二次函数 y=x² 为了直观地认识它的性质，我们将采用学习一次函数时熟悉的“描点法”来绘制其函数图象，这是研究函数性质最基础也最有效的方法。 01. 列表取值 在自变量 的取值范围内（如 -3 到 3）选取若干个代表性的数值，代入函数解析式，精确计算出对应的函数值 ，整理成清晰的表格形式。 02. 平面描点 以表格中每一组 的对应值作为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中准确描出对应的点，注意坐标的正负与象限的对应关系。 03. 平滑连线 按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线将所描的点顺次连接起来，得到的曲线即为二次函数的图象，也称为抛物线。 注意：描点时取值要具有代表性，连线时务必使用平滑曲线，而非折线，这是二次函数图象的重要特征。 1.7.2013 我们先从最简单的二次函数 y = x² 开始研究。我们将采用熟悉的描点法来画出它的图象。请大家准备好作图工具，跟随我一起完成下面的步骤。 ‹#› 步骤1：列表取值 为了方便后续描点作图与直观观察函数图象的对称性，我们通常选取一系列关于原点对称的整数作为自变量 x 的取值，代入二次函数解析式 y=x² ，计算出对应的函数值 y ，形成完整的数值对应关系。 自变量 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... 函数值 y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ... 1.7.2013 第一步是列表。为了方便描点和观察图象的对称性，我们通常取一些对称的整数，比如-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3。计算出对应的y值。大家会发现，当x取相反数时，y的值是相等的，这预示着我们的图象可能是左右对称的。 ‹#› 步骤2：描点与连线 01. 精准描点 在平面直角坐标系中，以表格记录的各组(x, y)对应值为坐标，在坐标系内逐一准确描出相应的点，这是构建函数图象的基础环节，确保每个点的位置无误是图象准确的前提。 02. 平滑连线 按照自变量x从小到大的顺序，用一条平滑的曲线将描出的点依次连接。平滑的曲线能体现函数变化的连续性，这是绘制二次函数图象区别于一次函数的关键特征。 关键注意：严禁画成折线 折线是由线段连接而成，无法反映二次函数值的连续变化趋势，只有平滑的曲线才能准确呈现函数图象的形态。 趋势特征：图象无限延伸 因为自变量x的取值范围是全体实数，所以在绘制图象时，两端要向左右两边无限延伸，不能在最后一个描点处停止或封口。 1.7.2013 第二步是描点和连线。请大家在坐标系中准确描出刚才表格中的各个点。然后，用一条平滑的曲线，而不是折线，将这些点从左到右依次连接起来。这条曲线就是函数 y = x² 的图象。 ‹#› 观察 y=x² 图象，归纳性质 01. 开口方向 抛物线的开口向上，没有最高点，图象向左右两边无限延伸，且离y轴越远的点，纵坐标的绝对值越大。 02. 对称轴特征 图象关于y轴（直线x=0）对称，y轴即为该抛物线的对称轴。对称轴两侧的图象形状相同、位置对称，互为镜像。 03. 顶点坐标与意义 图象与对称轴的交点是原点(0, 0)，这个点是抛物线的最低点，也是函数取得最小值的位置。 04. 函数的增减性规律 对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大。 1.7.2013 现在我们来观察这条抛物线。它的开口是向上的。它关于y轴对称，我们称y轴为它的对称轴。图象与对称轴的交点是原点(0,0)，这个点是抛物线的最低点，我们称之为顶点。从增减性来看，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在右侧，y随x的增大而增大。 ‹#› 例1：同坐标系画y=和y=2 01. 列表取值，计算对应函数值 自变量 x y= y=2 -2 , -1 , 0 , 1 , 2 2 , 0.5 , 0 , 0.5 , 2 8 , 2 , 0 , 2 , 8 02. 图象特征与规律分析 共通特征： 三个函数图象的顶点均为原点(0,0)，对称轴都是y轴（直线x=0）；且当x=0时，都取得最小值y=0。 开口大小规律： 二次项系数a的绝对值越大，抛物线的开口越小。对比可知：|2| > |1|> || ，因此y=2 开口最窄， y= 开口最宽。 1.7.2013 接下来我们看一个例题。请大家在同一个坐标系中，画出函数 y = (1/2)x² 和 y = 2x² 的图象。我们同样采用列表、描点、连线的方法。为了方便对比，我们把之前画的 y = x² 的图象也放在一起。 ‹#› 思考讨论：a>0图象的异同 01. 函数图象的相同特征 开口方向一致 三个函数的图象开口均向上，展现出完全一致的开口趋势。 对称轴均为y轴 三条抛物线的对称轴都是直线 x=0（即y轴），图象关于y轴对称。 顶点同为原点 图象的顶点都是原点(0,0)，且该点是三个函数的最低点 增减规律相同 在对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大（左减右增）。 02. 函数图象的差异 开口宽窄由 |a| 决定 对于二次函数 y=ax² (a>0)，a 的绝对值越大，抛物线的开口就越窄；a 的绝对值越小，抛物线的开口就越宽。 a 越大，开口越窄 例：y=2x² 的开口，比 y=x² 的开口更窄，图象更“陡峭” a 越小，开口越宽 例： y= 的开口，比 y=x² 的开口更宽，图象更“平缓”。 1.7.2013 现在我们来对比这三条曲线。它们有什么相同点和不同点？相同点是，它们的开口都向上，对称轴都是y轴，顶点都是原点。不同点在于开口的宽窄。大家可以看到，a的值越大，比如2，开口就越窄；a的值越小，比如1/2，开口就越宽。 ‹#› 动态演示：a对开口的影响 结论：|a| 越大，抛物线的开口越窄。 1.7.2013 我们可以通过一个动态演示来更直观地感受这个规律。当a的值从0开始逐渐增大时，抛物线的开口会变得越来越窄。所以我们得出结论：当a大于0时，a的绝对值越大，抛物线的开口就越窄。 ‹#› a>0时 y=ax² 的性质 01. 开口方向 当 a>0 时，抛物线的开口方向为向上，呈现“U”型结构，无限延伸至正无穷。 02. 对称轴 抛物线关于y轴（直线 x=0）对称，y轴两侧的图像互为镜像，是抛物线的核心对称轴。 03. 顶点与最值 顶点坐标为原点 (0, 0)，此点是抛物线的最低点，函数在此处取得最小值 y=0。 04. 函数的增减性（单调性） 当 x<0 时，y 随 x的增大而减小；当 x>0时，y 随 x 的增大而增大，呈现“左减右增”的变化规律。 05. 开口宽窄的规律 参数 a的绝对值决定开口大小：|a| 越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，开口越宽，a 仅影响开口大小与方向。 1.7.2013 现在我们来总结一下当a大于0时，函数 y = ax² 的性质。它的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，也是最低点。增减性是左减右增。并且，a的绝对值越大，开口越窄。 ‹#› 自主探究：a<0的y=ax² 请同学们仿照研究 y= x² 的方法，独立完成对函数 y=- x² 的图象绘制与性质分析，对比两者的异同点，尝试总结 a<0 时二次函数的普遍特征。 思考一：开口方向 结合 a>0 时的图象特征，说出 y=- x² 的抛物线开口方向是向上还是向下？顶点位置会发生变化吗？ 思考二：增减性差异 在对称轴两侧，y=- x² 的函数值变化规律会和 y= x² 完全一样吗？尝试从自变量增大的角度分析函数值的变化趋势。 1.7.2013 了解了a大于0的情况，那如果a小于0呢？请大家自主探究函数 y = -x² 的图象和性质。思考一下，它的开口方向和增减性会和 y = x² 有什么不同？请大家动手画一画。 ‹#› y=- x², y=- x², y=-2 x² 图象对比 图示：三条抛物线均以原点为顶点，开口向下。其中 y=-2 x² 开口最窄，y=-- x² 开口最宽。 开口方向 三个函数的图象开口方向完全一致，全部向下，说明当二次项系数 a<0 时，抛物线开口向下。 顶点特征 三条抛物线的顶点均为坐标原点 (0,0)，且因为开口向下，该顶点同时也是图象的最高点。 增减性规律 在对称轴左侧（x<0），y随x增大而增大；在右侧（x>0），y随x增大而减小，即“左增右减”。 开口宽窄规律 二次项系数的绝对值 |a| 越大，抛物线的开口越窄；|a| 越小，开口越宽。 1.7.2013 大家画好了吗？我们来看一下 y = -x² 的图象。它的开口是向下的，顶点是原点，也是最高点。增减性与 y = x² 正好相反，是左增右减。同样，我们对比 y = -x², y = -(1/2)x², y = -2x² 的图象，会发现开口宽窄的规律是一样的：|a|越大，开口越窄。 ‹#› a<0时y= ax² 的性质 01. 开口方向 抛物线的开口方向为向下，图像无限延伸至y轴负方向，函数值没有最小值，存在唯一的最高点。 02. 对称轴 抛物线的对称轴为y轴（即直线x=0），图像关于y轴成轴对称，抛物线上对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。 03. 顶点特征 抛物线的顶点为原点(0, 0)，该点是抛物线的最高点，也是函数取得最大值的位置，此时函数的最大值为0。 04. 函数增减性 当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小，呈现“左增右减”的变化规律。 05. 开口宽窄规律 |a|的大小决定抛物线开口的宽窄：|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，开口越宽。此规律与a>0时完全一致。 1.7.2013 现在我们来总结当a小于0时的性质。它的开口向下，对称轴仍然是y轴，顶点是原点，但这次是最高点。增减性是左增右减。开口宽窄的规律和a大于0时一致：|a|越大，开口越窄。 ‹#› 归纳：y=ax² 的性质 当 a > 0时 开口方向：向上，无限延伸 对称轴：y轴（直线 x=0） 顶点坐标：原点 (0, 0) 顶点特征：图像的最低点 函数最值：当 x=0 时，y有最小值 0 增减性：在对称轴左侧减、右侧增 当 a < 0 时 开口方向：向下，无限延伸 对称轴：y轴（直线 x=$） 顶点坐标：原点 (0, 0) 顶点特征：图像的最高点 函数最值：当 x=0时，$y$ 有最大值 0 增减性：在对称轴左侧增、右侧减 共同规律：开口宽窄与 |a|的关系 |a|越大，抛物线的开口越窄；|a| 越小，抛物线的开口越宽。这一规律与 a的正负无关。 1.7.2013 最后，我们把a大于0和a小于0的情况汇总在一个表格里。大家可以清晰地看到它们的相同点和不同点。相同点是对称轴和顶点都相同，开口宽窄的规律也相同。不同点在于开口方向、顶点特征和增减性。 ‹#› 分层课堂练习 01 基础层：动手绘图实操 任务要求：在同一直角坐标系中，尝试画出二次函数y=3x²与y=-3x²的草图。绘制完成后，观察两个函数图像的开口方向、开口大小以及顶点位置的异同点。 02 提升层：口述性质分析 聚焦函数y=-x²，结合二次函数的一般性质，依次口述出该函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及在对称轴两侧的函数增减性规律，并简要说明判断依据。 1.7.2013 现在请大家完成这两道练习题。基础层的同学请画出两个函数的草图。提升层的同学请直接口述出给定函数的各项性质。 ‹#› 课堂小结 01 作图方法 核心方法：描点法 遵循“列表 → 描点 → 平滑连线”的基本步骤，通过选取关键的自变量与函数值对应点，在平面直角坐标系中准确绘制二次函数的图象轮廓。 02 核心性质 开口方向：由 a 的符号决定，a>0 向上，a<0 向下。 对称与顶点：对称轴为 y 轴，顶点坐标是原点 (0,0)。 开口宽窄：|a| 越大，开口越窄；|a| 越小，开口越宽。 03 数学思想 数形结合：将函数解析式与图象结合，直观分析函数的变化规律与特征。 特殊到一般：从 y=x² 推广到 y=ax²，归纳总结一般形式的性质。 分类讨论：分 a>0 和 a<0 两种情况，全面分析函数的不同形态。 1.7.2013 好了，我们来总结一下本节课的内容。我们学习了用描点法画二次函数图象，掌握了 y = ax² 的各项性质，特别是参数a的作用。同时，我们也体会了数形结合、从特殊到一般、分类讨论等重要的数学思想。 ‹#› 作业布置 P35-p36:第1、2题 1.7.2013 今天的作业分为三个层次。基础作业是规范画图和写性质。提升作业需要结合增减性比较函数值大小。拓展任务则鼓励大家利用信息技术工具，更深入地探索参数a对图象的影响。 ‹#› Lavf58.29.100 #[1088x888][59.97fps][854k][128k][s][tv=2d66_atlas-5.8.6-23-gcada6dd][uploadSource=APP][p=Vn1EYwrd8wW5W0Ey3ATJaw==] ccd918c589e1353a395edda93b39cb50 [{"creationDate":"2024-11-27T17:44:37+0800","location":"","make":"","videoIndex":1,"userSystem":"14","appRecord":"0","MD5":"12c4d145dadd36b8b41813385468d273","videoDevice":"","system":"14","userDevice":"V2217A","deviceResolution":[],"importPath":"\/data\/user\/0\/com.ss.android.ugc.aweme\/files\/shortvideo\/draft\/6468146e-b18e-45ab-8dd3-fd34e4c26fbc\/infini_preview\/2b253d01a818917988ae1495c2f0c319.mp4","videoResolution":{"width":1088,"height":888},"videoDuration":31500,"isRecord":0,"isCropped":1}] $