26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过复习二次函数概念及函数研究“从特殊到一般”路径，用类比方法搭建学习支架，从一般式过渡到最简单的y=ax²，再以y=x²为具体实例展开探究。 其亮点是以描点法画图为基础，通过“思考”“议一议”等互动引导学生观察图象对称性、开口方向等特征，用表格对比a>0与a<0时的性质，培养几何直观和推理意识。结构化小结助学生系统掌握知识，教师可借清晰流程提升效率，学生能发展数学思维与表达能力。

第二十六章 二次函数 26.2.1 二次函数的图象和性质 学习目标 1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关. 2.能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点. 二次函数 概念 图象 性质 一次函数 正比例函数 从特殊 到一般 类比 描点法画图 观察图象特征 归纳函数性质 形如y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数. 复习回顾 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 最简单的二次函数y=ax2 y=x2 探究新知 画二次函数 y=x2 的图象. 1.列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 2.描点. 3.连线. y =x2 用平滑曲线，自左向右顺次连接，向两端无限延伸. 探究新知 探究新知 可以看出，二次函数 y=x2 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c . y=x2 y=x2 在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 (−m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称. 思考：抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？ 顶点 对称轴 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 探究新知 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 从二次函数y=x2的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. 思考：你还能从图象中看出什么？ 左侧 右侧 减小 增大 探究新知 y =x2 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 探究新知 议一议：说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. y=x2 1.y＝x2的图象是一条抛物线； 2.图象开口向上； 3.图象关于y轴对称； 4.顶点（0，0）； 5.图象有最低点． 探究新知 用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤 (1)列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格； (2)描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点； (3)连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸. 说明：用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确. y =x2 y=2x2 思考：（1）函数y= x2 ，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？ ①图象开口向上； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最低点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. 开口大小 探究新知 思考：(2)当a>0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？ y =x2 y=2x2 ①图象开口向上； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最低点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而减小； 当x>0时，y随着x的增大而增大. ⑥a越大，抛物线的开口越小. 探究 回顾上面研究二次函数 y=ax2 (a>0) 的 图象和性质的过程，你能用类似的方法研究 二次函数 y=ax2 (a<0) 的图象和性质吗？ 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=﹣x2， y=﹣x2 ，y=﹣2x2的图象. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 探究新知 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 y =－x2 y=-2x2 ①图象开口向下； ②顶点（0，0）； ③图象关于y轴对称； ④顶点是抛物线的最高点； ⑤当x<0时， y随着x的增大而增大； 当x>0时，y随着x的增大而减小. ⑥a越小，抛物线的开口越小. y=ax2(a＜0)的特点： 探究新知 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 二次函数 y=ax2 的图象和性质 探究新知 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 已知抛物线 ，回答下列问题： 抛物线  开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______； 当  时， 随  的增大而______，当  时， 随  的增大而______； 对于任意的  值，总有函数值  ___ 0，当  ___ 时， 有最_____值，是______. 例 下 减小 y轴 (0,0) 增大 ≤ 0 大 0 探究新知 知识点 二次函数 y=ax2 的图象和性质 新知讲解 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： (1)y=3x2; (2)y=-3x2. 解：函数图象如图所示. 课堂练习 【教材P35练习第1题】 随堂练习 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着 x 的增大，y 的变化情况. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点 当 x<0 时（y 随 x 的变化） 当 x>0 时（y 随 x 的变化） y=4x2 向上 y 轴 原点 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 y=−4x2 向下 y 轴 原点 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 y=​x2 向上 y 轴 原点 y 随 x 的增大而减小 y 随 x 的增大而增大 y=−​x2 向下 y 轴 原点 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 课堂练习 【教材P36练习第2题】 随堂练习 观察右面图象，抛物线y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系是什么? 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. 拓展练习 1. 函数y=2x2的图象的开口_______，对称轴是_______， 顶点是________ . 在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______. 2. 函数y=-5x2的图象的开口_______，对称轴是_______， 顶点是________ . 在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______. 向上 y轴 （0，0） 减小 增大 向下 y轴 （0，0） 增大 减小 巩固练习 3.如右图，观察函数y=(k-1)2的图象，则k的取值范围是_______. 4.已知下列二次函数 ①y=-x2；②y= x2；③y=15x2； ④y=-4x2；⑤y=4x2. （1）其中开口向上的是________（填序号）； （2）其中开口向下且开口最大的是______（填序号）； （3）有最高点的是_______（填序号）. k>1 ②③⑤ ① ①④ 巩固练习 5.若抛物线y=ax2(a≠0)，过点(-1，2). （1）则a的值是_______； （2）对称轴是_______，开口_______. （3）顶点坐标是_______，顶点是抛物线上的最_______点.抛物线在x轴的_______方(除顶点外). （4）若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1___ y2. 2 y轴 向上 (0，0) 低 上 > 巩固练习 二次函数y=ax2的 图象和性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 $