25.3 实际问题与一元二次方程 课时同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习围绕“实际问题与一元二次方程”，通过选择、填空、解答三层设计，覆盖从概念建模到综合应用的知识路径，梯度合理，适配新授课基础巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一实际问题列方程|如连续自然数平方和（选择1），聚焦概念理解，培养抽象能力| |中档|复杂情境方程应用|如商品两次降价（选择2），结合经济问题，发展运算能力| |综合|多步骤综合问题解决|如鸡场面积设计（解答19），融合几何与方程，提升模型意识与应用能力|

参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12. 或  13.   14.   15.   16. 秒  17.  解：设围成面积为的矩形的长为，则宽为根据题意，得，解得，．长宽，，．能围成的矩形，这个矩形的长为，宽为．  18. 解：设一次函数解析式为：， 当，；当，； ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 由题意得：  ， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到更大的实惠， ， 答：商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价元．  19. 【小题】 解：设垂直于墙的一边长为米，则，解得，，当时，；当时，舍，鸡场的长为米，宽为米； 【小题】 设垂直于墙的一边长为米，则，即，，方程没有实数解，所以鸡场面积不可能达到平方米； 【小题】 当时，不能围成一个面积为平方米长方形鸡场；当时，可以围成一个面积为平方米长方形鸡场；当时，可以围成两种长宽不同的面积为平方米长方形鸡场．  20. 解：设该公司投递快递总件数的月增长率为． 依题意，得． 解得：，不符合题意，舍去． 答：该公司投递快递总件数的月增长率为． 万件， ， 若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数不能达到万件．  21. 解：设每张桌面的宽为尺， 根据图形，可得小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺． 故可得， 解得：，舍去， ， 答：长桌的长为尺．  22. 【小题】 解：设每次下降的百分率为，由题意，得， 解得或舍去． 答：每次下降的百分率为； 【小题】 设每千克应涨价元，由题意，得， 解得，．，． 答：每千克应涨价元．  23. 【小题】 解：设四、五这两个月的月平均增长率为． 依题意，得，解得，不合题意，舍去答：四、五这两个月的月平均增长率为． 【小题】 设商品降价元，则每件获利元，月销售量为件 依题意，得，整理，得，解得，． 答：当商品降价元或元时，商场月获利元． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3实际问题与一元二次方程课时同步练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若两个连续的自然数的平方和为，设较小的自然数为，则根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 2.某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件元降到每件元，则平均每次降价的百分率为    ． A. B. C. D. 3.水果店用元进了一批水果，按的利润定价，无人购买决定打折出售，仍然无人购买，结果又一次打折后全部售出经结算，这批水果共盈利元已知两次打折的折扣相同，则每次的折扣是(    ) A. 折 B. 折 C. 折 D. 折 4.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染时间为一天某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有只鸡患有这种病若每只病鸡每轮传染健康鸡的数量均相同，则每只病鸡每轮传染健康鸡(    ) A. 只 B. 只 C. 只 D. 只 5.北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站包括北京站、上海站，针对此动车有种不同行程的火车票设共有个火车停靠站，则根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 6.中国古代数学家杨辉的田亩比类乘除捷法中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”其大意是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？若设这个矩形的宽为步，则根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 7.随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，学校决定举办校级足球联赛第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛已知共进行场比赛，且无任何重复对阵若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为(    ) A. B. C. D. 8.如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 9.如图，阳光中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上铺设道路图中阴影部分，其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的面积和为，则道路的宽度为(    ) A. B. C. D. 10.某钢铁厂一月份生产钢铁，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.一个长方形的长比宽多，面积为，设宽为，则可列方程为          ． 12.一个两位数，个位数字比十位数字大，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是          ． 13.某次排球邀请赛中，参赛的每两个队伍之间要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排了天，每天安排场比赛设比赛组织者应邀请个队伍参加比赛，那么可列方程为          ． 14.某产品每件的生产成本为元，原定的销售价格为元经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，则可列方程为          ． 15.某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根若主根、支根、小支根的总数是个，则这种植物的主根长出          个支根． 16.如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动移动方向如图所示，点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当面积为时，则点运动的时间是          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. 用一条长的绳子怎样围成一个面积为的矩形长大于宽？ 18.青岛市某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量千克与每千克降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示： 求与之间的函数关系式； 商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元？ 19.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． 若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ 若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 20.我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年月份投递快递总件数为万件，月份投递快递总件数万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． 求该公司投递快递总件数的月增长率； 若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么月份投递快递总件数是否达到万件？ 21.燕几即宴几是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．下图给出了燕几图中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？ 22.某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元． 若连续两次降价后每千克元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； 若按现价销售，每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 23.年，某商场于今年年初以每件元的进价购进一批商品当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件． 求四、五这两个月的月平均增长率． 从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销售量增加件，当商品降价多少元时，商场月获利元？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $