21.2.4 一元二次方程根的判别式（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程根的判别式，从求根公式提炼Δ=b²-4ac，课堂导入通过复习求根公式中根号内式子的作用，自然衔接公式法与判别式，搭建从已知到新知的学习支架。 特色在于针对学生易错点设计分类归纳与对比辨析，如含参数方程强调a≠0与Δ条件的双重考量，培养推理意识与分类讨论思维，分层练习提升运算能力与应用意识，帮助学生夯实基础、规避错误，为教师提供精准教学支持。

4.一元二次方程根的判别式21.2.5 一元二次方程根的判别式 教案 一、教材分析 《一元二次方程根的判别式》是一元二次方程章节的重要专题内容，安排在公式法之后。本节课从求根公式中提炼出判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$，实现不解方程即可快速判断一元二次方程实数根的情况，是对公式法的提炼与升华。根的判别式不仅是中考必考基础知识点，也是后续含参数方程问题、二次函数图像与x轴交点问题的重要工具，起到衔接方程与函数知识的桥梁作用，在整个初中代数体系中具有极高的应用价值。 二、学情分析 学生在公式法学习中已经初步接触判别式，知道根号内式子决定根的有无，但对判别式的本质、分类规律、题型应用掌握不系统。九年级学生具备一定的归纳推理能力，但普遍存在三大问题：一是不会准确区分三种根的情况；二是在含参数题型中容易忽略a≠0的隐藏条件；三是审题不清，分不清“有实数根”和“有两个不相等实数根”的区别。本节课通过归类总结、对比辨析、参数专题突破，补齐学生知识漏洞。 三、教学目标 1. 知识与技能：理解根的判别式的由来与意义，掌握$$\Delta=b^2-4ac$$ 的三种根的判定规律；能不解方程直接判断根的情况；能利用判别式求解含参数一元二次方程中字母的取值范围。 2. 过程与方法：经历从求根公式提炼判别式的过程，体会数形结合、由一般到特殊的数学思想；通过典型例题、变式训练，提升学生分类讨论、逻辑推理与综合解题能力。 3. 情感态度与价值观：体会数学式子的简洁性与规律性，感受数学预判思维的优势，培养严谨的分类讨论思维和规范的解题习惯，提升学生代数学习的自信心。 四、教学重难点 重点：掌握根的判别式的三种判定结论，能熟练判断一元二次方程根的情况。 难点：含参数一元二次方程中，结合 $$\Delta$$ 和 $$a≠0$$ 双重条件求解字母取值范围；区分“两个不相等实根、两个相等实根、有实数根”的不同题意。 五、教学准备 多媒体课件、分层练习题、判别式易错对比题型素材 六、教学过程 （一）复习回顾，激趣导入（5分钟） 回顾求根公式结构，提问学生：一元二次方程是否一定有实数根？决定方程有无实数根的关键部分是公式中的哪一段？学生回答根号内的式子 $$b^2-4ac$$。教师顺势总结：正是这一式子决定了根的个数，我们将其定义为根的判别式，从而引入本节课课题：一元二次方程根的判别式。 （二）探究新知，归纳结论（22分钟） 1. 判别式概念归纳 对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，定义根的判别式：$$\Delta=b^2-4ac$$。结合根式有意义的条件，归纳三种核心结论：$$\Delta>0$$，方程有两个不相等的实数根；$$\Delta=0$$，方程有两个相等的实数根；$$\Delta<0$$，方程没有实数根。教师强调：必须保证$$a eq0$$，否则不是一元二次方程，不能使用该判别结论。 2. 基础题型讲解 示范不解方程判断根的情况，例题：$$x^2-2x-3=0$$。步骤固化：先确定a、b、c，再计算 $$\Delta$$，最后对比判断根的情况。多举正负、零不同案例，让学生熟练基础判定流程。 3. 重难点突破：含参数问题 讲解中考高频题型：已知方程 $$(m-1)x^2+2x+1=0$$ 有两个不相等实数根，求m的取值范围。着重强调双重条件：二次项系数 $$m-1 eq0$$ 且 $$\Delta>0$$。同时辨析易混概念：“有两个实数根”包含相等和不相等两种情况，对应 $$\Delta\geq0$$；“有两个不相等实数根”对应 $$\Delta>0$$。 4. 高频易错点汇总 易错点一：忽略二次项系数不为0的隐藏条件；易错点二：混淆“$$\Delta>0$$”与“$$\Delta\geq0$$”；易错点三：代入a、b、c时符号出错；易错点四：非一元二次方程乱用判别式。通过错题辨析，纠正学生思维漏洞。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：不解方程，判断各类一元二次方程根的情况，夯实基础结论；提升练习：简单含参数求取值范围，训练双重条件思维；拓展练习：结合方程根的情况，综合判断参数整数解，提升综合应用能力。学生独立完成后小组互评，教师集中讲解共性错误，强化解题规范性。 （四）课堂小结，梳理知识（3分钟） 引导学生自主总结：判别式公式、三种根的判定结论、含参数解题双重条件、易混概念区别。教师升华：判别式实现了“不解方程判根情”，是方程与函数衔接的重要工具，是后续学习的重要基础。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，熟练判别式基础应用；拓展作业：整理判别式三类题型与易错点，重点记录含参数题型的解题注意事项。 七、板书设计 21.2.5 根的判别式 1. 判别式：$$\Delta=b^2-4ac\ \ (a eq0)$$ 2. 根的情况： $$\Delta>0$$ 两个不相等实数根 $$\Delta=0$$ 两个相等实数根 $$\Delta<0$$ 无实数根 3. 参数题型核心：$$a eq0$$ + $$\Delta$$ 条件 4. 易错：有两个实数根$$\Rightarrow\Delta\geq0$$ 八、教学反思 本节课从求根公式自然提炼判别式，知识衔接顺畅，逻辑清晰，符合学生认知规律。通过分类归纳、例题示范、变式训练，学生基本掌握判别式的判定方法，能够独立判断方程根的情况。课堂教学中发现，学生基础判断题型掌握较好，但含参数综合题型易错率较高，普遍忘记二次项系数不为0的隐藏条件，对“有实数根”与“有两个不相等实数根”的概念区分模糊。后续教学中，需加强分类讨论思想的专项训练，强化双重条件解题思维，多设置对比变式题，帮助学生精准区分概念、规避易错点，提升学生综合解题能力。 1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点) 2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋＝0； (3)x2－x＋1＝0. 解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程有两个相等的实数根． (3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根． 【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<－2 解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C. 方法总结：若方程有实数根，则b2－4ac≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根． 解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a，b，c是三角形三条边的长可知a，b，c都是正数．由三角形的三边关系可知a＋b>c，a＋c>b，b＋c>a. 证明：∵b为三角形一边的长，∴b≠0，∴b2≠0，∴b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0是关于x的一元二次方程．∴Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(b2＋c2－a2＋2bc)(b2＋c2－a2－2bc)＝[(b＋c)2－a2][(b－c)2－a2]＝(b＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根． 方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号． 【类型四】 利用根的判别式解决存在性问题 是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：不存在，理由如下： 假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0. 而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾． ∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根． 易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面． 三、板书设计 本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调. 学科网（北京）股份有限公司 $