21.2.4 一元二次方程根的判别式（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

4.一元二次方程根的判别式

1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点)

2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

一、情境导入

老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？

 

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的根的情况

【类型一】判断一元二次方程根的情况

不解方程，判断下列方程的根的情况．

(1)2x2＋3x－4＝0；

(2)x2－x＋＝0；

(3)x2－x＋1＝0.

解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．

解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．

(2)x2－x＋＝0，a＝1，b＝－1，c＝.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程有两个相等的实数根．

(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．

方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．

 

【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值

已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　)