第十章 二元一次方程组（暑假巩固作业02）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 初中数学暑假同步练，聚焦二元一次方程组，以"基础巩固-情境应用-综合探究"分层设计，覆盖概念理解、运算技能及模型应用，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二元一次方程（组）定义、解、代入/加减消元法|选择1-8题、填空11-14题，考查概念辨析与基本运算，夯实基础| |提升层|情境建模、数学文化|选择9-10题（圆柱水面、地砖图案）、填空15-16题（算筹、桌子高度），结合图形与传统文化，发展几何直观| |综合层|实际应用与探究|解答19-24题（物流分拣、头盔进价、粽子促销等），通过真实情境构建模型，提升推理意识与应用能力|

第十章 二元一次方程组（暑假巩固作业02） 一、选择题 1．若是关于的二元一次方程，则（     ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各组数中，是二元一次方程的解的是（     ） A． B． C． D． 4．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 5．若方程组的解为，则表示的数是（     ） A． B． C．1 D．2 6．已知方程组：，则的结果是（    ） A．7 B．5 C．3 D． 7．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．我们在解二元一次方程组时，可将代入中，消去从而求解，这种解法体现的数学思想是（     ） A．分类讨论 B．转化 C．数形结合 D．类比 9．一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入大铁球和小铁球的个数可能是（     ） A．1个大铁球和7个小铁球 B．2个大铁球和5个小铁球 C．3个大铁球和4个小铁球 D．4个大铁球和1个小铁球 10．小敏观察到某地砖图案（如图1），其平面示意图（如图2）是由块大小完全相同的小长方形拼成的大长方形．若，则其中一个小长方形的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知二元一次方程，用含的代数式表示，得________． 12．若是关于的二元一次方程的一个解，则的立方根为____________． 13．若方程组的解与方程的一组解相同，则为______． 14．若是二元一次方程的一个解，则___________ 15．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如从左到右列出的算筹数依次表示方程中未知数x，y的系数和相应的常数项，即表示方程，则表示的方程是____________． 16．小虎的妈妈从花店买回一个花瓶和一把喷水壶，小虎按如图所示放置并测量，则桌子的高度为_______． 三、解答题 17．解方程 (1) (2) 18．一个正数的两个平方根分别是和，且． (1)求和的值； (2)求的值． 19．2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两型智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹．求A、B两型机器人每小时分别分拣多少件包裹？ 20．在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； （甲） (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． （乙） （丙） 填空：________，________，________；________，________，________． 21．某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动；某安全用品商店准备购进A，B两种头盔，已知：若购进个A种头盔和个B种头盔需要元；若购进个A种头盔和个B种头盔需要花费元；求每个A种头盔和B种头盔的进价． 22．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从月日起开始打折促销，肉粽六折，白米粽五折，打折前购买盒肉粽和盒白米粽需元，打折后购买盒肉粽和盒白米粽需元．小莘同学想买肉粽和白米粽各盒，他月日购买的花费比在打折前购买节省了多少元？ 23．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 24．如皋市某中学组织七年级师生前往国家级景区水绘园开展“寻访园林文化”研学活动．学校计划租用座和座两种新能源客车，要求每辆车均坐满． (1)若两种客车共租用辆，且恰好一次载完全部师生人，求这两种客车各租用了多少辆？ (2)研学途中，师生们参观如派盆景展览．工作人员计划在一个面积为平方分米的矩形展台上完全摆满两种规格的盆景底座：大号底座每个占地平方分米，小号底座每个占地平方分米．要求两种底座都必须使用，且展台无空隙、无重叠． ①请写出所有满足条件的摆放方案（需列明大号、小号底座各多少个）； ②若大号底座每个制作成本为元，小号底座每个制作成本为元，为节约成本，应选择哪种方案？最低成本是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第10章 二元一次方程组（暑假巩固作业02） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B A A A B B C 1．C 【分析】根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数的次数都为1，且未知数的系数不为0，据此列出等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程 ∴的次数为，且的系数不为，可得且 解得，即， 由得， ∴． 2．C 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：方程组共含两个未知数，所有方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解： A：方程组中共有三个未知数，不满足二元要求，A错误； B：方程组中第一个方程不是整式方程，不满足要求，B错误； C：方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数均为1，符合二元一次方程组的定义，C正确； D：方程组中第二个方程的未知数次数为2，不满足一次要求，D错误； 3．D 【分析】将各选项的代入方程，验证等式是否成立，等式成立的即为方程的解． 【详解】解：A、将代入方程中，左边，右边，此时左右两边不相等，则不是方程的解，故此选项不符合题意； B、将代入方程中，左边，右边，此时左右两边不相等，则不是方程的解，故此选项不符合题意； C、将代入方程中，左边，右边，此时左右两边不相等，则不是方程的解，故此选项不符合题意； D、将代入方程中，左边，右边，此时左右两边相等，则是方程的解，故此选项符合题意． 4．B 【详解】解：由题意得，， 解得，． 5．A 【详解】解：∵方程组的解为， ∴． 6．A 【分析】直接用第二个方程减去第一个方程，即可直接得到的值． 【详解】解：， 得， 整理得． 7．A 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，解题思路是将方程①中的表达式代入方程②，去括号整理后即可得到正确结果． 【详解】解： 将方程①代入方程②，得 ∴． 8．B 【详解】解：解二元一次方程组的代入消元法，是通过代入消去一个未知数，将原二元一次方程组转化为一元一次方程，把未知的二元问题转化为已经会解的一元问题，这种将复杂问题转化为简单已知问题的思想就是转化思想． 9．B 【分析】通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案． 【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y， 依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21， 则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，，， 则只有B选项符合题意． 10．C 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形列方程组，然后解方程组求得x、y值，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形，得，解得， 则小长方形的长为，宽为， ∴小长方形的面积为． 11． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12． 【分析】将方程的解代入已知二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值，再根据立方根的定义计算结果即可． 【详解】解：把代入方程中，得：， 解得：， ， 的立方根为． 13． 【分析】根据题意，原方程组的解同时满足，因此先联立与求出公共解，再将公共解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：原方程组的解与的解相同， 联立， 解得， 将，代入， 得， 解得． 14． 【分析】根据二元一次方程的解的定义可得，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，． 将代入方程得． ． 15． 【分析】根据算筹的表示方法，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】解：从左到右，第一列1根竖筹表示x的系数为1， 第二列4根竖筹表示y的系数为4，第三列2根横筹和3根竖筹表示常数项为23，所以表示的方程是． 16． 【分析】设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出方程组，再利用消元法解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子高度为，喷水壶高度为，花瓶高度为， 根据图中测量关系列方程组： ， 将两个等式相加，和抵消，得， 解得， 即桌子高度为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ②①得 解得 把代入②得 解得 原方程组的解为； （2）解： 把①代入②得 去括号整理得 解得 把代入①得 原方程组的解为． 18．(1)和的值分别为1和 (2)5 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合，进行求解即可； （2）先求出x的值，然后求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得： 和的值分别为1和； （2）解：∵， ， ， ∴， ∴． 19．A型机器人每小时分拣1500件包裹，B型机器人每小时分拣1000件包裹 【分析】列二元一次方程组解决实际问题． 【详解】解：设A型机器人每小时分拣x件包裹，B型机器人每小时分拣y件包裹． 由题意列二元一次方程组，得， 解得， 答：A型机器人每小时分拣1500件包裹，B型机器人每小时分拣1000件包裹． 20．(1)， (2)，，；，， 【分析】本题利用九宫图的定义，即各行、各列及对角线上三个数之和都相等，通过设未知数，列出方程组求解即可，第一问列二元一次方程组求，，第二问分别对图乙和图丙根据和相等的关系列方程，求解得到各未知数的值． 【详解】（1）解：依题意， 整理得 解得： （2）由图（乙）得， ∴，，； 由图（丙）得， ∴，， 21．每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元 【分析】设每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元，由题意得，进而求解即可． 【详解】解：设每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A种头盔的进价是元，每个B种头盔的进价是元． 22．节省元 【分析】设肉粽打折前单价元，白米粽打折前单价元，根据题意求出、，再分别求出打折前后买盒肉粽和盒白米粽需的钱，即可求解． 【详解】解：设肉粽打折前单价元，白米粽打折前单价元， 根据题意得， 解得， 打折前买盒肉粽和盒白米粽需（元）， 打折后买盒肉粽和盒白米粽需（元）， 节省（元）， 答：购买的花费比在打折前购买节省了元． 23．(1)每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件 (2)快递车的总配送路程是330千米 【分析】（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣x件包裹，新手分拣员每天可以分拣y件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 v千米/小时，总路程为S千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天分拣x件，新手分拣员每天分拣y件，根据题意得： ， 解得：， 每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件； （2）设原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意得： 解得：， 快递车的总配送路程是330千米． 24．(1)45座客车6辆，30座客车6辆 (2)①共3种方案：大号底座3个、小号底座11个；大号底座6个、小号底座6个；大号底座9个、小号底座1个； ②大号底座9个、小号底座1个最省钱，最少243元． 【分析】（1）设45座客车x辆，30座客车y辆，根据车辆总数和座位总数建立二元一次方程组求解． （2）①设大号底座x个，小号底座y个，由面积关系列不定方程，求正整数解． ②将①中各方案逐一计算费用，比较得出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设45座客车租用x辆，30座客车租用y辆， 根据题意，得： 解得：， 45座客车租用6辆，30座客车租用6辆． （2）解：①设大号底座x个，小号底座y个， 根据题意，得：， ， ，，且x、y均为正整数， ，即， 当时，； 当时，； 当时，， 满足条件的安排共有3种： 方案一：大号底座3个，小号底座11个； 方案二：大号底座6个，小号底座6个； 方案三：大号底座9个，小号底座1个． ②分别计算各方案的费用： 方案一：（元）， 方案二：（元）， 方案三：（元）， ， 方案三最省钱， 安排大号底座9个、小号底座1个最省钱，最少费用为243元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $