21.2.1 直接开平方法和因式分解法 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法与因式分解法，通过“油漆刷正方体盒子”的情景导入，从实际问题抽象出方程，结合“试一试”“例1 - 4”等例题，衔接平方根定义与方程求解步骤，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（情景导入激发探究），数学思维推理步骤（归纳直接开平方法“变形 - 开方 - 求解”流程），数学语言规范表达（例4辨析方程适用类型）。采用问题驱动与错误分析（如随堂练习纠正因式分解误用），助力学生发展抽象能力和运算能力，教师可借助结构化内容提升教学效率。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 21.2.1 直接开平方法 32100 1 1.会用直接开平方法解形如 x2 = p 或 (x+n)2 = p (p≥0) 的方程. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 3.能识别适用直接开平方法、因式分解法求解的一元二次方程的方程类型. 学习目标 32100 情景导入 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 32100 一、直接开平方法 一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可解得x1 = ，x2 = -，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 对于题(1)，方程 x2 = 4， 意味着x是4的平方根，所以 即 x = ±2. 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 = 2，x2 = -2. x = ±2 32100 知识模块一　用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0) 的一元二次方程 自学互研 （1）x2 = 4； （2）x2 – 1 = 0. 你是怎样解得？ 试一试 解下列方程： 32100 例1 用直接开平方法解下列方程． (1) x2 - 2 = 0； (2) 16x2 - 25 = 0. 解：(1) 移项，得x2 = 2， 直接开平方，得 x = ± ， 即x1 = ，x2 = - . 解：(2) 移项，得 16x2 = 25， 方程两边都除以 16，得x2 = ， 直接开平方，得 x = ± 即x1 = ，x2 = - . 尝试自行求解，并观察得出的解有何特点？ 32100 概括 对于题（1），有这样的解法： 方程 x2 = 4 ， 意味着 x 是 4 的平方根，所以 即 x =±2. x= ± ， 32100 (3)当 p < 0 时，因为任何实数 x，都有 x2≥0，所以方程 (I) 无实数根. 一般地，对于可化为方程 x2 = p ( p 是常数 )， (I) (1)当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不等的实数根 (2)当 p = 0 时，方程(I)有两个相等的实数根 = 0; 32100 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 = 2 ，x2 = – 2. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法. 32100 (1) x2 - 900=0. 解：(1)移项，得 x2 = 900. 直接开平方，得 x = ±30， ∴x1=30，x2=－30. 例2 利用直接开平方法解下列方程： （2）12(3－2x)2－3 = 0. 解：（2）移项，得 12(3-2x)2 = 3， 两边都除以 12，得 (3-2x)2 = 0.25. ∵3-2x 是 0.25 的平方根， ∴3-2x = ±0.5. 即 3 - 2x = 0.5，3-2x = -0.5， ∴ x1= ， x2= 这个方程如何转化为 （ ）2=a (a≥0) 的形式 并开方呢？ 32100 思考 方程x2 – 1 = 0能否用直接开平方法来解?要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式? 32100 解一元二 次方程 降次 直接开平方法 (1)变形; (2)开方; (3)求解. 形如：x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0) 平方根的定义 依据 步骤 特征 直接开方法的求解思路及适用类型 32100 自 探 主 究 解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程的具体方法和过程是什么？ 解：直接开平方法：去掉指数2，另一边加上±即可，最后分写结果． 32100 二、因式分解法 解：将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x - 1)(x+1)=0， 必有 x - 1= 0 或 x + 1=0. 分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝-1. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． （1） (2) 16x2 - 25 = 0. 这个方程能用因式分解法 求解吗？说说你的思路. 32100 合 探 作 究 范例：解下列方程： (1)x2－100＝0；　 　(2)4y2＝9. 解：(1)移项，得 x2＝100. 直接开平方，得 x＝±10. 即 x1＝10，x2＝－10. 32100 例3 利用因式分解法解下列方程： 解：(1) 方程左边分解因式，得 x(3x＋2) = 0. 分解 x = 0或 3x＋2 = 0. 得 x1 = 0， (1) 3x2 + 2x = 0； (2) 5x(x -3) -10(x -3) =0. （2）方程左边分解因式，得 5(x -3)(x-2) =0. 所以x-3=0或x-2=0, 得 因式分解 的方法 你还能进行怎样的因式分解？ 32100 (2)方程两边都除以4，得 y2＝ . 直接开平方，得 y＝±. 即 y 1＝， y 2＝－. 32100 因式分解法的基本步骤 一移——方程的右边 = 0； 二分——方程的左边因式分解； 三化——方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程两个解. 因式分解法的依据： 如果 a·b=0， 那么 a = 0 或 b = 0． 简记口诀： 右化零、左分解 两方程、各求解 32100 总结归纳 当方程的一边是未知数的平方，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解．一般地，对于x2＝p，当p＞0时，x1＝，x2＝－；当p＝0时，x1＝x2＝0；当p＜0时，方程无实数根． 32100 议一议： （1）你能写出满足两根为 x1＝2，x2＝3的一元二次方程吗？符合条件的方程只有一个吗？ （2）如果两根为 x1＝2，x2＝3，且要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么？ 注意： 如果一元二次方程的两根为x=x1，x=x2，则该方程必能写成a( x-x1)( x-x2)＝0（a≠0）的形式，反之也成立 . 5(x -3)(x-2) =0. 如(x -3)(x-2) =0；这样的方程有无数个 32100 知识模块二　用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程 自学互研 如何解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2的一元二次方程． 解：解法步骤是： (1)去掉指数2，另一边加上±； (2)分开书写方程； (3)解方程得最终结果． 32100 例4 下列方程: ①(x- 1)2-1=0; ②x2-5=0; ③(x2- 4x)-4=0;④(x-3)2+ 2=0；⑤x2=x;⑥x -x2- 3=0;⑦(5x+1)2=16. 可以用直接开平方法求解的有_______________;可以用因式分解法求解的有_______________. ① ② ⑦ ① ② ⑤ ⑦ 因式分解法：方程的一边为 0 ，另一边容易分解成两个一次因式的积的方程. 直接开平方法：形如x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0)的方程. 根据实际情况灵活选择 32100 课堂小结 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法. 直接开平方法解法步骤是： (1)去掉指数2，另一边加上±； (2)分开书写方程； (3)解方程得最终结果． 32100 1.填一填，说说你求解的方法. (1)方程 x2 + x = 0 的根是 _________________； (2) x2－25 = 0 的根是________________. x1 = 0，x2 = -1 x1 = 5，x2 = -5 32100 随堂练习 2.用直接开平方法解下列方程： (1) x2= 169; (2)45 -x2 =0; (3) 12y2 -25 =0; 解： (1)直接开平方，得x =±， 即x1＝，x2＝－. 32100 直接开平方，得x =± = ±， 即x1＝，x2＝－. (2)移项，得x2 =45 ， 直接开平方，得y =± = ±， 即y1＝，y2＝－. (3)先移项，再把系数化为 1，得y2 = ， 32100 3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来. 解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ① 由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③ 所以原方程的解为x1=8或x2=4. 解: 原方程化为： x2 －3x －28= 0， (x－7)(x+4)=0， x1=7，x2=－4. 32100 谢谢大家聆听 32100 $