21.2.1 直接开平方法和因式分解法 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，通过“x²=4”“x² - 1=0”等问题导入，前承平方根概念，后启降次思想，搭建从具体方程到一般解法的学习支架。 其亮点在于以问题探究培养数学眼光，步骤化小结强化数学思维，典例练习结合提升数学语言表达。如直接开平方法“移项、开平方”步骤，因式分解法“一移二分”流程，帮助学生掌握降次思想，教师可高效实施教学。

21.2.1 直接开平方法 和因式分解法 21.2.1 直接开平方法 和因式分解法 第1课时 直接开平方法 1.学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方程；（重点） 2.了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤. (重点) 学 习 目 标 试一试 解下列方程： =4 你是怎样解的？ 合 作 探 究 对于此题，有这样的解法： 方程 x2 = 4， 意味着x是4的平方根，所以x = ±， 即x = ±2. 这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1 = 2，x2 = -2. 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 新 知 小 结 (1) x2 - 2 = 0； (2) 16x2 - 25 = 0. 解：(1) 移项，得x2 = 2， 直接开平方，得 x = ± ， 即x1 = ，x2 = - . (2) 移项，得 16x2 = 25， 方程两边都除以 16，得x2 = ， 直接开平方，得 x = ± 即x1 = ，x2 = - . 例1 典 例 精 析 直接开平方法的一般步骤： 移项，左边是未知数的平方，右边是非负数的形式； 开平方，将方程转化为两个一元二次方程； 解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 方程=p的根： (1)p>0，方程x2=p有两个互为相反数的实数根 x1=-，x2= . (2)p=0，方程有两个相等的实数根x1=x2=; (3)p<0，方程无实数根. 新 知 小 结 例2 用直接开平方法解下列方程: (1) (2x+3)2=9; 解：(1)直接开平方，得 2x+3=±3 即2x+3=3 或2x+3 =－3 ∴ x=0或x= －3 ∴x1= 0, x2= －3 典 例 精 析 (2)直接开平方，得 （3x－4)=±(4x－3) 即3x－4=4x－3 或3x－4 =(4x－3) ∴ － x=1或7x=7 ∴x1= －1, x2=1 形式中，把平方看成一个整体，通过开平方，得到两个一元一次方程，再分别解一元一次方程. 转化为两个一元一次方程 降次 开方 (2) (3x－4)2=(4x－3)2 . 典 例 精 析 1. 用直接开平方法解下列方程： (1)2x²-32=0;(2)4(x-3)²-25 =0. 【分析】本题的4个方程变形后可以用直接开平方法 求解.(1)方程变形为x²=16;(2)方程变形为(x-3)²=. 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 2.计算 (1) 5(x+3)2－25=0; (2) 3(x-1)2=6; ， ， 随 堂 练 习 解析 把一元二次方程转化为或的形式，再用直接开平方法求解. ， (3) (4) 当≥0时， 当＜0时，方程无实数解. 随 堂 练 习 直接开平方法 直接开平方 直接开平方 a2=b2 两边分别开平方 课 堂 总 结 21.2.1 直接开平方法 和因式分解法 第2课时 因式分解法 1.学会用因式分解法解简单的一元二次方程；（重点） 2.了解用因式分解法解一元二次方程的解题步骤. (重点) 学 习 目 标 复 习 导 入 1.解一元二次方程的基本思路是什么? 2.解一元二次方程的方法有什么？ 降次 直接开平方法 还有没有其他解一元二次方程的方法呢？ 合 作 探 究 解：将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x-1)(x+1)=0， 必有x - 1= 0 或 x + 1=0. 分别解这两个一元一次方程，得x1＝1，x2＝-1. 解方程：x2-1=0 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 合 作 探 究 例1 解下列方程： (2) 5x（x-3） = 10（x-3）. (1) 3x2 + 2x = 0； 解：(1) 方程左边分解因式，得 x(3x＋2) = 0. ∴ x = 0或 3x＋2 = 0. 得 x1 = 0，x2 = - (2) 移项，得 5x（x-3）-10（x-3） = 0. 方程左边分解因式，得 5(x－3)(x－2)= 0. ∴ x－3= 0或x－2= 0.得 x1 = 3，x2 = 2. 典 例 精 析 因式分解法的基本步骤 一移——方程的右边 = 0； 二分——方程的左边因式分解； 三化——方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 新 知 小 结 试写出一个一元二次方程，要求它的两个根为x1 = 2，x2 = 3。符合条件的方程只有一个吗？如果还要求方程的二次项系数为5，符合条件的方程是什么？ 思 考 例2 用适当的方法解方程： (1)3x(x+5)=5(x+5); (2)(5x+1)²=1. 解：(1)化简(3x-5)(x+5)=0. 即3x-5=0或x+5=0. ∴x1=,x2=-5. 分析:（1）该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快. （2）方程一边以平方形式出现，另一边是常数,可直接用开平方法. （2）开平方，得 5x+1=±1. 解得x1=0,x2=-. 典 例 精 析 1.解下列方程： 解：(1)因式分解，得 ∴ x－2 = 0或 x＋1= 0, 得x1=2，x2= -1. (x－2)(x＋1) = 0. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 得 ∴2x＋1=0或2x－1=0, (1)x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+. 随 堂 练 习 解：(3)化为一般式为 x2－2x+1 = 0. 因式分解，得 = 0. 得x1=x2=1. (4)因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x - 11 ) = 0. ∴2x + 11 = 0 或 2x - 11= 0， 得 （3）3x2-6x=-3; （4）4x2-121=0. 随 堂 练 习 概念 因式分解法 当右边=0时，将方程左边因式分解. 如果a·b=0，那么a=0或b=0. 原理 步骤 因式分解常见的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c)； a2±2ab+b2=(a±b)2； a2-b2=(a+b)(a-b). 一移、二分、三化、四解. 课 堂 总 结 $