21.1 认识一元二次方程课件2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的定义、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及系数概念，通过矩形绿地面积计算、图书年平均增长率等实际问题导入，引导学生从现实情境中抽象数量关系，建立数学模型，搭建从实际问题到方程概念的学习支架。 其亮点在于以真实问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，通过对比一元一次方程特点发展数学思维的推理意识，规范方程化为一般形式强化数学语言的符号表达。如判断方程是否为一元二次方程、分析系数等实例，帮助学生建立模型观念，教师可借此提升教学效率，学生能增强应用意识。

华师版 九年级 数学（上） 第21章　一元二次方程 21.1 认识一元二次方程 1 1. 知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次 方程整理成一般形式 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）. 2. 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题 转化为数学模型（一元二次方程）的过程中， 使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具， 增加对一元二次方程的感性认识. 学习目标 知识模块一　一元二次方程的定义及一般形式 自学互研 问题1 绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m.求绿地的长和宽. 分析 我们可以通过列方程解决这类实际问题. 设绿地的宽为x m，可列出方程 x(x + 10) = 900, 整理得 x2+10x-900=0. ① 问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册. 求这两年的年平均增长率. 分析 设这两年的年平均增长率为 x . 去年年底图书数_____万册 今年年底图书数_________万册 明年年底图书数______________万册 即 7.2 万册. 5 5(1 + x) 5(1 + x)(1 + x) 分析 设这两年的年平均增长率为x. 已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1+x)万册. 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的(1+x)倍，即 5(1+x)(1+x)=5(1+x)2(万册). 可列得方程 5(1 +x)2=7.2, 即 5x2+10x－ 2.2 =0. ② 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . 概 念 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a、b、c 是已知数，a ≠ 0) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 思考 问题1和问题2分别归结为解方程①和②.显然，这两个方程都不是一元一次方程. 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们又有什么共同特点呢? x2+10x-900=0. ① 5x2+10x－ 2.2 =0. ② 指出方程①②的二次项系数、一次项系数和常数项. x2 + 10x－ 900 = 0 . ① 5x2 + 10x－ 2.2 = 0 . ② 10 – 900 1 10 – 2.2 5 一元二次方程的一般形式是 注意：这些都是在方程经过去分母，去括号，移项，合并同类项等变形后得到一般形式的基础上归纳的． ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 a ≠ 0 x2+10x-900=0. ① 5x2+10x－ 2.2 =0. ② 请分别指出①和②中两个方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 1. 下列方程：①8x2 = x；②x2 = 3y + 1；③ax2 + 2x－3 = 0； ④ = 5；⑤x(2x－3) = 2x(x－1)；⑥ = x－1. 其中一定是一元二次方程的是______.（填序号） 序号 判断理由 结论 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 满足一元二次方程的三个条件 含有两个未知数 x、y a 的值有可能为 0，此时未知数的最高次数是 1 分母含有未知数，不是整式方程 整理后未知数的最高次数是 1 根号内含有未知数，不是整式方程 √ × × × × × ① 仿例：若方程(m－2)x2＋3x－6＝0是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是( ) A．m≠0 B．m≠－2 C．m≠2 D．m＝2 C 2. 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的 二次项系数、一次项系数和常数项: （1）x2 + 2x ＝1；　 （2）3x2 ＝－2； （3）x(2x－1)＝ 2x； （4）(1－2x)(1 + 2x)＝ 2x2－4. 解（1）x2 + 2x－1 = 0，二次项系数为 1，一次项系数为 2，常数项为 －1. （2）3x2 + 2 = 0，二次项系数为 3，一次项系数为 0， 常数项为 2. 2. 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的 二次项系数、一次项系数和常数项: （1）x2 + 2x ＝1；　 （2）3x2 ＝－2； （3）x(2x－1)＝ 2x； （4）(1－2x)(1 + 2x)＝ 2x2－4. （3）2x2 － 3x = 0，二次项系数为 2，一次项系数为 －3，常数项为 0. （4）6x2 － 5 = 0，二次项系数为 6，一次项系数为 0， 常数项为 －5. 范例2：一元二次方程3x2－6x＋1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( ) A．3x2，6x，1 B．3x2，－6x，1 C．3，6，1 D．3，－6，1  D 知识模块二　一元二次方程的根 自学互研 x＝2是方程3x(x－1)＝5(x＋2)的根吗？为什么？ 解：把x＝2代入方程3x(x－1)＝5(x＋2)的左右两边，得到左边≠右边，所以不是原方程的根． 合 探 作 究 范例：若x＝2是方程x2＋nx＋4＝0的一个解，则n的值为 ( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 B 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项： 【选自教材第19页 练习】 （1）3x2－x = 2； （2）7x－3 = 2x2； （3）x(2x－1) －3x(x－2) = 0； （4）2x(x－1) = 2(x + 5)－4. 解（1）3x2 － x－2 = 0，二次项系数为 3，一次项系数为 －1，常数项为 －2. （1）3x2－x = 2； （2）7x－3 = 2x2； （3）x(2x－1) －3x(x－2) = 0； （4）2x(x－1) = 2(x + 5)－4. （2）2x2 － 7x + 3 = 0，二次项系数为 2，一次项系数为 －7， 常数项为 3. （3）x2 － 5x = 0，二次项系数为 1，一次项系数为 －5， 常数项为 0. （4）2x2 － 5x－11 = 0，二次项系数为 2，一次项系数为 －5， 常数项为 －11. 仿例：已知m是方程x2－x－3＝0的一个实数根，求代数式(m2－m)(m－＋1)的值． 解：∵m是方程x2－x－3＝0的根， ∴m2－m－3＝0，m≠0. ∴m－＝1，m2－m＝3. ∴原式＝3×(1＋1)＝6. 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a、b、c 是已知数，a ≠ 0) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 $