21.1 认识一元二次方程 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件围绕“认识一元二次方程”展开，涵盖概念、一般形式、根及实际应用。通过图书馆图书年平均增长率问题导入，引导学生设未知数、列方程，从实际情境抽象出数学模型，搭建生活与数学概念的学习支架。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，合作探究对比一元一次方程抽象定义发展数学思维，结合赵爽勾股圆方图等实例强化数学语言表达。采用合作探究、典例精析等方法，新知小结与课堂总结系统梳理知识。学生能提升抽象能力和应用意识，教师可借助清晰流程和实例提高教学效率。

21.1 认识一元二次方程 1.知道一元二次方程的概念、一般形式，能找出二次项系数、一次项系数、常数项.（重点） 2.能从实际问题中抽象出一元二次方程.（难点） 学 习 目 标 学校图书馆去年年底有图书 5 万册 ,预计到明年年底增加到 7. 2 万册. 求这两年的年平均增长率. 解:设这两年的年平均增长率为 x. 已知去年年底的图书数是 5 万册 ,则今年年底的图 书数是 5(1 + x) 万册. 同样 , 明年年底的图书数又是今年年底图书数的 (1 + x)倍 ,即 5(1 + x) (1 + x) = 5(1 + x)2 ( 万册) . 可列得方程 5(1 + x)2 = 7. 2 , 整理可得 5x2 + 10x - 2. 2 = 0. 新 课 导 入 观察 x2＋10x－900＝0 5x2＋10x－2.2＝0 一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？ 💡思考 共同特点：(1) 都是整式方程； (2) 这里的未知数x的最高次数是2. 显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么它们与一元 合 作 探 究 上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c是已知数，a≠ 0 ) ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项. 新 知 小 结 例1 （1）已知下列方程:①ax2＋bx＋c＝0；②＝2；③x2＋y＝0； ④2x(x－1)＝1；⑤x2＝4；⑥x＋3＝5.其中一定是关于x的一元 二次方程的是　④⑤　.(只填序号)  （2）方程x2－3＝2x(x＋1)的一般形式为　x2＋2x＋3＝0　， 二次项系数为　1　，一次项系数为　2　，常数项为　3　.  ④⑤ x2＋2x＋3＝0 1 2 3 典 例 精 析 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ，b = 0时， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ，c = 0时， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 思 考 定义：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做 一元二次方程的根. 例2 已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意得 将 x = 3 代入方程 x2+ax+a=0， 得 32 + 3a + a = 0 解得 见根就代，得到关于未知数的方程，是解决类似问题的常用方法. 合 作 探 究 例3 已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个根，求m的值. 解:∵x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个根， ∴22＋2m＋2＝0， 解得m＝－3. 典 例 精 析 例4 三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个 相等的矩形(每一个矩形的面积都是35)拼 成如图所示的一个大正方形，利用所给的 数据，能得到的方程是____________． x(x＋2)＝35 典 例 精 析 方法归纳交流　列方程表示实际问题中的等量关系的一般步骤: ①明确题意，引入合适的未知数； ②分析题目中的已知量与未知量之间的数量关系， 列出相应的代数式； ③根据　等量关系　列出方程.  等量关系 新 知 小 结 1.关于x的方程是一元二次方程，则 m= ，此时该一元二次方程为 ，一次 项系数是 ，二次项系数是 ，常数项是 . 2.已知关于x的方程的一个解是x=3，则实数k的值 为 . 3.把方程化为一般形式（二次项系数为正数） 为 . 3 3 4 -1 1 随 堂 练 习 4．已知实数a是一元二次方程x2－2 023x＋1＝0的根，求代数式a2－2 022a － 的值． 解：∵a是一元二次方程x2－2 023x＋1＝0的根， ∴a2－2 023a＋1＝0， ∴a2－2 022a＝a－1，a2＋1＝2 023a， ∴a2－2 022a－ ＝a－1－ ＝a－1－a＝－1. 随 堂 练 习 5.根据下列问题，列出关于未知数 x 的方程. (1)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？ 解：设共有x支队伍参加比赛， 根据题意，得 随 堂 练 习 (2)一商店销售某款篮球，每个盈利40元，每天可以销售20个．经调查发现，每降价1元，每天可多销售2个．若该商店想要每天盈利1200元，且最大可能让利顾客，则每个篮球应降价多少元？ 解：设每个篮球应降价x元， 由题意得 (40－x)(20＋2x)＝1 200 随 堂 练 习 定义 一元二次 方程 ①是整式方程 ②只含一个未知数 ③未知数的最高次数是2 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 一般形式 列出一元二次方程解决实际问题 根 使方程左右两边相等的未知数的值. 审→设→找→列 课 堂 总 结 $