21.2.2 配方法 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过情景导入中直接开平方法方程的求解与特征观察，引导学生从已有知识过渡到配方法的学习，构建从具体方程到抽象方法的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动数学眼光的培养，通过分层例题（二次项系数为1与非1）和规范步骤（移项、配方等）发展运算能力与推理意识，结合最值问题应用强化模型意识。学生能系统掌握方法，教师可依托清晰路径提升教学效率。

华师版 九年级 数学（上） 第21章 一元二次方程 21.2.2 配方法 32100 1 1.了解配方法的概念，理解“配方法”解一元二次方程的基本思想. 2.能熟练运用配方法解一元二次方程，解决最值等问题. 32100 情景导入 1．解下列方程： (1)2x2＝8 ； (2)(x＋3)2－25＝0； (3)9x2＋6x＋1＝4. 解一解！ 解：(1)x1​=2, x2​=−2. (2)x1​=2, x2​=−8. (3)x1​= , x2​=−1. 32100 1.观察以下三个方程的特征，并解方程： 上述解方程中用到 了什么方法？它的 特点是什么？ 32100 4 知识模块一　用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 自学互研 例1 解方程：x2 + 2x = 5. 要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为 ( )2 = a 的形式，那么，怎么实现呢？ 思 考 32100 2.能利用直接开平方法求解的一元二次方程具有什么特征？ 形如：x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0) 3.填一填，并说说填写的依据. 1 1 16 4 (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 完全平方公式: 32100 回想两数和的平方公式，有 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. 为此，通常设法在方程两边都加上一个适当的数，使左边配成一个含有未知数的完全平方式（右边是一个常数）. 32100 解 原方程两边都加上 1 ，得 x2 + 2x + 1 = 6. 即 (x + 1)2 = 6. 直接开平方，得 x + 1 =± . 所以 x =－1± 即 x1 =－1＋ ，x2 =－1－ . 32100 例1 解方程： x2 + 2x = 5. 一、配方法的概念及解法 解：原方程两边都加上 1，得   x2 + 2x + 1 = 6， 即 (x + 1)2 = 6. 直接开平方，得 所以 即 显然需要将方程化为(x+n)2=p (p ≥0)的形式，怎么实现呢？ 32100 定义：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. x2 + 2x = 5 配方 (x + 1)2 = 6 开方 得根 基本思路：把方程化为 ( x + n )2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 注意：配方时，方程两边同时加上的是一次项系数一半的平方. 32100 概括 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫配方法． 32100 例2 用配方法解方程： (1) x2－4x + 1 = 0； 解： (1) 原方程可化为 x2 - 4x = -1. 配方 (两边同时加上 4 )，得 x2 - 2·x·2＋22 = -1 + 22， 即 ( x - 2 )2 = 3. 直接开平方，得 x - 2 = 所以 左边配上什么数能 成为完全平方式？说说 你的思路. 32100 配方，得 两边同除以 4，得 (2) 4x2 - 12x - 1 = 0. 解：(2) 移项，得　4x2 - 12x = 1. 直接开平方，得 所以 左边配上什么数能成为完全 平方？ 二次项系数不为1，直接配方比较麻烦，接下来怎么做呢？ 32100 自 探 主 究 模仿教材P26例4内容，并模仿解方程x2－8x＋1＝0. 解 移项，得 x2 －8x = － 1. 配方，两边加上一次项系数一半的平方，得 x2 －8x＋16 = － 1 ＋16. 所以 (x － 42) =15 直接开平方，得x － 4 =± . 所以 x = 4 ± 即 x1 = 4 ＋ ，x2 = 4 － . 32100 用配方法解一元二次方程有哪些步骤？ (1)移项：把常数项移到方程的右边； (2)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； (3)开方：根据平方根的意义，方程两边开平方； (4)求解：解一元一次方程； (5)写解：写出原方程的解． 32100 用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移项: 把常数项移到方程的右边（移项需注意改变符号）; （2）二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数； （3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; （4）变形: 方程化成 (x + n)2 = p(p≥0)形式； （5）开方求解：开平方求得方程的根. ax2+bx+c=0→(x+n)2=p (p ≥0) 32100 思考 题（2）中，注意到 4x2 = (2x)2 ，方程移项后可以写成 (2x)2 – 2·2x·3 = 1， 可以怎样配方？试一试，并完成解答. (2x)2 – 2·2x·3 + 32 = 1 + 32 (2x – 3)2 = 10 直接开平方，得2x – 3＝±. 所以 x1＝＋，x2＝－. 32100 解： , 试一试： 若将一元二次方程看成是，能否进行配方？你能继续往下解吗？ 方法归纳：注意完全平方公式的灵活运用，找到顺藤摸瓜去找b,然后两边同时加b²，就能完成配方的过程. 32100 用配方法解关于x方程： x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）. 试一试 解 配方，得 x2 ＋ 2· · x ＋( )2＝＋ ( )2， 即 (x ＋ )2 ＝ ， 直接开平方，得 x ＋ ＝±. 所以 x1＝ － ＋，x2＝－. 32100 1.解下列方程： (1) x2 - 8x + 1 = 0； (2) 2x2 + 1 = 3x 解：移项，得 x2 - 8x = -1， 由此可得 配方，得 x2 - 8x + 42 = -1 + 42， ( x - 4)2 = 15 即 (3) 3x2 - 6x + 4 = 0 32100 配方，得 由此可得 二次项系数化为 1，得 解：移项，得 2x2 - 3x = -1， 即 (2) 2x2 + 1 = 3x 32100 变例：解下列方程： (1)x2－4x＋2＝0； (2)x2＋17＝8x. 解：(1)原方程可化为x2－4x＝－2. 合 探 作 究 配方(两边都加上4)，得x2－2·x·2＋22＝－2＋22， 即(x－2)2＝2. 直接开平方，得x－2＝±. ∴x1＝2＋，x2＝2－. 32100 22 (2)移项，得x2－8x＝－17. 配方(两边都加上16)，得 x2－2·x·4＋42＝－17＋42，即(x－4)2＝－1. 任何实数的平方都不可能为负数， 所以此方程无实数解． 32100 配方，得 解：移项，得 二次项系数化为 1，得 即 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． (3) 3x2 - 6x + 4 = 0 32100 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ( x + n )2 = p. ①当 p > 0 时，则 ，方程的两个根为 ②当 p = 0 时，则 ( x + n )2 = 0，开平方得方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = -n. ③当 p < 0 时，则方程 (x + n)2 = p 无实数根. 32100 知识模块二　用配方法解二次系数不为1的一元二次方程 自学互研 运用配方法解一元二次方程，一定要配成完全平方式，为了简便，在用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转化为例4中的方程类型． 32100 二、配方法的应用 例3 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2 - 2k + 4 的值必定大于零. 解：k2－4k + 4 = k2 - 2k + 1 + 3 = (k - 1)2＋3 因为 (k - 1)2 ≥ 0，所以 (k - 1)2 + 3 ≥ 3. 所以 k2 - 2k + 4 的值必定大于零. 32100 课堂小结 用配方法解一元二次方程有哪些步骤？ (1)移项：把常数项移到方程的右边； (2)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； (3)开方：根据平方根的意义，方程两边开平方； (4)求解：解一元一次方程； (5)写解：写出原方程的解． 32100 配方法 特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 在方程两边都配上二次项系数一半的平方 一、移常数项； 二、配方[配上 ]； 三、写成（x+n)2=p (p ≥0); 四、直接开平方; 五、解两个一元一次方程. 求代数式的最值或证明 方法 步骤 应用 基本思路 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 32100 $