21.2 .3 公式法 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公式法，通过引导学生用配方法推导求根公式，承接已学的配方法知识，构建从具体运算到抽象公式的学习支架，帮助学生理解公式的推导过程及本质。 其亮点在于注重数学思维的推理过程，通过严谨推导公式培养学生的推理意识，例题覆盖一般形式、需整理方程等多种类型且步骤规范，结合实际问题应用强化模型意识。采用表格对比不同解法适用类型，帮助学生系统总结，既提升学生运算能力和应用意识，也为教师提供清晰的教学逻辑和丰富训练资源。

公式法 一元二次方程 1 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程， 了解公式法的概念. 2. 会熟练应用公式法解一元二次方程. 学习目标 一般形式的一元二次方程： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 你能用配方法解这个方程吗？试一试 因为 a ≠ 0，方程两边除以 a，得 x2+x+=0. 移项，得 x2 +x = . 配方，得 x2 + 2·x · + 2＝ + 2. 即 ＝ . 探索新知 因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当 b2 – 4ac ≥ 0 时，直接开平方，得 ＝ . 所以 ＝ . 即 ＝ ， ＝. 由以上研究，得到了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. ＝ . 将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 这里为什么强调 b2－4ac ≥ 0？ 如果 b2－4ac < 0，会怎么样呢？ 方程无解 例 6 解下列方程： （1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； 解 （1）这里 a = 2，b = 1，c = －6. 因为 b2－4ac = 12－4×2×(－6) （3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x. = 1－48 = 49 > 0， 所以 x = = = 即 x1 = ， x2 = －2. 例 6 解下列方程： （1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； （3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x. （2）将方程化为一般形式，得 x2 + 4x－2 = 0. 因为 b2－4ac = 24 > 0， 所以 x = = －2±， 即 x1 = －2 + ，x2 =－2－ . 例 6 解下列方程： （1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； （3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x. （3）因为 b2－4ac = 256 > 0， 所以 x = = = ， 即 x1 = 2，x2 =－ . 例 6 解下列方程： （1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2； （3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x. （4）整理，得 4x2 + 12x + 9 = 0 . 因为 b2－4ac = 0， 所以 x = ， 即 x1 = x2 =－ . 这里 b2－4ac = 0， 方程有两个相等的实数根. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）化：将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c＝ 0 (a ≠ 0). （2）定：确定 a、b、c 的值. （3）算：求出 b2－4ac 的值. （4）求：若 b2－4ac ≥ 0，则利用求根公式求解； 若 b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 用公式法解下列方程: （1）x2 + 6x + 9 ＝ 0； （2）(x－5)(1－3x) ＝ 6. （3）3x2－x－1 ＝ 0. 思路分析 把方程化为一般形式 计算 b2－4ac 的值 b2－4ac < 0 b2－4ac ≥ 0 没有实数根 代入求根公式 求解 解 （1）因为 b2 － 4ac ＝ 62－4×1×9 = 0， 所以 x = ，即 x1 = x2 = －3. （1）x2 + 6x + 9 ＝ 0； （2）(x－5)(1－3x) ＝ 6. 不能写成 x = －3. （2）将方程化为一般形式，得 3x2－7x + 8 ＝ 0 . 因为 b2－4ac = (－7)2－4×3×8 = －47 < 0， 负数的平方要加括号. 所以方程没有实数根. （3）3x2－x－1 ＝ 0. （3）因为 b2 － 4ac ＝ (－)2－4×3×(－1) = 18， 所以 x = ， 即 x1 = ，x2 = . 思 考 根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选用的？和同学交流一下. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 x2 = p 或 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0) 一边化为 0，另一边易分解成两个一次因式的积的一元二次方程(有公因式可提取或缺项等) 所有的一元二次方程，但二次项系数为 1，一次 项系数为偶数的一元二次方程解起来较简单 所有的一元二次方程 问题 1 绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为 900 m² 的矩形绿地，并且长比宽多 10 m. 求绿地的长和宽. x ( x + 10 ) = 900， 现在你会解决这个问题吗？ x2 + 10x－900 = 0， x =－5±5， x1 =－5 + 5，x2 = －5－5. 它们都是所列方程的根，但负数根 x2 不符合题意，应舍去. x =－5 + 5 ≈ 25.4，x + 10 ≈ 35.4， 符合题意，因此绿地的宽约为 25.4 米，长约为 35.4 米. 用公式法解下列方程： 【选自教材第30页 练习】 （1）x2 － 6x + 1 = 0； （2）2x2 － x = 6； （3）4t2 － 3x －1 = t－2； （4）3x(x－3) = 2(x－1)(x + 1). 解:（1）因为 b2 － 4ac ＝ 32， 所以 x ＝ ， 即 x1 ＝3 + 2，x2 ＝3－2. （1）x2 － 6x + 1 = 0； （2）2x2 － x = 6； （2）将方程化为一般形式，得 2x2－x－6 ＝ 0. 因为 b2 － 4ac ＝ 49， 所以 x ＝ ， 即 x1 ＝2，x2 ＝－ . （3）4t2 － 3x －1 = t－2； （4）3x(x－3) = 2(x－1)(x + 1). （3）整理，得 4x2－4x + 1 ＝ 0. 因为 b2 － 4ac ＝ 0， 所以 x ＝ ， 即 x1 ＝ x2 ＝ . （3）4t2 － 3x －1 = t－2； （4）3x(x－3) = 2(x－1)(x + 1). （4）整理，得 x2－9x + 2 ＝ 0. 因为 b2 － 4ac ＝ 73， 所以 x ＝ = ， 即 x1 ＝ ， x2 ＝. 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. ＝ . 将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 课堂小结 $