第2章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心知识，融合滇超联赛、快递增长等现实情境与《算学宝鉴》文化素材，设置“友好方程”新定义题，考查运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10题|定义、根的判别式、韦达定理等|7题滇超联赛单循环赛制考查模型意识，9题《算学宝鉴》问题体现文化传承| |填空题|6题|增长率、函数交点、含参方程等|13题快递月增长率结合实际应用，14题一次函数与反比例函数交点综合判别式| |解答题|6题|解方程、销售利润、三角形综合、新定义等|19题结合直角/等腰三角形考查方程应用，21题“友好方程”新定义培养创新思维|

第2章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材） 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 3．根据下面的表格，估计方程的一个正数解x的大致范围为(   ) A． B． C． D． 4．若是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．－2 D．6 5．用配方法解方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．2 7．2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 8．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（    ） A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 10．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 二、填空题 11．若m，n是方程的两个实数根，_____________． 12．若a是一元二次方程的一个根，则的值为______． 13．近年来，快递行业快速发展，据调查，某家快递公司，去年十月份与十二月份完成投递的快递总件数分别为万件和万件，则月平均增长率为_____． 14．在同一平面直角坐标系内，一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个公共点，则这个公共点的坐标为_____________． 15．已知是方程的一个根，则的值是_____． 16．若关于的一元二次方程有两个实数根，且使关于的一元一次不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数的值为_____． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．“大寒”是二十四节气中最后一个节气，也是一年中最冷的时候，人们都穿上了羽绒服和棉衣，某服装店在销售A款羽绒服和B款棉衣时发现，购买3件A款羽绒服和2件B款棉衣需支付1800元；购买2件A款羽绒服和4件B款棉衣需支付2000元； (1)求A款羽绒服和B款棉衣的销售单价各多少元？ (2)已知每销售一件A款羽绒服可获利80元，平均每天可售出20件，若每降价10元，则可多卖出5件A款羽绒服，为了实现每天销售A款羽绒服获利1750元，又要让消费者获得实惠的目标，则应该降价多少元？ 19．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根． (2)若的一条边的长为，另两边的长是一元二次方程的两个实数根． ①当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②当为何值时，是等腰三角形？并求出的周长． 20．我市在开展“一盔一带”安全守护行动中，联合“爱心头盔”厂家在多个地点开展免费领取头盔活动，据统计，某领取点六月份发放“爱心头盔”100个，八月份发放144个，且从六月份到八月份月增长率相同． (1)求该领取点“爱心头盔”发放量的月增长率； (2)为解决暑期海边音乐节的电动车停放问题，计划将一个长为，宽为的矩形空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为a的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽a应为多少？ 21．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B D B C A B D 1．A 【分析】根据一元二次方程的三个判定条件：只含有一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】A选项，原方程整理为，同时满足三个条件，是一元二次方程． B选项，方程分母中含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除． C选项，原方程展开整理得，含有两个未知数，不满足条件，排除． D选项，未知数的最高次数为3，不满足条件，排除． 2．B 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可求出m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 3．C 【详解】解：通过表格可知，当时， ， 当时，输出值为， ∴当时，． 4．B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接利用两根之和的结论即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，根据配方法的基本步骤：移项、配方（等式两边同时加上一次项系数一半的平方）、变形为完全平方式求解即可． 【详解】解： 移项得 即． 故选：D 6．B 【分析】首先根据给定的一元二次方程确定系数、、，通过韦达定理得到和的值；然后将展开并整理为含和的代数式；最后代入数值计算出结果，对照选项得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 每支参赛球队需与其余支球队各赛一场，支球队初步计算的比赛场数为场，但此时每场比赛被两支球队各统计了一次，存在重复，因此实际总场数需除以2，再结合已知总场数为场，即可列出正确方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需与其他支球队各进行一场比赛， ∴初步统计的比赛场数为场， 又∵每两支球队的交锋仅算一场，上述统计中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为场， ∴可列出方程． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 9．B 【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为， 门的宽度比竹竿的长度少四尺， 门的宽度为：， 沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程： ， 即， 解得：或（舍）． 故选：B． 10．D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴． 故答案为 12． 【分析】本题考查一元二次方程的解，整体代入，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入方程得到 的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， 即 ． 则 ． 故答案为 ． 13． 【分析】本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，关键是掌握增长率问题的模型：若初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则有． 【详解】解：设月平均增长率为． 根据题意，得， 开平方，得． ∵增长率， ∴， 解得； 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根的判别式． 设两个函数相等得到方程，由于只有一个公共点，判别式为0，解出k，再求公共点坐标即可． 【详解】解：将一次函数与反比例函数联立得， 整理得， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个公共点， ∴， 解得：（舍去），， 即， 即， 解得：， 代入一次函数得， 故公共点坐标为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值，由已知条件是方程的根，可得 ，将所求表达式通分并化简，利用 代入计算，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 由是方程的根， 可得，得， 所以原式， 故答案为：． 16．3 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，一元二次方程的定义，解不等式组，已知不等式组的解集求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．首先根据一元二次方程有两个实数根的条件，得到且判别式，解得，再根据不等式组有且只有4个整数解，解得m的取值范围为，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴，且 ∵， ∴由得， ∴由得， 因此不等式组的解集为， ∵该解集有且只有4个整数解， 则整数解为1，2，3，4， 故需满足， 解得， ∵m为整数，，且 ∴， 经检验：当时，方程化为，判别式，有两个实数根；不等式组解集为，整数解为1，2，3，4，满足条件． 故答案为：3． 17．(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）直接开平方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ，， ， 18．(1)A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为400元和300元 (2)应该降价30元 【分析】（1）设A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为x元和y元，根据题意列方程组求解； （2）设应该降价元，则每件获利元，可售出件，根据“总利润单利数量”，列方程求解，结合要让消费者获得实惠，即可得解． 【详解】（1）解：设A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为x元和y元， 根据题意得：， 解得， 答：A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为400元和300元； （2）解：设应该降价元，则每件获利元，可售出件， 根据题意得：， 解得，， ∵要让消费者获得实惠， ∴，即 答：应该降价30元． 19．(1)见解析 (2)①6；②当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、勾股定理以及一元二次方程的求解： （1）计算一元二次方程根的判别式，证明其非负性即可； （2）①利用韦达定理表示两根之和和两根之积，再根据勾股定理建立关于的方程求解； ②分情况讨论，当为腰时，直接代入方程求解，再算出其余边长，最后相加即可；当为底边时，那么另外两个就是腰，则方程有2个相等的实数根，即根的判别式为0，求解腰长，最后算周长． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴无论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①的长是一元二次方程的两个实数根， ，， 是以为斜边的直角三角形，， ， ， 解得或， 由题意，， 则且， 即， 解得：， 故不合题意，舍去， ． ②分情况讨论：当为腰时，方程有一个根为， 将代入方程，得， ， ∴方程为， 解得，， ∴等腰三角形的三边长为5，5，3， ， 满足三角形三边关系，故符合题意； 的周长为； 当为底边时，方程有2个相等的实数根， ， ， ∴方程为， 解得， ∴等腰三角形的三边长为3，3，5， ， 满足三角形三边关系，故符合题意； 的周长为； 综上，当的值为5或7时，是等腰三角形，对应周长分别为11，13． 20．(1)“爱心头盔”发放量的月增长率为． (2)道路宽a应为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设“爱心头盔”发放量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）根据题意可得方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设“爱心头盔”发放量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：“爱心头盔”发放量的月增长率为． （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽a应为． 21．(1) (2)，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数，证明见详解 (3)， 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用． （1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可； （3）先根据“友好方程”的根的特点得出，即的两根为，，将待求方程变形为，把看作整体即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：一元二次方程的“友好方程”为， 解得，， 根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数， 证明如下：∵一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根为，， ∴， ， ∴，， 即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 故答案为：，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”，即的两根为，， 则，即中或， ∴该方程的解为，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 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