专题02 根的判别式与根与系数关系的应用 （题型专练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“根的判别式与根与系数关系”为核心，通过12类题型构建“概念-应用-综合”的递进式训练体系，突出方法提炼与逻辑迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判别式应用|6题型（典例1-6）|明确二次项系数不为0前提，分类讨论参数|从基础判断到含参问题，再到函数与代数综合，层层递进| |根与系数关系应用|4题型（典例7-10）|直接求解、降次求值、构造方程技巧|基于根与系数关系，实现从简单计算到复杂代数变形的迁移| |综合应用|2题型（典例11-12）|判别式与根与系数结合，分类解析根分布|融合两大核心知识，解决方程根的性质与分布综合问题，发展模型意识|

专题02 根的判别式与根与系数关系的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 题型02 判断含参方程根的情况 题型03 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数不含参） 题型04 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数含参） 题型05 根的判别式与函数综合 题型06 根的判别式与代数综合 题型07 利用根与系数的关系直接求解 题型08 利用根与系数的关系降次求值 题型09 利用根与系数的关系求参数 题型10 利用方程的根和根与系数的关系构建方程 题型11 根的判别式与根与系数综合 题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布 ▌题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 【典例1】（2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根； B、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根； C、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，有两个不相等的实数根； D、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根． 【变式2】（2026·广西南宁·一模）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程根的判别式为，根据根的情况，当时，方程有实数根判断即可． 【详解】解：A、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； B、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； C、由题意得， 则原方程没有实数根，不符合题意； D、由题意得， 则原方程有两个不相等的实数根，符合题意． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：由题意知， ∴， 整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． ▌题型02 判断含参方程根的情况 【典例2】（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 【变式1】（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式2】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据数轴判断正负． 先求出根的判别式，再结合数轴作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知， ∴， 即关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． ▌题型03 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数不含参） 【典例3】（2026·新疆喀什·一模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则常数k的值可能是（     ） A．3 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】解：由题可得，，，， ∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得． ∴k的值可以为3. 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 【变式3】（2026·河南三门峡·三模）解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为方程有实数根，所以，再结合是整数，即可作答． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴， 即， ∵是整数， ∴可以是． 【变式4】（25-26九年级下·广东汕头·期中）已知关于x的方程有实数根，且为非负整数，求代数式的值． 【答案】3 【分析】先根据一元二次方程有实数根，利用判别式求出的取值范围，结合为非负整数及代数式有意义的条件，确定的值；再对代数式进行化简，最后代入的值计算结果． 【详解】解：关于的方程有实数根 ，即 解得：，   又为非负整数， 的值为：0，1，2， 根据代数式有意义的条件，有 ， ． ▌题型04 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数含参） 【典例4】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 【变式2】（20-21九年级上·陕西汉中·期末）关于的一元二次方程的两根均为整数，则整数的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再整理方程因式分解得到两根，根据根和m都是整数，枚举可能的取值得到符合条件的m． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴ ， 解得， ∵两根均为整数，为整数 ∴是的约数，即，， 当时，，为整数，符合要求， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，不是整数，舍去， 当时，，为整数，符合要求， ∴整数的值为或． 【变式3】（2022九年级上·湖南湘西·竞赛）关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号的要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且含二次根式， 且， 解得：且， 方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为， ，即， 综上所述，可得：． ▌题型05 根的判别式与函数综合 【典例5】（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先根据正比例函数图象的性质可得，再根据判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二，四象限， ∴． 在一元二次方程中， 则， ∵， ∴， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 【变式1】（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 【变式2】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式和一次函数的性质求出m的取值范围，结合选项筛选出符合条件的整数m． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根 ∴根的判别式 解得． ∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴， 观察各选项，只有B符合题意． 【变式3】（25-26八年级下·上海静安·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过________． 【答案】第四象限 【分析】先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，即 ， 解得， 对于一次函数 ， ∵， ∴ ，且， 根据一次函数性质， 当一次项系数大于，常数项大于时，图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数的图象不经过第四象限． ▌题型06 根的判别式与代数综合 【典例6】（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【答案】 【分析】由，知，，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，为方程的的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 【答案】 2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题关键是利用根与系数的关系构造一元二次方程． 由已知条件，将和视为二次方程的两个根，利用根与系数的关系构造一元二次方程，根据实数根的条件判别式非负，求解的取值范围，从而得到最大值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且和为实数， 以、为根的二次方程有实数根， 即判别式， 将，代入， 得， 解得， 即的最大值为2． 故答案为：2． 【变式2】（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．把方程配成关于的一元二次方程，利用根的判别式求得的值，再代入原方程求得的值，从而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵实数x满足， ∴ ， ∵， ∴， 解得， 把代入原方程，得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】3 【分析】本题考查换元法的应用，一元二次方程根的判别式．设，则，代入并整理，得：，由题意可知该关于b的一元二次方程有解，则根据其根的判别式求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 整理，得：． ∵存在实数a，b满足， ∴关于b的一元二次方程有解， ∴， ∴， 解得：， ∴，即的最大值为3． 故答案为：3． ▌题型07 利用根与系数的关系直接求解 【典例7】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 【变式1】（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． ▌题型08 利用根与系数的关系降次求值 【典例8】（25-26九年级下·山东淄博·期中）设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ，即， 对所求代数式变形：， 是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得， 代入得原式． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到，，则，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）设，是方程的两个根，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知、是方程的两个实根，则的值为________． 【答案】2030 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：2030． 【变式4】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系；利用方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． 则 ． 代入 ，得 ． 原式 ． 由根与系数的关系，方程 的两根之和为 ． ∴ 原式 ． 故答案为：． ▌题型09 利用根与系数的关系求参数 【典例9】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 【答案】 【分析】灵活运用根与系数的关系并结合分式运算，将已知条件转化为关于参数的方程是解题的关键．根据一元二次方程 的根与系数的关系，可得，，再对通分变形后代入求解，进而求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可得：，， 对通分，得：， 已知，代入得：， 化简，约去（），得， 解得． 【变式1】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系，以及方程有两个不相等的实数根时，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的两个不相等的实数根为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程； 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，代入，即可求出m的值，即可求解． 【详解】解：由题意，得 ，， ∵， ∴， 即， 解得或． ∵， ∴或（无解）， 解得， ∴， 则． 故答案为0． 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，若，则的值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．由题意得，，而，得到，解出，而不满足，故舍． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：， ∵不满足，故舍去， ∴， 故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． 【答案】 【分析】本题主要一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系将已知条件转化为关于a的方程。 由一元二次方程根与系数的关系可知，再整体代入中，求出a的值． 【详解】解：∵是的两个实数根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． ▌题型10 利用方程的根和根与系数的关系构建方程 同形式构造，即已知为一元二次方程的两根. 【典例10】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知满足，满足，且，则 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．由题意可知实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，由此可得答案． 【详解】解：实数、满足，，且， 实数、是关于的方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 【答案】 【分析】根据，满足，得出，是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称，，把变形为，把，代入即可得出答案． 【详解】解：∵不相等的实数，满足，， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b满足等式，，则________． 【答案】 或或 【分析】先由a、b满足结构相同的方程，确定二者是一元二次方程的根，同时将变形为代入待求式降次，把式子转化为含与的形式，再分两种情况讨论，①时用一元二次方程根与系数关系 求出、后代入计算，时先解出方程的根，再分别代入求值． 【详解】解：∵实数a，b满足等式，， ∴a，b可看作方程的根， ∵， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①： 由一元二次方程根与系数关系得 ，， 原式； ②： 解方程， 因式分解，得， 解得，， 当时，原式； 当时，原式； 综上，或或． 【变式3】（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【分析】由已知条件可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． ▌题型11 根的判别式与根与系数综合 【典例11】（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)另一个实数根为 (2)或 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 【变式2】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． 【答案】(1)证明：将一元二次方程化为一般式：， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)证明：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得 ，， 展开得：， 代入和的值：， ∵， ∴，即． 【分析】（1）将原方程化为一般式，表示出方程的判别式，即可证明； （2）根据根与系数的关系可得，，将展开，再代入和的值，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布 【典例12】（22-23九年级下·湖北十堰·自主招生）已知关于x的方程 (1)若方程有实根，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知方程有实根，需进行分类讨论，方程若为一元二次方程，则；方程若为一元一次方程，则； （2）若方程有两个正实根，则首先方程为一元二次方程，需满足；其次根据一元二次方程根与系数的关系还需满足，即． 【详解】（1）解：∵方程有实根， 若方程为一元二次方程，则， 即， 解得且； 若方程为一元一次方程，则， 解得； 综上所述，； （2）解：若方程有两个实根，则方程为一元二次方程，需满足， 即， 解得且； 又∵方程有两个正实根， ∴， 即， 解不等式①得或, 解得或； 解不等式②得或， 解得或， 则不等式组的解集为或， 综上所述． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的取值范围是． 【分析】（）根据 即可求证； （）先解方程解得，，然后由该方程有两个负实数根，则有，解得，从而求解． 【详解】（1）证明： ， ∴方程总有实数根； （2）解： ， 解得：，， ∵该方程有两个负实数根，， ∴，解得：， ∴的取值范围是． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 【变式3】（【新东方】数学csg003）已知关于的二次方程． （1）为何值时，方程有两个不同的正根； （2）为何值时，方程只有一个正根； 【答案】（1）2＜a＜；（2）． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等正根，则根的判别式，x₁+x₂＞0，x₁·x₂＞0，组成不等式组求出a的取值范围即可； （2）根据一元二次方程只有一个正实数根，分为三种情况，一是有且只有一个正根，二是有两个根其中一个是正根，另一个根式负根或0，结合判别式以及根与系数的关系列不等式，求出a的值即可． 【详解】解：(1)根据题意得，方程有两个不同的正根， ∴①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③， 解由①②③组成的不等式组得，2＜a＜， 故当2＜a＜时，方程有两个不同的正根；； （2） Ⅰ当方程只且只有一个正根时， ∴①，且x₁+x₂=a＞0②，x₁·x₂=a²-4＞0③， 解①得：a=或a=﹣， 当a=时，满足②、③，而a=﹣不满足②，故舍去， 故当a=时，方程只有一个正根． Ⅱ当方程有一个正根，一个负根， 则①，且x₁·x₂=a²-4＜0②解①得：，解②得：-2＜a＜2， 即 Ⅲ当方程有一个正根，一个0， 则①，且x₁·x₂=a²-4=0②x₁+x₂=a＞0③ 解①得：，解②得： a=±2，由③a＞0 即a=2 综上所述： 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系以及根的判别式是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 根的判别式与根与系数关系的应用 （题型突破·举一反三） 题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 题型02 判断含参方程根的情况 题型03 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数不含参） 题型04 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数含参） 题型05 根的判别式与函数综合 题型06 根的判别式与代数综合 题型07 利用根与系数的关系直接求解 题型08 利用根与系数的关系降次求值 题型09 利用根与系数的关系求参数 题型10 利用方程的根和根与系数的关系构建方程 题型11 根的判别式与根与系数综合 题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布 ▌题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 【典例1】（2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广西南宁·一模）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河南周口·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个相等的实数根 ▌题型02 判断含参方程根的情况 【典例2】（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1】（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【变式3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末），在数轴上的位置如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是_________． ▌题型03 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数不含参） 【典例3】（2026·新疆喀什·一模）若关于x的一元二次方程没有实数根，则常数k的值可能是（     ） A．3 B． C．0 D．2 【变式1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式3】（2026·河南三门峡·三模）解一元二次方程，请你在“”中填入一个整数，使得方程有实数根，则你填入的整数是______． 【变式4】（25-26九年级下·广东汕头·期中）已知关于x的方程有实数根，且为非负整数，求代数式的值． ▌题型04 已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数含参） 【典例4】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（20-21九年级上·陕西汉中·期末）关于的一元二次方程的两根均为整数，则整数的值为（　　） A．0 B． C．0或 D．0或1 【变式3】（2022九年级上·湖南湘西·竞赛）关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． ▌题型05 根的判别式与函数综合 【典例5】（2026·广东中山·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是___． 【变式1】（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【变式2】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）已知一元二次方程有实数根，一次函数的图象经过第一、二、三象限，则整数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26八年级下·上海静安·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过________． ▌题型06 根的判别式与代数综合 【典例6】（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知实数，，满足，，则的值为________． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知实数、、满足，，则实数的最大值为______． 【变式2】（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y满足，则的值是________． 【变式3】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知实数满足，则的最大值为______． ▌题型07 利用根与系数的关系直接求解 【典例7】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【变式1】（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）设，是方程的两个根，则________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，，且，则_____． ▌题型08 利用根与系数的关系降次求值 【典例8】（25-26九年级下·山东淄博·期中）设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【变式2】（24-25九年级上·河南洛阳·期末）设，是方程的两个根，那么的值为_____． 【变式3】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知、是方程的两个实根，则的值为________． 【变式4】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）设、是方程的两个实数根，则的值为______． ▌题型09 利用根与系数的关系求参数 【典例9】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 【变式1】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）已知关于的方程的两个不相等的实数根为，若，则的值为_____． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为________． 【变式3】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，若，则的值为__________． 【变式4】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程．若方程的两个实数根为，，且，则实数的值为______________． ▌题型10 利用方程的根和根与系数的关系构建方程 同形式构造，即已知为一元二次方程的两根. 【典例10】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知满足，满足，且，则 ______． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知不相等的实数，满足，，则代数式的值等于______． 【变式2】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）若实数a，b满足等式，，则________． 【变式3】（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． ▌题型11 根的判别式与根与系数综合 【典例11】（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； (2)若，是该方程的两个根，且，求的值． 【变式2】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则_____ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是关于的一元二次方程的两个实数根，试说明． ▌题型12 利用根与系数的关系分类解析根的分布 【典例12】（22-23九年级下·湖北十堰·自主招生）已知关于x的方程 (1)若方程有实根，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【变式3】（【新东方】数学csg003）已知关于的二次方程． （1）为何值时，方程有两个不同的正根； （2）为何值时，方程只有一个正根； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02根的判别式与根与系数关系的应用 (题型突破举一反三) 题型01不解方程判断一元二次方程根的情况 典例精析 【典例1】 【答案】有两个不相等的实数根 举一反三 【变式1】 【答案】C 【变式2】 【答案】D 【变式3】 【答案】A 题型02判断含参方程根的情况 典例精析 【典例2】 【答案】A 举一反目 【变式1】 【答案】C 【变式2】 【答案】A 【变式3】 【答案】有两个不相等的实数根 1/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【题型03已知一元二次方程根的情况逑参数（二次项系数不含参） 三 典例精析 【典例3】 【答案】A 举一反三 【变式1】 【答案】A 【变式2】 【答案】C 【变式3】( 【答案】8（答案不唯一） 【变式4】 【答案】3 题型04已知一元二次方程根的情况求参数（二次项系数含参） 典例精析 【典例4】 【答案】m≤2且m≠1 举一反三 【变式1】 【答案】B 【变式2】 【答案】C 【变式3】 【答案】D 题型05根的判别式与函数综合 典例精析 2/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例5】 【答案】有两个不相等的实数根 E 举一反三 【变式1】 【答案】D 【变式2】 【答案】B 【变式3】 【答案】第四象限 题型06根的判别式与代数综合 典例精析 【典例6】 【答案】-5 举一反三 【变式1】 【答案】 2 【变式2) 【答案】2025 【变式3】 【答案】3 题型07利用根与系数的关系直接求解 典例精析 【典例7】 2 10,1 【答案】 3 -2 3 举一反三 3/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1】 【答案】-12 【变式2】 【答案】-8 【变式3】 5 【答案】 312 3 题型08利用根与系数的送系隆次求值 典例精析 【典例8】 【答案】2026 举一反 【变式1】 【答案】2025 【变式2】 【答案】 4 【变式3】 【答案】2030 【变式4】 【答案】2028 题型09利用根与系数的关系求参数 三典例精析 【典例9】 【答案】4 举一反三 【变式1】 【答案】-4 4/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2】 【答案】0 【变式3】 【答案】3 【变式4】 【答案】-3 题型10利用方程的根和根与系数的送系构建方程 典例精析 【典例10】 【答案】2 三举一反目 【变式1】 10 【答案】- 【变式2】 【答案】 11或60或4 【变式3】 【答案】31 题型11根的判别试与根与系数综合 三 典例精析 【典例11】 【答案】(1) 证明：原方程为x2-(2k+)x+k2+k-2=0, △=[-(2k+1)-4×1×(k2+k-2） =4k2+4k+1-4k2-4k+8 5/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =9>0, 方程有两个不相等的实数根 (2) k的值为4或-5 举一反三 【变式1】 【答案】(1)另一个实数根为5 2)2或2 【变式2】 1 【答案】(1)2,2 2)回证明：：关于x的一元二次方程为2-(2k+1x+)k2-2=0, 1Pb=-(2k+)c)2 二根的判别式△=F-4ac=(2k+1P-4x1×2-2), 展开化简得△=42+4k+1-2k2+8=2k2+4k+9, 配方得△=2(k+1)2+7, :无论k为任何实数，总有（化+）2≥0， .2(k+1)2+7≥7>0. 即△>0， ∴，无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根： ②k=0或k=2 【变式3】 【答案】(1)证明：将一元二次方程(x-(x+3列=m化为一般式：x+2x-(3+m2)=0, a=1,b=2,c=-(3+m2), :A=b2-4ac=22-4×1×[-(3+m2】=4+12+4m2=16+4m2, ,m2≥0， 6/7 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .16+4m2>0,即△>0， .一元二次方程总有两个不相等的实数根： 2)证明：：x,x2是方程x+2x-(3+m2)=0的两个实数根， b “由根与系数的关系可得+= =-2,xx=C=-3-m2 展开(：+2)x,+2)得：（x+2)(+2)=+2(+)+4, 代入x+x2和xx3的值：（-3-m2)+2×(-2)+4=-3-m2-4+4=-3-m2, m2≥0， -3-m2<0,即(x+2)(x+2)<0 题型12利用根与系数的送系分类解析根的分布 典例精析 【典例12】 【答案】(1)m≥ (2)m>1 举一反三 【变式1】 【答案】(1)见解析： (2)m的取值范围是m>2 【变式2】 【答案】(1)i证明：x2-(m+6)x+5m+5=0 :4=[-(m+6)]-4(5m+5)=m2+12m+36-20m-20=m2-8m+16=(m-4)}'≥0， ∴不论m取何值，方程总有两个实数根： (2)m<2 【变式3】 【1a2<a<5:2)2<as2号5 7/7