第三单元 用字母表示数（4、5课时）同步练习-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

**基本信息** 本同步练习通过基础计算、规律探究到综合应用的三层设计，以日历、周长等生活情境为载体，构建从具体到抽象的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|日历数关系、周长公式直接应用|以具体日历填数、简单周长计算为主，如框4个数求和，培养数感与量感| |综合应用|代数式表示、规律验证|通过十字框数和、平行四边形框9个数关系，引入字母表示规律，发展符号意识| |拓展探究|跨情境问题解决|设计幻方补充、数阵"X"形框问题，需综合推理与模型构建，提升创新意识|

4 日历中的数量关系 学科网（北京）股份有限公司 1.将每次在日历中框出的 4个数补充完整，并算出这 4个数的和。 2.如图，表②和表③分别是从表①中截取的一部分,其中a=( ),b=( );表①第m行第n列的数是( )。 1 2 3 4 ... 2 4 6 8 ··· 3 6 9 12 4 8 12 16 ··· ●●● … … … ··· 表① 3.将从 1开始连续相差 2的自然数，排成如图所示的数表。 (1)设十字框中间的数为a，先用代数式表示十字框中另外4个数，再表示这5个数的和。 (2)十字框中5个数的和能等于2030 吗?若能，请算出中间的数；若不能，请说明你的理由。 4.如图，用平行四边形在日历中框出9个数。 (1)在日历中，用平行四边形框出的9个数之和与该平行四边形最中间的数有什么关系? (2)妙想框出的9个数的和比中间数大168，她是怎么框的?在图中画出来。 5.下面是一张由 64个奇数从小到大排列成的数表，屏幕中有一个“V”形拼图框，它同时盖住连续的 5个格子(形状如表中涂色所示)。乐乐平移这个“V”形框，让它覆盖数表中的其他位置(不超出边界，且保持完整覆盖 5 个格子)，在他移动后，覆盖的 5 个数的和可能是( )。 A.289 B.319 C.389 D.419 6.如图①是 2026 年 1 月份的日历，小颖用一个3×3 的方框框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“(a+d)-(b+c)”的值,并探索运算结果的规律。 学科网（北京）股份有限公司 2026年1月 ① 【规律探究】 (1)计算图①中“(8+22)-(14+16)”的结果为( )。 (2)小颖将图①中3×3 的方框移动到其他位置，再框住九个数，她发现位置如图②所示的四个数“(a+d)-(b+c)”的值与(1)中计算结果相等，你同意她的发现吗?请说明理由。 【类比探究】 小明在小颖的启发下，在日历中展开如下探究： (3)用一个2×3的方框框住六个数，探究其中位置如图③所示的四个数(a+d)和(b+c)的值的规律，写出你的结论并简要说明理由。 (4)用一个3×3的方框框住九个数，探究其中位置如图④所示的四个数(a+d)和(b+c)的值的规律，写出你的结论并简要说明理由。 7.如图，用一个“T”形框在日历上可以沿着不同方向框出 5个数(不可倾斜放置)。妙想用“T”形框在下图中框出的 5个数的和是 104，在图中画出她的框法。 8.我国古代《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格。幻方每一横行、每一竖列以及每条对角线上 3个数的和相等，如图是一个未完成的幻方，将其补充完整。 9.数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。将连续的偶数按下图排列成数阵，然后用“X”形框在数阵中框出 5个数。 (1)位于数阵第n行中间的数是( )。 (2)奇思框出的5个数中，最小数的2倍与最大数的和为132，他框出的最大数是( )。 (3)妙想框出的5个数中，最小数与最大数的积是180，她框出的数是哪些? 学科网（北京）股份有限公司 5 花坛的周长 学科网（北京）股份有限公司 1.一个圆形喷泉半径是 rm，在其外围修一条宽3m的小路。小路外圈的周长是( )m，比原喷泉周长多( )m。 2.一块正方形草坪，四周边缘各向外扩出1m 形成新的正方形，则新正方形的周长比原来增加多少米? 原边长/m 现边长/m 增加的周长/m 3 10 a 结论：不管正方形草坪边长是多少米，扩建后新正方形草坪的周长都比原来增加( )m。 3.如图，射箭运动的箭靶由 10个同心圆组成，两个相邻的同心圆的半径之差为 6cm，最里面的小圆是10环，最外面的圆环是 1环。1环的外圆周长和10环的周长相差多少厘米? 4.小明正在做一个半径为r的地球模型。 (1)他想用一根铁丝紧紧围住地球模型的赤道，大约需要长度为( )的铁丝。(赤道可以看作一个半径和地球模型相同的圆) (2)如果这个模型的半径增加a，铁丝的长度需要增加( )。 (3)假设真的为地球赤道做一个铁箍，大约要多长的铁丝?如果将铁箍所围的半径增加1m，只增加 10 m长的铁丝够吗?(地球半径约为6400 km) 5.如图，各正多边形的边长都是a，然后以各边为直径画半圆。 (1)按这样的规律画下去，第100 幅图的周长是( )。 (2)若正多边形边长增加1，第1幅图的周长增加( )，第2幅图的周长增加( )，第n幅图的周长增加( )。 6.学习了周长的变化，奇思还想研究不同图形的边长增加后面积是如何变化的。 (1)如图，一块边长am的正方形草坪，边长增加 bm后，面积比原来增加多少平方米? (2)腰长 am的等腰直角三角形，若腰长增加bm,面积会增加( )m²。 (3)一个圆形喷泉半径是 rm，在其外围修一条宽b m的小路。这条小路的占地面积是多少? 4 日历中的数量关系 1.11 18 19 60 17 18 24 84 n-7 n-6 n+1 4n-12 2.18 30 mn 3.(1)上:a-16 左:a-2 右:a+2 下:a+16 a+(a-16)+(a-2)+(a+2)+(a+16)=5a (2)5a=2030 a=406 中间数为406,但406不是奇数，不可能在数表中出现，故十字框中5个数的和不能等于2030。 4.(1)9个数之和等于最中间的数的9倍。 (2)框出14,15,16,20,21,22,26,27,28。 5. D 6. (1)0 (2)同意,理由如下:由题意得d=a+14,b=a+6,c=a+8,所以(a+d)-(b+c)=a+a+14-(a+6+a+8)=2a+14-(2a+14)=0。 (3)(a+d)比(b+c)小5,理由如下: 由题意得b=a+6,c=a+7,d=a+8,所以a+d=2a+8,b+c=2a+13,(2a+13)-(2a+8)=5。 (4)(a+d)比(b+c)小5,理由如下: 由题意得b=a+7,c=a-8,d=a-6,所以a+d=2a-6,b+c=2a-1,(2a-1)-(2a-6)=5。 7. 提示：“T”形框有4种不同方向，分别写出5个数的和的关系式再判断是否成立即可。假设“T”形框横竖交点处的数是a，则5个数的和分别是5a+21,5a-21,5a-3,5a+3,只有5a-21=104求出的a是整数，故“T”形框横竖交点处的数是25。 10 6 20 22 12 2 4 18 14 提示：假设左上角的数是m，则第一行三个数的和是m+26，故左下角的数是4，从右上到左下的对角线中间的数是m+2，第二列下面的数是18，第三列中间的数是2，下面的数是m+4，则从左上到右下的对角线上三个数的和是m+(m+2)+(m+4)=3m+6,3m+6=m+26，可以得到m=10，据此将幻方补充完整。8. 9. (1)10n-4 提示：由题意得第1行中间的数是6=10×1-4，第2行中间的数是16=10×2-4，第3行中间的数是26=10×3-4,第4行中间的数是36=10×4-4,总结规律可得位于第n行中间的数是10n-4。 (2)60 提示：设“X”形框中的中间数是x，则其他4个数分别为x-10-2=x-12,x-10+2=x-8,x+10-2=x+8,x+10+2=x+12。由题意得2(x-12)+(x+12)=132,即3x-12=132,x=48,x+12=60。 (3)由(2)知,“X”形框中最小数为x-12,最大数为x+12,因为180=2×90=6×30=10×18,所以只有6和30满足是同一个框里的最小数和最大数，故框出的数是6,10,18,26,30。 提示：将180写成两个偶因数的积只有3种情况，又因为框出的数中最小数和最大数相差24，据此可确定6和30分别是最小数和最大数。 5 花坛的周长 1.(2r+6)π 6π 2.5 8 12 8 a+2 8 8 3.6×(10-1)=54(cm) 2×3.14×54=339.12(cm) 4.(1)2πr (2)2πa (3)2×3.14×6400=40192(km) 2×3.14×1=6.28(m) 6.28<10 答:大约要40192km长的铁丝,只增加 10 m长的铁丝够了。 5.(1)51πa (2)1.5π 2π (0.5n+1)π 6.(1)面积比原来增加( 提示：从题图中可以看出，面积增加了左上方、右上方、右下方三部分的面积之和，即 提示：两个腰长a m的等腰直角三角形能拼成一个正方形，所以面积增加了(1)中增加面积的一半，即 答：这条小路的占地面积是 提示：分别计算修小路前后的面积再相减即可。 学科网（北京）股份有限公司 $