精品解析：广东省汕头市潮阳区棉城中学2025-2026学年高三上学期期初考试数学试题

2025-2026学年度第一学期棉城中学高三级期初考试 （数学） 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】已知集合，，则. 故选：A. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先求出复数的共轭复数，然后可求出共轭复数对应的点所在的象限. 【详解】因为，所以， 所以在复平面对应的点位于第四象限. 故选：D 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【详解】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 4. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定可得出命题的否定. 【详解】命题，则． 故选：C． 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 6. 已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中垂直和平行的性质及充分条件、必要条件、充要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，，则，可以异面、平行或相交，故由推不出， 若，，根据平行线的性质，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决. 【详解】因为， 所以只需将函数的图象上各点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：C 8. 已知函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间为 B. 当有3个零点时， C. 当时，的所有零点之和为 D. 当时，有1个零点 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数图象，数形结合判断函数单调区间和零点个数. 【详解】函数，结合二次函数和对数函数的图像和性质，作函数的图象如图所示， 由图象可知，函数的增区间为和，A选项错误； 的零点，是函数和图象交点的横坐标， 由图象可知，当有3个零点时，，B选项错误； 解方程可知，当时，有两个零点，和，所有零点之和为，C选项错误； 当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，D选项正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ） 附：若，则，，． A. 这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36 B. 这300份问卷中得分超过88分的约有48份 C. D. 若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布可得期望和方差，利用参考数据及对称性可判断其它选项. 【详解】由题意知，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据的期望是，方差是，标准差是，所以A错误； 由，可得300×0.1585≈48，所以该问卷中得分超过88分的约有48份，所以B正确； 由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确； 由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误． 故选：BC． 10. 如图所示，棱长为3的正方体中， E， F分别在，上， 且 则（ ） A. B. C. D. 与是异面直线 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用空间向量判断位置关系. 【详解】如图，以为原点所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对A，，即，A正确； 对B，，B错误； 对C，，则C正确，D错误. 故选：AC 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用指数函数，对数函数的运算性质求解即可． 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 13. 已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，结合题意可得出关于的方程，求出的值，即可得出的值. 【详解】因为数列为公差为的等差数列，由题意可得，即， 解得，故. 故答案为：. 14. 的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】55 【解析】 【分析】将原式拆解成两个二项式的和，借助于通项的分析即得. 【详解】， 因二项式的通项为， 则的展开式中含项的系数为； 对于，只需求其中的展开式含项的系数，即. 故的展开式中，含项的系数为. 故答案为：55. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，是边上一点，. （1）求的大小； （2）求的长. 【答案】（1）；（2）8. 【解析】 【分析】（1）直接根据余弦定理可求得结果； （2）根据正弦定理可求得结果. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理可得：. . （2）， 在中，由正弦定理，得，即，解得. 16. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 17. 如图，三棱锥中，，，，． （1）求证：； （2）求侧面与底面所成二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）作，连接，证得为平面与平面所成角，再求的正切值即可. 【小问1详解】 ，, 又，且平面 平面， 又平面, 【小问2详解】 作，连接， ，，, 平面 平面， 又平面, 平面平面， 为平面与平面所成角， 在中，，，， 根据勾股定理可得：， 由三角形面积公式，可得， ， 所以侧面与底面所成二面角的正切值为. 18. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期棉城中学高三级期初考试 （数学） 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 8. 已知函数，令，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间为 B. 当有3个零点时， C. 当时，的所有零点之和为 D. 当时，有1个零点 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（ ） 附：若，则，，． A. 这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36 B. 这300份问卷中得分超过88分的约有48份 C. D. 若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布 10. 如图所示，棱长为3的正方体中， E， F分别在，上， 且 则（ ） A. B. C. D. 与是异面直线 11. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则________． 13. 已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则__________． 14. 的展开式中，含项的系数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，是边上一点，. （1）求的大小； （2）求的长. 16. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，三棱锥中，，，，． （1）求证：； （2）求侧面与底面所成二面角的正切值． 18. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 19. 已知和为椭圆上两点. （1）求C的离心率; （2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $