2026年高三数学秋季开学学情自测卷01（广东专用）

2026年高三数学秋季开学学情自测卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由解得或，可得集合； 由可得，解得或，可得集合； 所以. 2．若，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，则， 故． 3．已知向量，向量与的夹角为 且 ，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出向量的模，再将两边平方，结合向量数量积的定义列方程求解，舍去负的模长即可得到结果. 【详解】由，根据向量模长公式可得. 将两边平方，得， 展开得，已知两向量夹角为，即， 代入上式得，整理为. 解得或，由于向量模长为非负数，舍去，故. 4．已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】 当， 时，，也满足，所以。 令， 时，，故， 时，，故， 因此. 5．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 6．已知，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】观察角度结构，将与配凑成，利用两角和差余弦公式展开合并同类项，等式两边同除余弦乘积，直接推出两个正切的乘积． 【详解】由， 得 ， ， 两边同时除以（，否则正切无意义）， 所以． 7．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 8．当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，设，利用导数工具研究函数的单调性和最值再代入区间端点计算，确定值域范围. 【详解】因为随机变量 服从两点分布，所以 ，由题意： ， 所以 ， ， 所以 设 ， 则 ， ， 因为当，，当，， 所以 在 上递增， 上递减， 所以 ，且 ， 显然 ， 又 ， 代入： ，得 ，所以 ， 综上： ，即 . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 【答案】BCD 【分析】设等差数列的公差为，根据所给条件求出、，即可判断A，求出，再求，即可判断B，表示出，列出其前几项，即可判断C，结合二次函数性质求的最小值，即可判断D. 【详解】对于A：设等差数列的公差为，由，， 则，解得，所以，故A错误； 对于B：，所以，故B正确； 对于C：，则，，，，，， 当且时，， 得到，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以当时，取最小值， 且最小值为，故D正确. 10．在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（   ） A．该正四棱锥的高为 B．该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C．该正四棱锥的外接球的半径为 D．该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 【答案】AC 【分析】对于A：设底面中心为，连接，则底面,则，结合底面边长可求解；对于B：过作，连接，则为所求角，结合边长值求解；对于C：作的平分线，易知，即，则线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，在中可求解；对于D：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，在中利用余弦定理求解. 【详解】 对于A：如图，连接，，设交点为，则底面，所以，，所以，所以A选项正确； 对于B：作，垂足为点，连接，则为二面角的平面角，易得，，所以，所以B选项不正确； 对于C：作的平分线，交于点，则，所以线段的长即为该正四棱锥的外接球的半径长，易得，所以，所以C选项正确； 对于D：作，垂足为点，连接，易得，则为二面角的平面角，由，得，所以，所以D选项不正确. 11．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABC 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】由题意得，不妨设在第二象限， 当时，则，则， 故，， 故，由于是的角平分线，所以， 进而可得，故斜率为，故A正确， 由于，所以，故B正确， 延长交于点，连接， 由于是的角平分线，，所以， 故是的中点，， 由双曲线定义可得， 又是的中点，，故C正确，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，，解得，. 所以函数. 根据正弦函数的单调递增区间可知，， 解得，. 所以所求的递减区间为. 13．已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，若直线和的斜率分别为和，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【详解】设，则， 整理得 两式相加，得 将代入，得，解得 代入，得 因此，点的坐标为 因为点在椭圆上，满足椭圆方程 化简方程得 两边同乘，得 由椭圆定义，，离心率， 因此，. 将其代入上式， 整理得， 令（，故），方程转化为 解得 ，不符合，舍去； ，符合条件. 因此 化简根式 14．已知定义在上的函数满足：，且对，都有，．则_________． 【答案】 【分析】将转化为，利用得到，又，从而得到和，将转化为，利用和等差数列的前项和的公式求解. 【详解】解： ． 又， ，且此时． ， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）法①：由题意可得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而得，最后利用求解即可； 法②：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得从而得，利用求解即可； 法③：在中，由余弦定理可得，从而得，所以，再结合余弦定理求得，最后在直角中，由正弦的定义求解即可； 法④：利用面积公式可得，再由余弦定理可得，最后由正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，且， 则， 即， 得， 则， 因为，所以. （2）由（1）得，，因为，所以， 所以， 法①：如图在中，由余弦定理可得：   ， 即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中，. 法②：同解法①， 在中由正弦定理，即， 所以， 又因为，即，所以. 法③：同上， 在直角中，，所以， 由（1）问知，所以， 即，得即， 所以，. 法④：由（1）知，则， 因为， 所以， 即，解得， 所以，即， 在中，由正弦定理，即， 解得. 16．（15分） 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）． (1)若平面ABC，求证：； (2)若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用线面平行性质推得线线平行，结合向量线段比例关系，借助相似三角形比例证得线段倍数关系； （2）依据垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角公式列方程求解参数，再利用等体积转化与线段比例，算出几何体体积． 【详解】（1）    在中，点是棱的中点，点满足，所以是的重心， 连接，并延长交于点，连接，如图所示，则， 因为平面，平面平面，平面PEF， 所以，所以，即． （2）因为平面，平面，所以，， 又，，所以， 所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    所以，，，，， 设平面BCD的法向量为， 又，， 所以，令，得， 设， 所以， 所以， 解得，所以， 所以三棱锥的体积． 17．（15分） ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”． (1)若，， （i）求； （ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； (2)若，证明： 【答案】(1)（i）（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）（i）由第一次发球是甲得第二次发球是乙的情况列方程求解， （ii）根据条件概率求出及，再由全概率公式求出，代入贝叶斯公式求解； （2）根据全概率公式得到和的关系式，结合已知条件证得. 【详解】（1）（i）因为，， 所以. （ii）第二次发球的人是甲的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第二次发球的人是乙的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第三次发球的人是甲的概率是， 第三次发球的人是甲，第二次发球的人是甲的概率为. （2）， 因为，， 所以， 因为，， 所以，. 18．（17分） 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 19．（17分） 若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）利用奇函数的性质可将不等式化为，利用具有性质和奇函数性质可得是上的增函数，从而利用增函数的性质即可求解； （3）先由具有性质且函数的图像是一条连续曲线求得，然后利用反证法证明是奇函数. 【详解】（1）不具有性质， 理由：取，，，所以不具有性质. 具有性质， 理由：对任意，， 当时，，因为为上的增函数， 所以，即，所以， 当时，，所以，即， 所以， 综上，对任意，，有， 所以具有性质. （2）因为是奇函数，所以可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. （3）由具有性质知：当时，当时， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以， 从而有， 与具有性质矛盾． 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高三数学秋季开学学情自测卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高中全部知识 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．若，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，向量与的夹角为 且 ，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．，B．， C．， D．， 5．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 7．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 8．当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 10．在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（   ） A．该正四棱锥的高为 B．该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C．该正四棱锥的外接球的半径为 D．该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 11．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 13．已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，若直线和的斜率分别为和，则椭圆的离心率为_________． 14．已知定义在上的函数满足：，且对，都有，．则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 16．（15分） 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）． (1)若平面ABC，求证：； (2)若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 17．（15分） ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”． (1)若，， （i）求； （ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； (2)若，证明： 18．（17分） 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 19．（17分） 若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高三数学秋季开学学情自测卷01 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 n 舒 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 6-------=------------2 题；字体工整、笔迹清晰。 判 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B]IC][D] 5[AJ[B][C][D] 2[A[B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A]B][C][D] 8[A[B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 相 12 13 14. 剂 请在各题目棘管戆醚现内体密，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) ◇ D F B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) DO C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高三数学秋季开学学情自测卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高中全部知识 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．若，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，向量与的夹角为 且 ，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D． 7．已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 8．当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 10．在正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为60°，则（   ） A．该正四棱锥的高为 B．该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 C．该正四棱锥的外接球的半径为 D．该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° 11．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在轴上方，过作角平分线的垂线，垂足为 是坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若 ，则 D．若 ，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的最大值是，最小值是，则函数的单调递减区间为________． 13．已知椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上一点，若直线和的斜率分别为和，则椭圆的离心率为_________． 14．已知定义在上的函数满足：，且对，都有，．则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 16．（15分） 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，点D是棱PA的中点，点E满足，点F是棱BP上的一点（不包含端点）． (1)若平面ABC，求证：； (2)若直线AF与平面BCD所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 17．（15分） ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”． (1)若，， （i）求； （ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； (2)若，证明： 18．（17分） 已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方. (1)求双曲线的方程； (2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为. 证明：①为定值； ②. 19．（17分） 若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． (1)设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； (2)已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； (3)已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三数学秋季开学学情自测卷01 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B C B C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且， 则， 即， 得， 则， 因为，所以. （2）由（1）得，，因为，所以， 所以， 法①：如图在中，由余弦定理可得：   ， 即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中，. 法②：同解法①， 在中由正弦定理，即， 所以， 又因为，即，所以. 法③：同上， 在直角中，，所以， 由（1）问知，所以， 即，得即， 所以，. 法④：由（1）知，则， 因为， 所以， 即，解得， 所以，即， 在中，由正弦定理，即， 解得. 16．（15分） 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）    在中，点是棱的中点，点满足，所以是的重心， 连接，并延长交于点，连接，如图所示，则， 因为平面，平面平面，平面PEF， 所以，所以，即． （2）因为平面，平面，所以，， 又，，所以， 所以，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    所以，，，，， 设平面BCD的法向量为， 又，， 所以，令，得， 设， 所以， 所以， 解得，所以， 所以三棱锥的体积． 17．（15分） 【答案】(1)（i）（ii） (2)证明见解析 【详解】（1）（i）因为，， 所以. （ii）第二次发球的人是甲的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第二次发球的人是乙的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第三次发球的人是甲的概率是， 第三次发球的人是甲，第二次发球的人是甲的概率为. （2）， 因为，， 所以， 因为，， 所以，. 18．（17分） 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由题可得， 因为，所以直线的方程为， 设，则， 所以， ， 所以，为定值. ②因为，由①得， 因为，所以， 又都是锐角，所以， 所以，所以. 19．（17分） 【答案】(1)不具有性质，具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）不具有性质， 理由：取，，，所以不具有性质. 具有性质， 理由：对任意，， 当时，，因为为上的增函数， 所以，即，所以， 当时，，所以，即， 所以， 综上，对任意，，有， 所以具有性质. （2）因为是奇函数，所以可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. （3）由具有性质知：当时，当时， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以， 从而有， 与具有性质矛盾． 若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高三数学秋季开学学情自测卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高三数学秋季开学学情自测卷01 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) : 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：高中全部知识 : 第一部分（选择题共58分） : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 : 要求的。 1.已次合4RP2x3以，宋合BxR号0 则A∩B=() A.(-0,4]U(3,+∞） B.（-∞，-4)U(3,+0) : C.（-0,-1)U(2,+0) D.（-0,-1)U[2,+0) 2.若(3-4i)z=5i,则二的共轭复数z=() : A 43 3.已知向量a=(cs8sm0),向量a与5的夹角为号且ba-小25，则：() A.1 B.2 C.3 D.4 : 4.己知数列{a}的前n项和Sn=n(n-40),则下列判断正确的是() : 照 A.4g>0,1<0B.4如>0,41<0C.4g<0,1>0D.4g<0,a0>0 : 5.已知函数f(x)=e+ax.若曲线y=f(x)在x=0处的切线经过点(2,5)，则a=() : A.0 B.1 C.2 D.3 : 6.已知3cos(2a+)+5cosB=0,则tan(a+)tan的值为() : : A.4 B.3 C.-4 D.-3 : 7. 已知P为抛物线y2=4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d,对于给出定点A(4,5),则|PA+d的最 小值为() A.4 B.V34 c.17-1 D.V34-1 8.当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息 过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德艾尔伍 试题第1页（共6页) : 而学科网·上好课 德香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为H(X)=-立p,其中H(X) iei 表示随机变量X的信息熵，随机变量X所有可能的取值为1,2,3，，n,P(X=)=2,>0(i=1,2,3,.…,n), 且22=1，若随机变量x所有可能的取值为1,2，P(X=)=P,若p3) -12 则X的信息熵H(X)的 i=1 值所在的区间为()（参考数据：h2≈0.69，n3≈1.10） A.(0.4,0.5) B.(0.5,0.6) c.(0.6,0.7) D.(0.7,0.8) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.记等差数列{a}的前n项和为S,己知4=3，=-9，则() A.4=-3 B.S6=0 c各8 D.S的最小值为-9 10.在正四棱锥P-ABCD中，AB=2,侧棱与底面所成的角为60°，则() A.该正四棱锥的高为√6 B.该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为 3 C.该正四棱锥的外接球的半径为26 3 D.该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90° :已知尽，乃分别是双曲线x)三1的左、石焦点，M是左支上一点，且在x轴上方，过乃作∠匹 角平分线的垂线，垂足为N,O是坐标原点，则下列说法正确的是() A若∠名=行，则直线W的斜率为-5B.若∠AMK-号则RMRN=4 C.若∠MF,=,则OW=1 D.若∠M乃=a&,则ON=cos 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 数y=a-bcosx(6>0)的最大值是)，最小值是，则函数y=2asim(-3b的单调递减 1B.已如躺圆C若+茶=1a>b0的左右焦点分别为R,片，点P为腊圆C上一点，若直线所和P四 的斜率分别为}和-}，则椭圆℃的离心率为 2 14.已知定义在Z上的函数f(x)满足：f(1)=-506,且对neZ,都有f(n+12)-f(n)≥6(n+5), 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 f(+4)-f)s2(+1).则f2025) 289 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2b+c-2 acos C=0. (1)求A: (2)若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=V3,求sinB. 16.(15分) 如图，在三棱柱P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,BC=2W2,点D是棱PA的中点， 点E满足CE=2ED,点F是棱BP上的一点（不包含端点）. (1)若EF∥平面ABC,求证：PF=2FB: 包者直线AF与平面8CD所成角的正弦值为2/0·求三棱锥P-FCD的体积 17.(15分) ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得 分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未 发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为P,记事件A,表示“第n 次发球的人是甲”。 4=1,2网8 试题第3页（共6页） (i)求h; (ⅱ)已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； 2诺P(4)小>分证明：P()号 18.(17分) 已知角(0<a<)的顶点为A,在a的两边上截取AB=AC,连接BC,在线段BC上取一点O,使 得BO=2CO,记BO的中点为D,以O为中心，C,D为顶点作离心率为2的双曲线M,以A为圆心，AB 为半径作，与双曲线M左支交于点B(射线AB在BAC内部)，则BAB=}BAC.在上述作法中，以 O为原点，直线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，若B(-2,0),点A在x轴的上方 : O (1)求双曲线M的方程； (2)若过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G,点E到直线AG的距离为d. 证明：① B为定值： ∠BAC ②∠BAB= 19.(17分) 若函数)=满足：对任意，∈R,+5+0,都有)+f凸0，则称函数y=N)具有性 世 X1+X2 O 质P (1)设f(x)=e,8(x)=x3分别判断y=f(x)与y=g(x)是否具有性质P?并说明理由； (2)已知定义在R上的奇函数y=f(x)具有性质P,求关于a的不等式f(2a+1)+f(a)>0的解； (3)己知函数y=f(x)具有性质P,且图像是一条连续曲线，若y=f(x)在R上是严格增函数，求证： y=f(x)是奇函数. 试题第4页（共6页）