综合检测卷05　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 覆盖集合、逻辑、函数、导数、三角函数等模块，以综合题组构建知识网络，强化跨模块应用能力，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|2题|基础概念辨析|集合运算与命题否定的逻辑关联| |函数与导数|6题（如8题、19题）|单调性、极值、不等式恒成立|函数性质到导数应用的递进| |三角函数与解三角形|5题（如6题、17题）|图像变换、实际测量、边角关系|三角函数公式与三角形定理的综合应用|

综合检测卷05　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，故. 2．（25-26高三上·贵州遵义·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”为全称命题， 则其否定为“，”. 3．（2026·山东聊城·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，整理可得，运算求解即可. 【详解】设， 因为，则，且， 可得， 则，解得. 且，则，所以. 4．（25-26高二下·天津河西·期末）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得. 【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数， 又，所以， 所以，则是周期为的周期函数， 又因为，即， 又当时，，所以，解得， 所以， 所以. 5．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知，，则（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】令，根据函数单调性可得，进而代入求解即可. 【详解】因为，则， 令，定义域为， 因为，在上单调递增，可知在上单调递增， 又因为，， 则，所以. 6．（25-26高三上·新疆伊犁·期末）某数学兴趣小组成员为测量伊犁州寂光塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的A、B、三处进行测量.如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则寂光塔的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】设塔高 ，利用三角函数将 用 表示，再结合 三点共线及余弦定理建立关于 的方程求解. 【详解】设寂光塔的高度米，由题意可知 平面， 所以 均为直角三角形； 在 Rt 中， ，则 ； 在 Rt 中， ，则 ； 在 Rt 中， ，则 ； 在 中，由余弦定理得： ， 在 中，由余弦定理得： ， 因为三点共线，所以 ， 即 。所以 ， 解得 ， 所以 .故寂光塔的高度为米. 7．（25-26高三上·河南驻马店·期末）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象变换可得，由在上没有零点，可得，根据周期公式解得，假设函数在上有零点，求出零点，由求得的取值范围，继而可得函数在上没有零点时的取值范围. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 由题得，周期， 因为在上没有零点，所以， 得，即，得， 假设函数在上有零点， 令，得，解得, 则，得， 又，当时，得， 当时，得， 所以函数在上没有零点时，的取值范围是. 故选：A. 8．（25-26高二下·福建泉州·期末）已知函数，．当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：通过分离参数，构造函数，通过二次求导，确定单调性，求最值即可求解；法二：将不等式转换成，构造函数，求导，通过讨论和的大小关系，确定函数单调性，进而可求解. 【详解】解法一：不等式可化为，令， 可得 令，则 由得，则在上单调递增，所以 令得；令得 所以在上单调递减，在上单调递增，则 所以. 解法二：不等式可化为，令 ，令，得， 当即时，在上单调递增，在上单调递减 又，则对于，，不合题意，舍去 当即时， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 则只需，得 当即时，，在上单调递减 则，符合题意 当即时， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则只需，即， 由法一可知，该式恒成立， 则符合题意 ， 综上所述：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中说法正确的是（     ） A．函数的单调递增区间为 B．幂函数为偶函数，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．的导函数为，则是的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】A选项，借助复合函数的单调性即可求解；B选项，先根据幂函数的定义求解，再根据奇偶性进行验证即可；C选项，借助函数定义即可求解抽象函数的定义域；D选项，借助求导法则进行判定即可. 【详解】对于A：由函数有意义，可得，解得或. 令，外层函数在上为增函数， 内层函数的对称轴为，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，所以的单调递增区间为，故A错误； 对于B：因为为幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，满足条件； 当时，不是偶函数，不满足条件，所以，故B正确； 对于C：因为函数的定义域为，则对于函数需使， 解得，故函数的定义域为，故C正确； 对于D：由，两边求导可得：，所以充分性成立； 由，则（为待定常数），所以必要性不成立， 即是的充分不必要条件，故D正确. 10．（25-26高三上·湖南娄底·期末）在中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则一定为直角三角形 D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角 【答案】ACD 【分析】选项A，由三角形边角关系和正弦定理，可判断；选项B，由三角函数确定角的关系，要结合角范围判断；选项C，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，进而判断；选项D，用余弦定理求出最大边所对的角，即可判断. 【详解】对于A，在中，若，则， 又，所以，故A正确； 对于B，当，，时，，， 满足，但不是等腰三角形，故B错误； 对于C，若，则， 又，所以， 所以，即， 因为，所以，即， 所以一定是直角三角形，故C正确； 对于D，设三角形最大的角为， 则，又，所以， 因此此三角形的最大角为钝角，故D正确. 11．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知函数的部分图象如图所示，直线与曲线交于两点，若，在区间上单调递减，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据方程的解得到和最小正周期，从而和分别为单调递减区间的起点和终点，从而得到方程，求出 【详解】设，由得 ，又， ，解得，， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， ，解得 ，． 13．（25-26高二下·广西南宁·期末）若，，且函数在处有极值，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】根据题意结合极值可得，，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，且，， 则，可得， 可知有2个变号零点，则函数有2个极值点， 由题意可知：，可得， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 14．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 【答案】 （符合题意任写一个即可） 8 【分析】由对任意，有，得函数是奇函数，从而写出符合要求的一个解析式，从而得到是奇函数，并求得其在上的最大值与最小值的和，进而得到的值. 【详解】因为对任意，有， 所以令，得，所以； 令，得，所以，即， 所以函数为奇函数. 若，则，， 所以，符合要求. 所以符合要求的一个解析式可以是. 此时，， 令，则的定义域为，且， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称. 记在上的最大值为与最小值为，则. 所以函数在上的最大值与最小值的和. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·福建南平·期末）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1)3 (2)时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为． 【分析】（1）由二次函数的性质求解即可； （2）先因式分解，再对分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为，在上单调递增， 所以的最大值为 （2）由得， 若，则； 若，则； 若，则； 综上：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为． 16．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】(1)； (2)①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； （2）①因为， 所以； ②略； 17．（25-26高三上·四川攀枝花·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)如图所示，为外一点，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简或由余弦定理化简求解； （2）令，在，中利用正弦定理求出从而建立关系式求出. 【详解】（1）法一：由及正弦定理得， 从而，即， 又中， 又，所以； 法二：由及余弦定理得， 化简得，则 又，所以； （2）由，令，则， 在中，由正弦定理得：， ， 在中，由正弦定理得：， 因为， 所以， ， 因为，所以，， 所以，得，即 18．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知函数，是的两个零点，且的最小值是． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简函数为，结合题意，得到的最小正周期为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解； （3）设，得到，根据题意，转化为不等式在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由， 因为是的两个零点，且的最小值是， 即是的两个根，即的两个根， 可得函数的最小正周期为， 又因为，可得最小正周期，解得． （2）由（1）知， 因为，可得， 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，， 所以在上的值域为． （3）因为，设，，由（2）可知， 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，即， 因为，当且仅当时，等号成立． 所以的取值范围是． 19．（25-26高二下·广东湛江·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间以及极值； (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为. 极小值为，无极大值. (2)的取值范围为. 【分析】（1）求，利用和求解函数的单调区间，从而可得到极值. （2）先利用的符号判断函数的单调性，再利用最小值小于零即可求解的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为. . 令，即，解得；令，即，解得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 当时取得极小值，极小值为，无极大值. （2），. 当，即，恒成立，所以在上单调递增，最多1个零点，不符合题意. 当，即时，令，即，解得. 当时，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以是极小值点，也是最小值点， 且. 当时，；当时，. 因为有两个不同的零点，所以即. 又因为，所以，解得. 所以. 综上所述，若有两个不同的零点，的取值范围为. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷05　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用、三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·贵州遵义·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·山东聊城·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津河西·期末）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（    ） A． B．2 C． D．3 5．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知，，则（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 6．（25-26高三上·新疆伊犁·期末）某数学兴趣小组成员为测量伊犁州寂光塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的A、B、三处进行测量.如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则寂光塔的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（25-26高三上·河南驻马店·期末）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建泉州·期末）已知函数，．当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中说法正确的是（     ） A．函数的单调递增区间为 B．幂函数为偶函数，则 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．的导函数为，则是的充分不必要条件 10．（25-26高三上·湖南娄底·期末）在中，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则一定为直角三角形 D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角 11．（25-26高二下·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知函数的部分图象如图所示，直线与曲线交于两点，若，在区间上单调递减，则的值为___________． 13．（25-26高二下·广西南宁·期末）若，，且函数在处有极值，则的最小值为_____. 14．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）若对任意，有，写出符合要求的一个解析式________，则函数在上的最大值与最小值的和________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高二下·福建南平·期末）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值； (2)若，解关于的不等式． 16．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 17．（25-26高三上·四川攀枝花·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)如图所示，为外一点，，求． 18．（25-26高三上·河南驻马店·期末）已知函数，是的两个零点，且的最小值是． (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 19．（25-26高二下·广东湛江·期末）已知函数． (1)当时，求的单调区间以及极值； (2)若有两个不同的零点，求的取值范围． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $