综合检测卷04　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用-2027届高考数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 聚焦集合、逻辑用语、不等式、函数与导数的跨模块整合，以题构建知识逻辑链，强化数学思维与理性精神。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与工具|选择1-3、9、12、15-16|集合子集、不等式求解、充要条件判断、集合运算|概念生成→性质应用→工具整合，形成数学表达基础| |函数与导数综合|选择4-8、10-11、13-14、17-19|函数奇偶性、导数单调性/极值、恒成立问题、零点分析|函数性质→导数应用→综合探究，深化逻辑推理与问题解决能力|

综合检测卷04　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 2．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式的解法求解. 【详解】由题意：，则，化简得： 等价于，解得： 所以不等式的解集为. 3．“函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性求出的范围后判断即可. 【详解】由复合函数单调性和对数函数定义域可知： 函数在区间上单调递增等价于，即， 故“函数在区间上单调递增”是“”的充分不必要条件. 4．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由奇函数的性质可知，解得. 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 【答案】D 【分析】根据图象判断的单调性和正负，再根据的单调性与的正负的关系判断的单调性及极值可得答案. 【详解】由图可知， 当时，，所以在区间上单调递减，故AC错误； 根据图象，在区间上单调递增，B错误； 在区间上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，D正确； 故选：D. 6．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设函数不存在单调递减区间，利用导数与单调性的关系可得在恒成立，可求得实数的取值范围，根据函数存在单调递减区间可求解. 【详解】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 7．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 8．已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定信息，确定函数的周期，再求出在上的解析式及单调性，再逐项分析判断. 【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得， 即， 则，函数周期为4. 当时，，则， 因此当时，，函数在上单调递增. 对于AB，，而， 则，因此，AB错误； 对于C，， 而，因此，C错误； 对于D，， 而，因此，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则 【答案】BCD 【分析】A选项，对变形后用基本不等式判断等号能否取到；B选项，化简两个括号内的表达式，再整理乘积，判断结果和0的大小关系；C选项，通分整理原式判断符号即可；D选项，用基本不等式建立关于的不等式，再求解范围. 【详解】选项A：当时，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故A错误. 选项B：，不等式恒成立，故B正确. 选项C：对任意，变形得：， 故不等式恒成立，故C正确. 选项D：，由基本不等式，代入得： （当且仅当时取等号），令，得， 解得（负根舍去），因此，故D正确. 10．设函数，.下列说法正确的是（  ） A． B． C．在上单调递减，在上单调递增 D．在处取得最大值 【答案】ABC 【分析】根据题意，求得，可判定A正确；求得，得到的单调性和极值的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数，可得，所以A正确； 对于B，由，所以B正确； 对于C，由函数，可得其定义域为且， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，所以C正确； 对于D，由选项C知，函数在处取得极小值，不是最大值，所以D错误. 11．已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 【答案】AD 【分析】利用函数是奇函数得出周期和对称性，利用奇函数定义可判断A，结合单调性可判断B，结合周期性和对称性可判断C，结合函数的简图可判断D. 【详解】因为，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以， 所以，即的一个周期为8. 对于A，因为，且为奇函数，所以为奇函数，A正确； 对于B，因为在上单调递增，且为定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由，可得关于对称，故在上单调递减， 因为的周期为8，又由知4不是的周期， 所以的减区间为，B不正确； 对于C，由对称性可知，，，由可得， 所以， 因为的周期为8，所以， 因为，，但不确定，所以不确定，C不正确； 对于D，令，可得，则的零点个数即和的图象公共点个数， 分别作出两个函数的简图，由于的最大值为2，，所以两个图象公共点的个数为8，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．条件“”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答案即可）． 【答案】（答案不唯一，符合要求即可） 【详解】已知不等式，由于 指数函数是单调递减函数，因此不等式等价于； 又由于对数函数定义域为，且本身是单调递增函数，因此原条件等价于：. 必要不充分条件的定义为：若原条件为，所求条件为，满足，但，则是的必要不充分条件. 这里，取，可满足，但. 因此原条件的一个必要不充分条件是.（答案不唯一，符合要求即可） 13．已知函数在处取得极小值，则___________． 【答案】1 【分析】求导，令，求出的值，再将的值代回中，再根据的符号判断在处是否取得极小值即可得到答案． 【详解】由，则， 又在处取得极小值，则，解得或， 当时，， 则若时，，此时单调递增；若时，，此时单调递减， 此时在处取得极大值，不满足条件； 当时，， 则若时，，此时单调递减；若时，，此时单调递增， 此时在处取得极小值，满足条件． 综上所述，． 14．已知函数在上最大值为，最小值为，则_________． 【答案】8 【详解】， 设，因为， 所以为奇函数，则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)1和2 (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 16．已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 17．已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算法则，对进行化简整理，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案. （2）令，利用换元法，将所求转化为在上有实数解，根据对勾函数的性质，即可得答案. （3）分析可得，根据（1）得的最大值，根据二次函数的性质，分别求出对称轴在各个区间内时函数的最值，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）由题意 ， 令，由，得， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以函数在区间上的值域为. （2）令，由，得， 方程在区间上有实数解，可化为在上有实数解， 即在上有实数解， 因为，当且仅当，即时取等号， 根据对勾函数的性质可得在单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 所以，则实数的取值范围为. （3）由（1）得在区间上的值域为，即， 因为存在，使得不等式对任意恒成立， 所以，即， 令，由，得， 则，，为开口向上，对称轴为的抛物线， 当，即时，在上单调递减， 所以，解得，此时； 当，即时，在上单调递增， 所以，解得，此时无解； 当，即时，在单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此时； 当，即时，在单调递减，在上单调递增， 所以，解得，此时； 综上，实数的取值范围为 18．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)记函数，若，存在两个相异的正实数满足，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，点斜式即可求解； （2）由，要证，只要证，即证，由的单调性知只要证，结合 只要证，移项作差构造函数即可求解． 【详解】（1）当时，． 所以切线的方程是即． （2）可得． 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 不妨设，令， 则， 所以函数在上单调递增，从而， 即时，恒成立． 而，从而，又， ，函数在上单调递减． ，得． 令，则，当时单调递增； 当时单调递减，所以，即， 由不等式得， 成立，所以． 19．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若与恰有两个交点，求的取值范围. (3)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导后构造函数再次求导后可得； （2）变形不等式后令，问题转化为有两个零点，求导分和两种情况结合零点存在定理分析可得； （3）当时显然成立；当时，分离参数可得，构造函数求导结合隐零点分析最值即可. 【详解】（1）当时，，， 令，则恒成立， 所以在单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. （2）， 令，问题转化为有两个零点， 求导， 若，则，单调递增，在上至多有一个零点，不符合题意； 若，令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 由零点存在定理可得要使有两个零点，则， 当时，，，则； 当，由指数爆炸模型可知， 所以的取值范围为. （3）当时，，即，整理可得， 当时显然成立； 当时，分离参数可得， 令，求的最大值即可， 求导， 令分子为， 则， 再令， 则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 又， 故存在，使得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递增， 所以. 所以a的取值范围为. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷04　集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 2．不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 3．“函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 6．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，下列说法正确的是（   ） A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则 10．设函数，.下列说法正确的是（  ） A． B． C．在上单调递减，在上单调递增 D．在处取得最大值 11．已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．的减区间为 C． D．函数的零点个数为8 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．条件“”的一个必要不充分的条件是______（填上一个答案即可）． 13．已知函数在处取得极小值，则___________． 14．已知函数在上最大值为，最小值为，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 16．已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 17．已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若方程在区间上有实数解，求实数的取值范围； (3)若存在，使得不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 18．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)记函数，若，存在两个相异的正实数满足，求证：． 19．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若与恰有两个交点，求的取值范围. (3)当时，，求a的取值范围. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $