第10章 数的开方（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 本卷为八年级上册数学第10章“数的开方”单元能力提升卷，通过基础概念辨析、几何直观应用与创新探究，全面考查平方根、无理数、实数与数轴关系等核心知识，适配单元复习，培养数学抽象、推理意识与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数概念、实数与数轴（如第3题正方形与数轴交点）|第7题结论辨析，考查推理意识| |填空题|5/15|平方根性质、新运算（如第12题“★”运算）|第13题圆滚动与无理数小数部分，体现几何直观| |解答题|8/75|方程求解、阅读探究（如第23题“阳光区间”新定义）|第20题四次方根探究，培养创新意识与数学语言表达|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第10章 数的开方·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是分数 C．是无理数 D．无限小数是无理数 2．已知，则实数的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 3．面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 6．下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 7．下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 8．在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知关于x、y的二元一次方程组解是，则的平方根是（   ） A．25 B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 12．在正实数范围内定义一种新运算“★”：，如：．请你运用这种计算方式计算式子：________． 13．如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 14．若一个正数的两个平方根分别是和，则是______________． 15．如果，那么__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列方程 (1) (2) 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 19．（9分）阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． ，都是有理数， ，也是有理数． 是无理数， ，， ，． 根据阅读材料，解决以下问题： 若，都是有理数，且，求的值． 20．（9分）小甘同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作． 探究性质： ①16的四次方根是__________； ②0的四次方根是__________； ③__________（填“存在”或“不存在”）； (2)巩固应用：计算：． 21．（10分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 22．（11分）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 23．（12分）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第10章 数的开方·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是分数 C．是无理数 D．无限小数是无理数 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义，平方根的定义，无理数与有理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、是无理数，而分数属于有理数，故不是分数，原说法错误，不符合题意； C、是无理数，原说法正确，符合题意； D、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误，不符合题意． 2．已知，则实数的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小估算的取值范围，即可得到结果． 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 实数的值在和之间． 3．面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积得到的长，进而得到的长，再用点表示的数加上的长即可得到点表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点所表示的数为 ． 4．如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 5．如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上表示的点可能是点． 6．下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义去计算，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、 ， ，错误． B、，错误． C、 ，， ，正确． D、 ， ，错误． 7．下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数；②存在两个不同的无理数，它们的积是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数．其中，正确的结论有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过举例验证是否成立即可． 【详解】解：①取两个不同无理数和，，差为整数，故①正确； ②取两个不同无理数和，，积为整数，故②正确； ③取两个不同非整数有理数和，，，和与商均为整数，故③正确；综上，正确的结论有3个． 8．在（每相邻两个3之间7的个数逐次加1）中，负无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先明确负无理数的定义：负无理数是小于0的无理数，再逐个判断题干中各数，统计符合条件的个数即可. 【详解】解：是正有理数，不符合要求； 开方开不尽，是无理数，且小于，因此是负无理数； 是正无理数，不符合要求； 是负分数，属于有理数，不符合要求； 是无理数，且小于，因此是负无理数； ，是负整数，属于有理数，不符合要求； （相邻两个之间的个数逐次加）是正无理数，不符合要求； 故 符合条件的负无理数共个. 9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴得出，的取值范围及大小关系，再结合不等式的基本性质判断即可． 【详解】由数轴可知：，， ，且， A、，，故A选项错误； B、， ， ，，故B选项正确； C、，，故C选项错误； D、，，故D选项错误． 10．已知关于x、y的二元一次方程组解是，则的平方根是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知解代入原方程组求出和的值，计算后，根据平方根的定义得到最终结果． 【详解】解：∵是原方程组的解， ∴将代入原方程组得： 解得，，， ， 根据平方根的定义，的平方根是． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【分析】根据算术平方根，绝对值的非负性求出，的值，通过估算无理数的大小得到的值，再计算，最后根据立方根的定义得到结果． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 12．在正实数范围内定义一种新运算“★”：，如：．请你运用这种计算方式计算式子：________． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴． 13．如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点．点对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为________． 【答案】 【分析】利用圆的周长公式计算滚动距离，确定点表示的实数，再根据无理数小数部分的定义（原数减去整数部分）进行计算即可． 【详解】 解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点开始沿数轴向右滚动一周， 点对应的数为 ， ， 的整数部分为， 这个无理数的小数部分为． 14．若一个正数的两个平方根分别是和，则是______________． 【答案】 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 15．如果，那么__________． 【答案】1 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性列出关于x，y的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：，， ∴． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得或．（4分） （2）解：， ， ， 解得．（8分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （4分） （2）解： （8分） 18．（8分）已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根与立方根的定义列二元一次方程组求出的值，再利用二次根式的估算得到的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得  ，（3分） ， ，（5分） ， （7分） 的平方根是 的平方根是．（8分） 19．（9分）阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． ，都是有理数， ，也是有理数． 是无理数， ，， ，． 根据阅读材料，解决以下问题： 若，都是有理数，且，求的值． 【答案】 【分析】仿照材料给出的方法，将原等式拆分为有理数部分和含的无理数部分，利用有理数和无理数的性质，令两部分分别等于0，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， （2分） ，都是有理数， ，都是有理数 ， 是无理数， ，（4分） 解得或，（6分） 当，时，， 当，时， ， 综上所述，的值为．（9分） 20．（9分）小甘同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作． 探究性质： ①16的四次方根是__________； ②0的四次方根是__________； ③__________（填“存在”或“不存在”）； (2)巩固应用：计算：． 【答案】(1)①；②0；③不存在 (2) 【分析】（1）①根据四次方根即可求解；②根据四次方根即可求解；③根据四次方根的定义，即可获得答案； （2）首先根据立方根的定义、四次方根的定义及绝对值的性质进行计算，然后进行进一步运算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴16的四次方根是；（1分） ②∵， ∴0的四次方根是0；（2分） ③∵， ∴不存在四次方根；（4分） （2）解：原式 ．（9分） 21．（10分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)的值为2； (3)的平方根为． 【分析】（1）根据点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，即可得到的值； （2）根据数轴得到的取值范围，去绝对值化简即可得出答案； （3）根据非负数的性质得到的值，代入求值，再求平方根得出答案． 【详解】（1）解：∵点A表示，蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为：；（2分） （2）解：由数轴可知，， ∴，，（3分） ．（6分） （3）解：与互为相反数， ，（7分） ，， 解得：，，（8分） ， 的平方根为．（10分） 22．（11分）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，从而可得，，代入所求式子，最后结合立方根的定义计算即可得出结果； （2）先将式子整理为，再结合题意求得，最后由平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，，（3分） ∴， ∴的立方根为；（5分） （2）解：∵， ∴， ∴ ∴，（7分） ∵m和n是有理数， ∴，（9分） 解得，（10分） ∵m，n是x的平方根， ∴．（11分） 23．（12分）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据“阳光区间”的定义求解即可； （2）先根据“阳光区间”的定义分别求出a的范围，再结合为正整数，确定a的值； （3）先根据，，得出，进而得出，可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的“阳光区间”为，（1分） ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为；（2分） （2）解：∵无理数（为正整数）的“阳光区间”为， ∴， ∴， （3分） ∵的“阳光区间”为， ∴，（4分） ∴，解得， ∴， （5分） 又∵为正整数， ∴或；（6分） （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，（8分） ∵，， ∴，（9分） 得， ∴， ∴的算术平方根为，（10分） ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为．（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第10章 有理数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B C C C D B B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．1 12．3 13． 14． 15． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分） 【详解】（1）解：， ， ， 解得或．（4分） （2）解：， ， ， 解得．（8分） 17．（8分） 【详解】（1）解： （4分） （2）解： （8分） 18．（8分） 【详解】解：由题意，得， 解得  ，（3分） ， ，（5分） ， （7分） 的平方根是 的平方根是．（8分） 19．（9分） 【详解】解：∵， ∴， ∴， （2分） ，都是有理数， ，都是有理数 ， 是无理数， ，（4分） 解得或，（6分） 当，时，， 当，时， ， 综上所述，的值为．（9分） 20．（9分） 【详解】（1）解：①∵， ∴16的四次方根是；（1分） ②∵， ∴0的四次方根是0；（2分） ③∵， ∴不存在四次方根；（4分） （2）解：原式 ．（9分） 21．（10分） 【详解】（1）解：∵点A表示，蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为：；（2分） （2）解：由数轴可知，， ∴，，（3分） ．（6分） （3）解：与互为相反数， ，（7分） ，， 解得：，，（8分） ， 的平方根为．（10分） 22．（11分） 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，，（3分） ∴， ∴的立方根为；（5分） （2）解：∵， ∴， ∴ ∴，（7分） ∵m和n是有理数， ∴，（9分） 解得，（10分） ∵m，n是x的平方根， ∴．（11分） 23．（12分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的“阳光区间”为，（1分） ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为；（2分） （2）解：∵无理数（为正整数）的“阳光区间”为， ∴， ∴， （3分） ∵的“阳光区间”为， ∴，（4分） ∴，解得， ∴， （5分） 又∵为正整数， ∴或；（6分） （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，（8分） ∵，， ∴，（9分） 得， ∴， ∴的算术平方根为，（10分） ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第10章数的开方·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列说法正确的是() A.V16的平方根是±4 B之是分数 c.3是无理数 D.无限小数是无理数 2.已知m=54-V6,则实数m的值应在(). A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 3.面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为-2，以A为圆心，AB长为半径画弧， 交点A右侧数轴于点E,则点E所表示的数为() A.V7 B.V7-2· c.-2-V7 D.2-V7 4.如图，直径为单位1的圆上一点A与数轴上表示-1的点重合.将该圆向右滚动一周后，点A落在数轴 上的点B处，则点B表示的实数是() B A.3.14 B.1-π C.π-1 D.π+1 5.如图，在数轴上表示20的点可能是点() P O M N 012346 A.P B.Q C.M D.N 6.下列算式中正确的是() 114 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.V0.4=0.2B.-6=±6 c.1g±3 D.-64=-8 9 7.下面有3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的差是整数：②存在两个不同的无理数，它们的积是 整数：③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数.其中，正确的结论有()个 A.0 B.1 C.2 D.3 0.3,9,,2号，8，-64,0.373737773…（每相邻两个3之何7的个数逐次加中 无理数的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.实数，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是() b -内4-3-20234> Aa+2>b+2B.号-3 a<-a C.-2a<-2b D.a-b>0 2x+my=10 10已知关于x、v的二元一次方程细x=y=7解是2月 则m+n的平方根是() A.25 B.±5 c.V5 D.±V5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.已知实数a,b满足Va-1+b+3=0,c是11的整数部分.则a的值是 ,a+b-2c的立 方根是 12.在正实数范围内定义一种新运算“★”：m★n=/2m-n,如：2★1=√2×2-1=1.请你运 用这种计算方式计算式子：18★27= 13.如图，以1个单位长度为直径的圆从原点开始，沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O. 点O对应的数是无理数，则这个无理数的小数部分为 14.若一个正数的两个平方根分别是1-k和5k+7,则k是 15.如果x-y+1+x+3y-3=0,那么x+y= 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(8分)解下列方程 214 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (四4x+3P-1=24 2吃2x-1+4=0 17.(8分)计算： (1)-3-V4+22 2)R3-2--2P+27 18.(8分)已知a-b的算术平方根是3，a-2b+1的立方根是2，c是713的整数部分，求2a+b+4c的 平方根. 19.(9分)阅读下段材料： 若a,b都是有理数，且a+V2b=3-2V2,求a,b的值. 由题意，可得a-3+V2b+2=0. .a,b都是有理数， ∴.a-3,b+2也是有理数 .V2是无理数， .a-3=0,b+2=0, .∴.a=3,b=-2 根据阅读材料，解决以下问题： 若x,y都是有理数，且x2+2y+V7y=10+3V7,求x'的值. 20.(9分)小甘同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容， ±14=1’±24=16 (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果X=aa≥0那么这个数x叫做。的四次方根，记作x=±a 探究性质： ①16的四次方根是 ②0的四次方根是 ③A-81 (填“存在”或“不存在”)： 314 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)巩固应用：计算：3-8+256×-33 21.(10分)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示-2，设点B所表 示的数为. A B -2-1012 (1)实数m的值是 2)求m+1+刊m-1的值： (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d,且有2c+4与Vd-4互为相反数，求2c+3d的平方根. 22.(11分)有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，aπ+3+b=0,则 a=0,b=0.已知m和n是有理数， (1)若m-2×V6+n-4=0,试求出mn的立方根： ②)若2+5m-1-5n=6:其中m'n是x的平方根，求x的值. 23.(12分)阅读下面的文字，解答问题 新定义：若无理数T的被开方数T‘T为正整数)满足7<T<n+1(其中n为正整数)，则称无理数 T的“阳光区间”为n,n+1:同理规定无理数-T的“阳光区间”为-n-1,-nl.例如：因为 1<2<2,所以1<2<2，所以2的“阳光区间”为1,2，-只2的“阳光区间”为-2，-1： 请解答下列问题： 115的“阳光区间”是一：-23的“阳光区间”是 (2)若无理数-ā(a为正整数)的“阳光区间”为-3，-2，√a+3的“阳光区间”为3,4，求a的值： (3)实数x,y,m满足关系式：V2x+3y-m+只V3x+4y-2m=Vx+y-2026+只V2026-x-y,求m的 算术平方根的“阳光区间”. 4/4