3.3 相似三角形判定定理的证明 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“平行线分线段成比例及其推论”展开，以“分绳子”实际问题导入，通过折叠与作平行线两种方法关联旧知，搭建从具体操作到抽象定理的学习支架，引导学生逐步理解核心知识点。 其亮点在于用数学眼光观察生活（分绳子问题抽象出比例关系），通过方格纸计算、直线平移验证等探究活动培养数学思维（推理与抽象），结合几何语言规范表达。例题与检测题层次分明，助力学生掌握定理应用，教师可借助连贯的探究与小结环节提升教学效率。

第三章 图形的相似 3 相似三角形判定定理的证明 第2课时 相似三角形判定定理的证明 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 1.观察并思考,用叠合法证明这两个风筝图形（风筝中的三角形）相似. 2.回答下列问题. 问题1:相似三角形的定义是什么? 问题2:相似三角形的判定方法有哪些? 知识关联 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形 （1）两角分别相等的两个三角形相似； （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （3）三边成比例的两个三角形相似. 【探究1】 两角分别相等的两个三角形相似. 探究与应用 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E, 则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,=(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). 过点D作AC的平行线,交BC于点F, 则=(平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例). ∴=. 如何能把△A'B'C'叠合到△ABC上呢? 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:引导学生构造全等三角形,并利用三边成比例、三个角分别相等的两个三角形相似进行证明. 【探究1】 两角分别相等的两个三角形相似. 探究与应用 ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴=. ∴==. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC（相似三角形的定义）. ∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B',AD=A'B', ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B'. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 【探究3】 三边成比例的两个三角形相似. 探究与应用 证明:在△ABC的边AB,AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE. ∵=,AD=A'B',AE=A'C', ∴=. 而∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴=. 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,==. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 又=,AD=A'B', ∴=.∴=. ∴DE=B'C'. ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 【探究2】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 探究与应用 证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线,交AC于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴=. ∵=,AD=A'B', ∴=. 已知:如图,在△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',=. 求证:△ABC∽△A'B'C'. ∴∴AE=A'C'. 而∠A=∠A',∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 韵 (authorId_273335559) - 　处理方式:类比探究1的证明思路,独立完成解题过程. 探究与应用 【概括新知】 相似三角形的判定定理: 1.两角分别相等的两个三角形相似. 2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 3.三边成比例的两个三角形相似. 【理解应用】 探究与应用 例 如图,D是△ABC的边AC上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C, AB=6,AD=4,求线段CD的长. 解:在△ABD和△ACB中,∠ABD=∠C,∠A=∠A, ∴△ABD∽△ACB, ∴=. ∵AB=6,AD=4, ∴AC===9, ∴CD=AC-AD=9-4=5. 【理解应用】 探究与应用 变式 已知:如图,在四边形ABCD中,∠B=∠ACD,AB=6,BC=4,AC=5, CD=7,求AD的长. 解:∵AB=6,BC=4,AC=5,CD=7, ∴==. 又∵∠B=∠ACD, ∴△ABC∽△DCA, ∴=,∴AD=. 【拓展提升】 探究与应用 如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,E为边AD上一点,ED=1 cm,连接BE.点P从点B出发,沿BE方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为1 cm/s.设运动时间为t s(0<t<5). (1)用含t的代数式表示:BP= cm,BQ= cm;  (2)连接PQ,若存在某一时刻,使得以P,Q,B为顶点的三角形与△ABE相似,请求出此时t的值. t (5-t) 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：会运用三角形相似的条件判断两个三角形相似,并会运用三角形相似解决问题. 【拓展提升】 探究与应用 解：（2）当∠BPQ=90°=∠A时，△BPQ∽△EAB， ∴，即=，解得t=; 当∠PQB=90°=∠A时，△BPQ∽△EBA， ∴=，即=，解得t=. 综上所述，当t=或t=时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似． 如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,E为边AD上一点,ED=1 cm,连接BE.点P从点B出发,沿BE方向匀速运动,速度为1 cm/s;同时,点Q从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为1 cm/s.设运动时间为t s(0<t<5). (2)连接PQ,若存在某一时刻,使得以P,Q,B为顶点的三角形与△ABE相似,请求出此时t的值. 【小结】 课堂小结与检测 相似三角形判定定理的证明 定理的运用 定理证明 定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 【达标检测】 1.如图1,∠E=∠C,下列哪个补充条件不能使△ABC∽△ADE (　　) A.∠B=∠ADE　　　　　B.∠BAD=∠CAE C.=　　　　　　　 D.= 2.如图2,在▱ABCD中,O是边CD上一点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E.若CO=2OD,BC=6,则BE的长为 (　　) A.9　　　　B.12　　　　C.15　　　　D.18 3.如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,矩形DEFG的顶点G,F分别在AC,BC上,DE在边AB上.若AG=5,AD=4,则BE的长为　　　　 .  图1 图2 图3 课堂小结与检测 C D 4.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ADC=∠ACB=90°. (1)求证:AC2=AB·AD; (2)若BC=3,AB=5,求CD的长. 课堂小结与检测 解：（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠CAB. ∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB. ∴=， ∴AC2=AB•AD. 【达标检测】 （2）∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5， ∴AC===4. 由（1）知：AC2=AB•AD， ∴AD===. ∵∠ADC=90°， ∴CD===． $第三章 图形的相似 3 相似三角形判定定理的证明 第1课时 平行线分线段成比例及其推论 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 这里有一根绳子,不通过测量,你能否快速地将这根绳子分成两部分,并且使这两部分的比是2∶3? 知识关联 只要一组平行线就可以把绳子分成2∶3的两部分 解：方法1: 把绳子折成5 等份（反复调整弯折，让 5 段一样长），在第 2 段末尾做记号，展开就是 2:3. 方法2: 如图.把要分的绳子记作线段AB ，放在平面上；从端点A出发，任意画一条射线AP （不和AB重合）；在射线AP上依次截取相等的5份；连接最后一个分点M和点B，得到线段MB；过射线上面的第2个分点D，作MB的平行线，交绳子AB于点C. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生畅所欲言,发表自己的看法,对于合理的作法教师要给予肯定. 【探究1】平行线分线段成比例 探究与应用 (1)在图中,方格纸中每个小方格的边长均为1,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于格点A1,A2,A3,B1,B2,B3.计算与,与,与的值,你有什么发现? 上述几组比值分别相等.所以在这个图形中我们得到了三组成比例线段. 【探究1】平行线分线段成比例 探究与应用 成立 (2)将上图中的直线l2向下平移到下图所示的位置,你在(1)中发现的结论还成立吗?如果将直线l2平移到其他位置呢? (3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗? 成比例，引出本课主题. 韵 (authorId_273335559) - 　处理方式:以小组为单位,进一步验证(1)中提到的线段中是否有成比例线段,并通过结论猜想改变其他两条平行线的位置结论是否还成立.如果没有方格纸的辅助,进一步归纳出平行线分线段成比例这个基本事实. 【探究1】平行线分线段成比例 探究与应用 【概括新知】 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 几何语言: 如图,∵a∥b∥c, ∴=,=,=. 　 ↓　 ↓　 ↓ 　=== 这是基本事实哦！ 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:平行线分线段成比例是一个定理,由于初中阶段无法证明,所以这里作为一个基本事实,无须证明,课堂上教师可以向学生讲清楚.学生需要掌握的还是几何语言,为了便于学生理解,可以用“上、下、全”等文字来替代. 【理解应用】 探究与应用 例 如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截.如果AB=3,BC=5,EF=4,求DE的长. 解:∵l1∥l2∥l3, ∴=. ∵AB=3,BC=5,EF=4, ∴=, 解得DE=. 【探究2】平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例. 探究与应用 【观察·思考】 如图1,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3,过点A1作直线n的平行线,分别交直线b,c于点C2,C3(如图2),图2中有哪些成比例线段? 图1 图2 成比例线段有:=,=,=. 问题1:上面三组成比例线段你是如何得到的? 问题2:这些成比例线段来自什么图形?如果把这个图形单独拿出来,这些成比例线段还成立吗? 韵 (authorId_273335559) - 　处理方式:让学生回答问题1,师生共同总结.利用图2中出现的平行四边形,替换图1中的成比例线段就可以得到上面的结论.问题2可以让学生大胆猜想,将△A1A3C3单独拿出来,这些成比例线段依然成立. 【探究2】平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例. 探究与应用 【概括新知】 平行线分线段成比例的推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例. 几何语言: 如图,∵DE∥BC, ∴=,=,=. 　 ↓　 ↓　 ↓ 　=== 【理解应用】 探究与应用 例 如图,在△ABC中,E,F分别是边AB和AC上的点,且EF∥BC. (1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少? (2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少? 解:(1)∵EF∥BC, ∴=（平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例）. ∴AF===. (2)∵EF∥BC, ∴=（平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例）. ∴AC===. ∴FC=AC-AF=-5=. 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生分析要想求出（1）（2）题中线段的长,需要选用什么类型的成比例线段,然后由教师板书解题过程,学生通过观察教师的板书,掌握此类题目解题的基本步骤. 【小结】 课堂小结与检测 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ◑推论 平行于三角形一边的直线与其他两边 相交，截得的对应线段成比例 ◑基本事实 平行线分线段成比例 【达标检测】 1.如图1,△ABC中,DE∥BC,AD=5,BD=10,AE=3,则CE的长为 (　　) A.9　　　　B.6　　　　C.3　　　　D.4 2.如图2,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是 (　　) A.= B.= C.= D.= 3.如图3,已知在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC, EF∥AB,且AD∶BD=3∶5,那么CF∶BC等于 (　　) A.5∶8 B.3∶8　　　C.3∶5 D.2∶5 图1 图2 图3 课堂小结与检测 B A A 4.如图,两条直线被三条平行线所截. (1)在图①中,AB=5,BC=7,EF=4,求DE的长; (2)在图②中,DE=6,EF=7,AB=5,求AC的长. 课堂小结与检测 解：（1）如图①， ∵AD∥BE∥CF， ∴=，即=， ∴DE=. （2）如图②，∵AD∥BE∥CF， ∴=，即=， ∴BC=. ∴AC=AB+BC=5+=． 【达标检测】 5.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB和BC上的点,且DE∥AC, =,=,求. 课堂小结与检测 解：∵ =， ∴ ==. ∵DE//AC. ∴==. ∴=+1=． 【达标检测】 $