3.3　相似三角形判定定理的证明 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明，核心内容涵盖平行线分线段成比例定理及其推论。课堂从梯子情境引入，通过网格图引导学生发现定理，再过渡到三角形中的推论，最终构建相似三角形判定定理的证明路径，形成从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例和网格图培养数学眼光，通过构造辅助线证明定理发展数学思维，结合例题、跟踪训练提升数学语言表达。采用问题驱动和实例分析，帮助学生提升逻辑推理能力，为教师提供系统教学资源和清晰教学路径。

第三章　图形的相似 3.3　相似三角形判定定理的证明 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.理解平行线分线段成比例定理及其推论，能利用该定理及其推论进行推理和计算.(重点) 2.会证明相似三角形判定定理.(难点) 3.能综合运用相似三角形的判定定理进行推理或计算，并在解题过程中提高逻辑推理能力. 情境引入 梯子是我们生活中常见的工具. 如图是一个梯子的简图，经测量，AB=BC=CD，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，那么A1B1和B1C1相等吗？ 一、 平行线分线段成比例定理 问题　在图中，小方格的边长均为1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m，n于格点A1，A2，A3，B1，B2，B3. 提示　====； ====； ====. 发现：===. (1)计算与与与的值，你有什么发现？ (2)将l2向下平移到如图的位置，直线m，n与l2的交点分别为A2，B2，你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将l2平移到其他位置呢？ 提示　成立；成立. 知识梳理 基本事实 符号表示 两条直线被一组平行线所截，所得的__________成比例   如图，已知直线l1，l2被平行线l3，l4，l5所截，交点依次为A，B，C，D，E，F，那么=== 对应线段 例1　如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F.若AB∶BC=3∶4，DF=12，求EF的长. 解　∵a∥b∥c， ∴=， ∵AB∶BC=3∶4，DF=12， ∴=， ∴EF=. 反思感悟 对于此类问题，容易出现的错误是列出的比例式中的线段不是对应线段，为此按照各线段的位置，可简记为上比全=上比全，上比下=上比下，下比全=下比全. 跟踪训练1　(1)如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A，D，F和点B，C，E，则DF的对应线段是 A.AB B.BC C.CE D.BD √ (2)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在五线谱的横线上，若线段AB=4，则线段BC的长是 A.2 B.4 C.1 D. √ 解析　如图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于点D，交点C所在的平行横线于点E， 则=，即=， 解得BC=2. 二、 平行线分线段成比例定理的推论 知识梳理 推论 符号表示 于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的_________成比例   如图，在△ABC中，如果直线EF∥ BC，分别交AB于点E，AC于点F，那么=== 平行 对应线段 例2　(课本P78例题)如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (1)如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ 解　∵EF∥BC， ∴=. ∵AE=7，EB=5，FC=4， ∴AF===. 例2　(课本P78例题)如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC. (2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ 解　∵EF∥BC， ∴=. ∵AB=10，AE=6，AF=5， ∴AC===. ∴FC=AC-AF=-5=. 跟踪训练2　如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB=1∶3，AE=3. (1)求CE的值； 解　∵DE∥BC， ∴=， 又=，AE=3， ∴=，解得AC=9， ∴EC=AC-AE=9-3=6. 跟踪训练2　如图，DE∥BC，EF∥CG，AD∶AB=1∶3，AE=3. (2)求证：AD·AG=AF·AB. 证明　∵DE∥BC，EF∥CG， ∴==， ∴AD·AG=AF·AB. 三、 相似三角形判定定理的证明 例3　(1)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明　如图，在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠ADE=∠B，∠AED=∠C，=(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则=(平行于三角形一边的直线与其他两边 相交，截得的对应线段成比例). 例3　(1)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明　∴=. ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE=CF， ∴=， ∴==. 例3　(1)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B =∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明　而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，AD=A'B'， ∴△ADE≌△A'B'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'. (2)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，=. 求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明　如图，在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B=∠ADE，∠C=∠AED， ∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴=. ∵=，AD=A'B'， (2)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，=. 求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明　∴=，∴=， ∴AE=A'C'. 而∠A=∠A'， ∴△ADE≌△A'B'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'. (3)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，==. 求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明　如图，在线段AB(或它的延长线)上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴==， 又∵==，AD=A'B'， (3)已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，==. 求证：△ABC∽△A'B'C'. 证明　∴==， ∴DE=B'C'，AE=A'C'， ∴△ADE≌△A'B'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'. 反思感悟 相似三角形判定定理的证明，其思路为在一个三角形中，构造一个与另一个三角形全等的三角形，证明构造的三角形与第一个三角形相似，从而证明这两个三角形相似. 跟踪训练3　(1)如图，=，下列添加的条件不能使△ABC∽△ADE的是 A.∠BAD=∠CAE B.= C.= D.∠ABD=∠ADE √ 解析　A项，∵=，∴=，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，故该选项不符合题意； B项，∵=，∴=，∵=，∴=，∴==， ∴△ABC∽△ADE，故该选项不符合题意； C项，∵=，∴=，∵=，∴==，∴△ABD∽△ACE， ∴∠BAD=∠CAE，理由同A选项，故该选项不符合题意； D项，由=，∠ABD=∠ADE，不能证明两三角形相似，故该选项符合题意. (2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是CB上一点，ED⊥AB于点D，若BC=10，AC=6，DE=4，求图中阴影部分的面积. 解　∵∠ACB=90°，ED⊥AB于点D， ∴∠ACB=∠EDB=90°， ∵∠B=∠B， ∴△ABC∽△EBD(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴=， ∵BC=10，AC=6，DE=4， (2)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是CB上一点，ED⊥AB于点D，若BC=10，AC=6，DE=4，求图中阴影部分的面积. 解　∴=， ∴BD=， ∴S△ABC=AC·BC=×6×10=30， S△EBD=DE·BD=×4×=. ∴阴影部分的面积为S△ABC-S△EBD=30-=. (3)如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，==. ①求证：∠BAD=∠CAE； 证明　∵==， ∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC=∠DAE. ∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF，即∠BAD=∠CAE. (3)如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，==. ②若∠BAD=21°，求∠EBC的度数； 解　∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC=∠ADE. ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ADE=∠ABE+∠BAD， ∴∠EBC=∠BAD=21°. (3)如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，==. ③连接EC，求证：△ABD∽△ACE. 证明　由①得∠BAD=∠CAE. ∵=， ∴=， ∴△ABD∽△ACE. 课堂小结 1.如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是 A.= B.= C.= D.= 随堂演练 √ 解析　∵AB∥CD，∴=，故A正确，不符合题意； ∵AB∥CD∥EF，∴=，故B正确，不符合题意； ∵CD∥EF，∴=，故C错误，符合题意； ∵AB∥CD∥EF，∴=，故D正确，不符合题意. 2.如图，在△ABC中，DE∥AB，=，则的值为 A. B. C. D. 随堂演练 √ 解析　∵=，∴=， ∵DE∥AB， ∴==. 3.如图，直线AE，BF交于点O，AB∥CD∥EF. 若OA=1，AC=2，CE=4.则的值为　　.  随堂演练 解析　∵CD∥EF，∴=， 又∵OA=1，AC=2，CE=4， ∴OC=OA+AC=1+2=3， ∴=. 4.如图，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，则BD长为　　.  随堂演练 3 解析　∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD，∴=， ∵AD=1，AC=2，∴=， ∴AB=4， ∴BD=AB-AD=4-1=3. 5.如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，BE交AD于点G，连接DF，则=　　.  随堂演练 解析　∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点， ∵EF=FC=AE，∴点F是EC的中点，点E是AF的中点， ∴DF是△CEB的中位线，∴DF∥BE，BE=2DF， ∴GE是△ADF的中位线，∴=， 设GE=x，则DF=2x，BE=4x，∴BG=3x，∴=. 谢谢观看 $