暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间距离向量求法，以点面、点线距离及逆向求值为核心，通过分层典例构建从基础到应用的系统性训练，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到平面距离|例3+变式3|结合多面体、棱柱等几何体，需建系求法向量|从定义出发，通过法向量构建距离公式，体现向量工具的直接应用| |点到直线距离|例3+变式3|涉及翻折、动点等情境，需用向量投影求距离|基于向量数量积，延伸至异面直线距离，强化空间位置关系转化| |已知距离求其他量|例3+变式3|含动点存在性问题，需列方程求解参数|逆向应用距离公式，深化方程思想，体现知识的迁移与综合应用|

暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 考点目录 点到平面距离的向量求法 点到直线距离的向量求法 已知点到平面距离求其他量问题 考点一 点到平面距离的向量求法 例1．（25-26高三下·山东青岛·阶段检测）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【详解】（1）因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 例2．（25-26高二下·北京昌平·开学考试）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明： 如图，连接，设，连接． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． (2) 【详解】（1）略； （2）因为，， 又，平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设平面的法向量为，则即， 令，则，于是． 所以点到平面的距离． 例3．（25-26高二上·北京延庆·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点．    (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出的坐标和平面法向量的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出与平面所成角的正弦值. （2）求出平面的一个法向量坐标，结合（1）中求出的平面的法向量的坐标，根据向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值. （3）先求出的坐标，然后根据点到平面的距离公式求出结果即可. 【详解】（1）如图，在棱长为2的正方体中， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的一个法向量为，则， 所以有，令，则，所以. 所以与平面所成角的正弦值为 . （2）由（1）可知，平面的法向量为. 而平面的一个法向量为， 所以二面角的余弦值为 . （3）因为，所以. 由（1）知平面的法向量为， 所以点到平面的距离为 .    变式1．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由异面直线夹角余弦公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用相关公式求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，． 又因为，， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）知，，，． 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，．所以平面的一个法向量为． 所以点到平面的距离为． 变式2．（25-26高二上·山东枣庄·期末）如图，在长方体中，是AB的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； （2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 变式3．（25-26高二上·山东济南·期末）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，平面为PA的中点． (1)证明：； (2)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值； (3)求点到平面BDE的距离． 【答案】(1) 因为平面，平面，所以，， 又因为是正方形，所以， 以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系如图， 则，，，，，， ，，， 所以. (2) (3) 【分析】（1）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量关系证明 （2）分别求出平面BDE与平面ABCD的一个法向量，利用向量夹角公式求解即可； （3）利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，， 则，令，得：，即， 易知平面的法向量为， 所以， 所以取绝对值得平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）知，平面的法向量为， 点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 考点二 点到直线距离的向量求法 例1．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，在正四棱柱中，． (1)求点到直线的距离； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，根据点到直线距离向量法计算求解； （2）根据面面角向量法计算求解. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 由，得， 所以， 所以点到直线的距离为； （2）， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为，所以， 即二面角的正弦值为. 例2．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平行四边形中，，将沿对角线BD翻折至面，且，E为线段上的点．    (1)证明：面； (2)若锐二面角的正切值为，求点E到直线的距离． 【答案】(1) 在平行四边形中，，， 则， 因为，所以，即， 又因为，，所以面， 由于面，所以，     又因为，，所以面. (2) 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）在平面内，过作的垂线，建立如图所示空间直角坐标系，    平行四边形中，由，，，有， 则． 点在线段上，设，， 则， 设面的法向量为，则 ，令，则， 易知面的法向量为， 设锐二面角的平面角为，由，得． 所以， 得或（舍）． 所以，设到直线的距离为， 则． 故点到直线的距离为. 例3．（24-25高二上·北京延庆·阶段检测）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求到直线的距离； 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关系. （2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个平面夹角的余弦值. （3）求出，，再求出两向量夹角正弦值，最后乘以即可. 【详解】（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面EFD的法向量为， 则令，则． 又因为，所以，即， 由平面，得平面． （2）设平面与平面的夹角为θ， 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为． （3），， 则， 则求到直线的距离为. 变式1．（25-26高三上·辽宁大连·阶段检测）在四棱锥中，底面是正方形，平面，点分别为和中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据底面是正方形，平面，建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角求解。 （2）根据直线的一个方向向量，结合,||=，由求解. 【详解】（1）因为在四棱锥中，底面是正方形，平面， 所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则,, ∴，，. 设平面的法向量为， 则， 令，则 设直线与平面所成角为， 则， ∴直线与平面所成角的正弦值为. （2）因为，所以直线的一个方向向量. 又，||=， 所以点到直线的距离==. 变式2．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点    (1)求与所成角的余弦值； (2)点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再写出和的坐标，利用向量夹角余弦值公式即可； （2）先写出和的坐标，再求这两个向量夹角的余弦值，进而可以求出该角的正弦值即可求出. 【详解】（1）由题意得，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.   正方体的棱长为1，，，分别是，，的中点 、、、，，， ，，， 则， 与所成角的余弦值为. （2）由（1）可得，、，、， ，， 设点到直线的距离为，，解得， 点到直线的距离为. 变式3．（2025·天津滨海新区·三模）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 【答案】(1)因为平面，平面， 所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由条件可知四边形是正方形，所以， ，且平面， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明和，即可证明； （2）根据（1）的结果，分别求平面和平面的法向量，利用法向量求平面夹角的余弦值； （3）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2） 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，， 由（1）可知，平面的法向量可为， ，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面CDE与平面ABE的夹角为， 所以； （3）, 所以点到直线的距离. 考点三 已知点到平面距离求其他量问题 例1．（25-26高二上·山东济宁·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中，为的中点，为上的动点． (1)求证：平面； (2)当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当到平面的距离为时，与平面的交点为，求的长． 【答案】(1) 由已知，以 D为原点，DA、DC、DP 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 各点坐标为：, 向量, ，所以， ，所以， 因为，且平面， 所以平面. (2)； (3). 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，向量法证明，，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）求出两个平面的法向量，再利用向量的夹角公式求二面角的余弦值； （3）设先根据点到平面的距离求出参数t，确定平面的法向量，再利用线面交点的性质求出交点坐标，最后计算线段长度. 【详解】（1）略 （2）当 F 为 PC 中点时，， 则， 设平面的法向量为， 则，令 ，得到， 由（1）知平面， 所以取平面的法向量； 设平面与平面夹角为 ， 则. （3）因为为上的动点，所以设， 所以，， 平面的法向量为， 则，令，则. 因为到平面的距离为， 所以， 化简得到，解得或（舍去）， 所以，， 设 ，令 ， 则 ，所以， 即， 所以，即， 化简得到，所以， 所以. 例2．（25-26高三上·山东青岛·阶段检测）在四棱锥中，平面，是中点． (1)求证：平面； (2)若， ①求平面与平面夹角的正弦值； ②若在线段上存在点，使得点到平面的距离为，试求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面及平面的法向量，利用向量法可得夹角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，求平面的法向量，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1） 取中点，为中点， ，且， 又，， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； （2） ①    平面，且， 则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， ， 设平面与平面所成角为，则，即 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点满足题意， 易知，， 若存在点满足题意，设，， ，即， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 例3．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图，三棱柱的侧面为菱形，平面平面，，. (1)证明：； (2)点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 取的中点，连接，不妨设， 因为四边形为菱形，所以， 则，得到三角形是等边三角形，， 面，因为平面平面，所以平面， 而，可得，作， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 设，由题意得，，，， 则，，， 因为，所以，可得，解得， 而，得到，化简得， 解得（负根舍去），故， 而，得到，故. (2) 【分析】（1）先判断需证明的结论和的具体长度无关，再设出具体边长，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）设，可得，， ，，同理可求， 则，，， 设平面的法向量， 可得，令，解得，， 得到，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 因为点到平面的距离为，所以，解得， 此时，，，， 可得，， 设面的法向量为， 可得，令，解得，， 得到，设直线与平面所成角为， 可得. 变式1．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面， 平面，故 平面. (2) (3)存在； 【分析】（1）在上取点，使，通过证明是平行四边形，有，平面， 平面，故 平面； （2）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，先求出平面 的法向量，与平面 所成角的正弦值，就是的方向向量与平面 的法向量夹角的余弦值，通过夹角余弦值公式即可求解. （3）由题意可设，再使用点到平面距离公式，即点到平面 的距离即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求. 【详解】（1）略 （2）由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则， ， 设平面 的法向量，则有， 令，则，即，直线的方向向量为， 设直线与平面 的夹角为，则有 ， 故直线与平面 所成角的正弦值为. （3）已知，平面 的法向量，且， 设是线段上一点，由可设， 则， 点到平面 的距离， 令，解得（舍）或，故存在满足条件的点， 则，故线段长. 变式2．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 连接交于，连接. 因为四边形为正方形，、为对角线且交于点，所以为中点. 又为的中点，所以为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. (2) (3) 假设棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设. 因为，，所以，则 . 又，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，，所以. 则点到平面的距离为， 整理得，即，解得或（舍去）. 所以棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可. （3）设，求出及平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）取中点，中点，连接、. 因为为等边三角形，所以，，. 因为四边形为正方形，、为中点，所以，. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 因此以点为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 因为为中点，所以， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）略 变式3．（25-26高二上·北京通州·阶段检测）如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，则． 【分析】（1）先证得，再由侧面底面证得平面即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式求得余弦，再计算正弦即可； （3）设出点，由点面距离的向量求法解出即可求出的值. 【详解】（1），为的中点，，侧面底面，侧面底面， 平面，平面； （2） 底面为直角梯形，其中，，，，又平面， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 易得平面的法向量，，， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面与平面所成角为， 则，故平面与平面所成角的余弦值为； （3）设线段上存在，使得它到平面的距离为，， 到平面的距离，解得或(舍去)，则，则． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 考点一 点到平面距离的向量求法 考点目录 点到平面距离的向量求法 点到直线距离的向量求法 已知点到平面距离求其他量问题 例1.(2526高三下山东青岛阶段检测)如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形 4BCD为直角梯形，四边形1BEF为平行四边形，AD1/BC,ABL BC,AB=AD=)BC=2,AF=V2BF=2V2 B (1)证明：CD⊥BF: (2)若点M是CE中点，求点M到平面BDE的距离. 例2.(25-26高二下北京昌平开学考试)如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧面AACC为正方形，AB LAC, AB=AC=2,D为BC的中点. 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 A C B BL- 少求证：4C∥平面 ABD (②若1C1B,求点8到平面D1的距瑞. DAB 2 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 例3.(25-26高二上北京延庆期末)如图，在棱长为2的正方体 BCD-AB,GD中，点E是MB的中点， D A B 边 B AE (1)求与平面 ED 所成角的正弦值： C-BD-E (2)求二面角 的余弦值： ED 3)求点C到平面 的距离 变式1.(25-26高二上北京西城期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,四边形ABCD为梯形， AD1IBC,∠BAD=90°，且PA=AD=CD=AC=1. A D B (I)求异面直线PC与AB所成角的余弦值； (2)求点A到平面PCD的距离. 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 ABCD-A B,C D AB=4,BC=3,CC=2,E 变式2.(25-26高二上山东枣庄期末)如图，在长方体 中， 是AB的 中点 D B B BC// CA (1)求证： 平面 ②求点9到平面1 ECA 的距离 变式3.(25-26高二上：山东济南期末)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD, PD=AD=4,E 为PA的中点 E (I)证明：AB⊥DE; (2)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值； (3)求点P到平面BDE的距离. 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 考点二 点到直线距离的向量求法 例1.(2026山东潍坊模拟预测)如图，在正四棱柱 BCD-4BCD中，MM=2AB=2CE=2Ec D B A ()求点到直线4E的距离： A-DE-A (2)求二面角 的正弦值 例2.(25-26高二上浙江杭州期末)己知平行四边形BCD中，1B1BD,4B=1AD=V5 将ABD沿对角线 BD翻折至面4BD,且4C=6,B为线段4C上的点. D (1)证明： CD⊥ABD 面 (2)若锐二面角E-BD-A的正切值为2，求点E到直线BD的距离. 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 例3.(2425高二上北京延庆阶段检测)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD, PD=AD=3,点E,F分别是棱PA,PC的中点 E A B (I)求证：PB⊥平面EFD: (2②)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值： (3)求F到直线PA的距离： 变式1.(25-26高三上·辽宁大连阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面 ABCD,PD=AD=2 E,F 2,点，F分别为B和P”中点 p D E (I)求直线AF与平面PBC所成角的正弦值； (2)求点F到直线EC的距离. 6 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 BCD-ABCD中，E,F,G分别是D0, DD 变式2.(25-26高二上内蒙古包头阶段检测)在棱长为1的正方体 BD BB 的中点 D C A B E D B (I)求EF与CG所成角的余弦值； BD (2点G到直线D 的距离 变式3.(2025·天津滨海新区·三模)如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥CD, EG1/AD,EG=AD=DC=DG=2BC=2,CDIIFG,DG⊥平面ABCD. G (1)证明：AG⊥平面CDE: (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离. 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 考点三 已知点到平面距离求其他量问题 例1.(25-26高二上山东济宁·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形， 其中AB II CD,AD⊥AB,AD=PD=CD=2,AB=1,E为PA的中点，F为PC上的动点. F B (I)求证：DE⊥平面PAB: (2)当F为PC的中点时，求平面BEF与平面PAB夹角的余弦值： (3)当A到平面DEF的距离为3时，PB与平面DEF的交点为G,求BG的长， 例2.(25-26高三上山东青岛·阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD1/BC,PA=2,AB=1, BC=1,AD=2,M是PD中点. M B (I)求证：CM1I平面PAB: (2)若AB⊥AD, ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： BO ②若在线段BD上存在点Q,使得点D到平面PAQ的距离为√2，试求BD的值. 8 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 ABC-ABC A ABB 例3.(25-26高二上山东青岛期中)如图，三棱柱 的侧面 为菱形，平面 平面ABC AABB⊥ ∠BAC=90°AB=AC=AB B B AB⊥BC (1)证明： 2)点“到平面44CC。 B AB C 的距离为 5，求直线从与平面 所成角的正弦值 变式1.(25-26高二上北京昌平期末)如图，ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD,AF1IDE,且 DE=3AF=3. D B (1)证明：BF1I平面DEC: (2)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值. 5V21 (3)线段AC上是否存在一点P,使得点P到平面BEF的距离为21？若存在，求线段AP的长：若不存在，请说 明理由 9 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 变式2.(25-26高三下·北京阶段检测)如图，在三棱 ABC-AB,C中，四边形 CCA 为正方形，△AB 为等 边三角形，平面 CCA平面4BC,AB=2,D为BC的中点. B AB/I ADC (1)求证： 平面 CD ABBA (2)求直线 与平面 所成角的正弦值： 4v5 4,M (3)在棱AA上是否存在一点M,使得点M到平面ADC的距离为15？若存在，求AA的值：若不存在，说明理 由 变式3.(25-26高二上·北京通州·阶段检测)如图在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱 PA=PD=√2 ABCD 底面 P为直角梯形，其中BCM1D,MB⊥MD,MD=2MB=2BC=2,0为4D的中点 D B C (I)求证PO⊥平面ABCD: (2)求平面PCD与平面PAD所成角的余弦值； 10 暑假预习：空间距离问题的向量求法3种高频考点专项训练 5 AQ (3)线段AD上是否存在，使得它到平面PCD的距离为2？若存在，求出QD的值：若不存在，说明理由. 11