期末复习专题16 空间几何体中夹角与距离的问题专项训练【6大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦空间几何体夹角与距离，以几何法为核心，按线线、线面、面面关系递进，覆盖选择、填空、解答等题型，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何法求异面线线夹角|6题（含多选）|正方体、三棱锥等模型，求夹角大小或余弦值|从线线位置关系切入，通过平移转化为平面角| |几何法求线面夹角|4题|长方体、翻折问题等，涉及证明与角的计算|线面垂直判定为基础，利用射影转化线面角| |几何法求面面夹角|5题|菱形翻折、四棱锥等，含二面角的证明与计算|依托面面垂直性质，构造二面角的平面角| |求异面直线的距离|5题|正四面体、正方体等，含公垂线段证明|通过定义或转化为点面距离求解| |几何法求点到面距离|5题（含多选）|圆柱、三棱锥等，结合体积法与垂直关系|利用等体积法或直接构造垂线段| |几何法求线面、面面距离|5题|长方体、平行平面等，涉及距离转化|线面距离转化为点面距离，面面距离为公垂线段长|

专题16 空间几何体中夹角与距离的问题 考点一 几何法求异面线线夹角 考点二 几何法求线面夹角的问题 考点三 几何法求面面夹角(二面角)的问题 考点四 求异面直线的距离 考点五 几何法求点到面距离的问题 考点六 几何法求线到面、面到面距离的问题 考点一 几何法求异面线线夹角 1．在正方体中，异面直线，所成角的大小为（　　）    A． B． C． D． 2．在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 3．（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4．在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 5．在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 6．在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（   ）. A． B． C． D． 考点二 几何法求线面夹角的问题 7．在长方体中，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 8．在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）． (1)求证：； (2)求和平面所成角的余弦值． 9．已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（     ）． A． B． C． D． 10．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 考点三 几何法求面面夹角(二面角)的问题 11．在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 12．已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，如图所示． (1)求证：平面； (2)若翻折后当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值． 13．如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 14．如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. (1)证明：； (2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 考点四 求异面直线的距离 16．正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 17．如图，设正方体的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： (1)与； (2)与． 18．如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 19．S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 20．在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 考点五 几何法求点到面距离的问题 21．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 22．在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 23．（多选）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱中点，点为与交点，则下列命题正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．平面 D．点到平面的距离为 24．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 25．如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求： (1)的值； (2)点到面的距离. 考点六 几何法求线到面、面到面距离的问题 26．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 27．（多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 28．若两个平行平面之间的距离为6，一条直线与这两个平面分别交于A，B两点，线段AB与其中一个平面所成角为，则AB的长度为____________. 29．如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 30．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．如图，在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（     ）    A． B． C． D． 2．在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 3．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 6．在正三棱锥中，侧面的面积为底面的面积的，则二面角的正切值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（   ） A． B． C．4 D． 8．（多选）在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面ABC所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（   ） A．正三棱台的高为 B．正三棱台的体积为 C．AD与平面ABC所成角的正切值为1 D．正三棱台的表面积为 9．（多选）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 10．（多选）如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（   ） A．面 B． C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为 11．三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 12．已知，分别是棱长为的正方体的棱，的中点，为面的中心，则到平面的距离为________，四棱锥的体积为________． 13．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 14．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 15．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 空间几何体中夹角与距离的问题 考点一 几何法求异面线线夹角 考点二 几何法求线面夹角的问题 考点三 几何法求面面夹角(二面角)的问题 考点四 求异面直线的距离 考点五 几何法求点到面距离的问题 考点六 几何法求线到面、面到面距离的问题 考点一 几何法求异面线线夹角 1．在正方体中，异面直线，所成角的大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，所以为异面直线与所成角，再求解即可. 【详解】因为，所以为异面直线与所成角， 因为△为正三角形， 所以， 即异面直线，所成角的大小为．    2．在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 【答案】 【详解】由已知得此三棱锥为正四面体，不妨设棱长为2，记中点为F， 因为点E是棱的中点，根据三角形中位线性质可知， 所以与夹角的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值. 在中，，，由余弦定理． 所以异面直线和所成角的余弦值为.    3．（多选）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 4．在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，由，可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出. 【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 5．在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求所成角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角. 不妨设，则中，，，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦为. 6．在长方体中，，，，面对角线BD与截面所成的角为45°，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 在长方体中，，，， 所以平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 考点二 几何法求线面夹角的问题 7．在长方体中，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，可知，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）分析可知是与平面所成角的平面角，结合题中数据运算求解. 【详解】（1）连接交于点，则点为的中点， 连接，则， 且平面，平面，所以平面． （2）因为平面，可知是与平面所成角的平面角， 在三角形中，， 可得，所以直线与平面所成角的正弦值为． 8．在平面四边形中，（如图），沿对角线将折起，使点在平面上的射影恰落在上（如图）． (1)求证：； (2)求和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为点在平面上的射影恰落在上，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面BCD，则； (2) 【分析】（1）由题证明平面BCD，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先证明平面，可得即为线面角的平面角，再解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面， 所以平面， 所以即为和平面所成角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以， 即和平面所成角的余弦值为． 9．已知圆台上下底面半径之比为，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为，则该圆台的侧面面积为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合圆台轴截面的几何性质，利用母线与底面夹角的三角函数关系得到高、母线长与底面半径的关系，再通过体积公式求出参数，最终计算侧面积. 【详解】作出圆台的轴截面如图所示，设圆台的上底面半径为，母线为，高为， 则下底面半径为，作，垂足为，则， 因为母线与底面所成的角的正弦值为，即， 则， 由，得，又因为，所以， 所以，解得， 即，所以圆台侧面积. 10．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 考点三 几何法求面面夹角(二面角)的问题 11．在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，确定即为二面角的平面角，然后根据余弦定理求出，进而求出球的半径和表面积. 【详解】在菱形中，已知，，都是等边三角形， ，取的中点为，连接，则. 所以即为二面角的平面角，. 所以. 由余弦定理得. 所以，因此三棱锥所有棱长：， 所以三棱锥为正四面体. 所以棱切球的半径为，那么球的表面积为. 12．已知正方形，、分别是、的中点，将沿折起，如图所示． (1)求证：平面； (2)若翻折后当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)设正方形边长为，由已知得，且， 所以四边形为平行四边形． 则，由，所以平面． (2) 【分析】（1）利用线线平行可证线面平行； （2）由题意可得平面，平面平面，进而可得过作于，则平面，过作于，连接，则，可得为二面角的平面角，进而计算求解即可. 【详解】（1）略. （2）设正方形边长为，则为边长为的等边三角形， 由为中点，得． 又，则平面，所以平面． 由平面，则平面平面． 过作于，则平面． 过作于，连接，则， 从而为二面角的平面角． 在中，，易知为直角三角形． 由，得． 在矩形中，易得．则中，可求得． 在中，． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 13．如图，四棱锥的底面为菱形，交于点，，为等边三角形，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)因为底面为菱形，交于点， 所以为，的中点． 因为为等边三角形，所以，所以． 又，所以，, 又，平面，所以平面； (2)2 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）过作于点，连接，即证，得为二面角的平面角，在中，计算，进而求解. 【详解】（1）略； （2）由（1）知平面，又平面，所以． 如图，过作于点，连接， 又，则平面． 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角． 因为底面为菱形，所以，且． 又，所以为等边三角形， 所以， 又为等边三角形，为的中点， 所以， 在中，， 所以， 即二面角的正切值为2． 14．如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. (1)证明：； (2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)由，为的中点，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用给定角的大小及平行线分线段成比例定理求出，进而求出体积. 【详解】（1）略 （2）由是边长为1的等边三角形，得，则， 作交于点，由平面，得平面，而平面， 则，过作于，连接，平面， 因此平面，又平面，则，为二面角的平面角， 即，由，得， 而，则，，， ，， 所以三棱锥的体积. 15．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：连接，，因为四边形是矩形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以，所以， 因为是的中点，所以为的中点． (2)证明：因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以， 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）先根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质，及矩形的性质证明，进而根据三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质证明，再根据线面垂直的判定及性质证明，从而根据线面垂直的判定及面面垂直的判定即可证明结论； （3）先确定直线与平面所成的角，再证明为二面角的平面角，从而得到，再结合余弦定理，勾股定理，正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作，垂足为，设中点为，连接，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 由（1）易得，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以为直线与平面所成角． 由（2）知平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角，即， 设，在中，由余弦定理得，解得， 所以，，， 又，所以， 所以，即直线与平面所成角的正切值为． 考点四 求异面直线的距离 16．正四面体的棱长为2，点分别在棱上，则线段长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图，将正四面体放于正方体中，使分别为相对两面的对角线， 由于异面直线间公垂线段最短， 当分别为的中点时，易知为的公垂线，且其长度等于正方体的棱长， 由图可知正方体的棱长为， 则线段长度的最小值为. 17．如图，设正方体的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）依据题意找到公垂线，求解公垂线长度即可. 【详解】（1）由正方体性质得，， 又，，所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. （2）由正方体性质得，， 又，， 所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. 18．如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据三角形的性质可证明是的公垂线段，再根据勾股定理求其长度即可； （2）取的中点，连接，可得和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接． 由已知，得．所以，是的中点， 所以， 同理可证， 所以是的公垂线段． 在中，， 所以． （2）取的中点，连接，则， 所以和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角， 连接，在中， ， 由余弦定理，得，所以，故异面直线和所成的角为． 19．S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解； （2）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）如图所示，在矩形中，． ∵，∴． 又，∴是异面直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，与成30°角， 故在中，是与所成的角，∴． 又，∴，即直线与的距离为； （2）在矩形中，，，∴， 又，∴是直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，故在中，是异面直线与所成的角，∴． 又，∴，∴直线与的距离为． 20．在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形全等得，进而可得，同理可证，即可得证. 【详解】连接AF、DF、BE、CE． 在△ABD和△ACD中，，，． ∴．又E是AD中点， ∴． 在△BEC中，又F是BC的中点， ∴． 同理， ∴EF是异面直线AD、BC的公垂线． 考点五 几何法求点到面距离的问题 21．如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【分析】运用等体积法变换三棱锥的顶点和底面解决问题。 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 故答案为：. 22．在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【分析】取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可． 【详解】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 23．（多选）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱中点，点为与交点，则下列命题正确的是（    ）． A．平面 B．平面 C．平面 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可；对于B，根据线面平行的判定定理证明即可；根据线面垂直的判定定理判断即可；对于D，根据等体积法计算求解即可. 【详解】对于A，三棱柱中，，，且， 易知为等腰直角三角形，又点是棱中点，所以. 因为侧面，均为正方形， 所以，，，所以. 因为，平面，，所以平面， 则三棱柱为直三棱柱. 又平面，所以. 因为，平面，，所以平面，A正确. 对于B，连接，由点为与交点及为正方形，得点为中点. 又点是棱中点，所以. 因为平面，平面，所以平面，故B正确. 对于C，由A知，平面，平面，所以， 又，所以. 因为，平面，，所以平面， 故与平面不垂直. 对于D，在等腰中，点为中点，，所以. 在中，， 因为平面，平面，所以. 设点到平面的距离为，则， 即，解得， 即点到平面的距离为，D正确. 24．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，结合勾股定理求解即可. 【详解】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即平面， 则即为点到平面的距离. 因为平面，所以. 正方形中，，即， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径， 又三棱锥的外接球表面积为，则，解得， 所以. 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则. 在中，. 所以点到平面的距离为. 25．如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求： (1)的值； (2)点到面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正三棱锥的特征和棱锥的侧面积等于底面积的倍列式即可求解； （2）根据等体积法求解即可. 【详解】（1）因为是正三棱锥，所以是等边三角形，即， 而是的中点，所以. 因为是正三棱锥，所以， 而是的中点，所以. 因为棱锥的侧面积等于底面积的倍，所以， 所以. （2）设顶点在底面的投影为，分的比为， 因此. 在中，三棱锥的高. 三棱锥的体积， 因此. 设点到平面的距离为，， 由体积公式， 解得. 考点六 几何法求线到面、面到面距离的问题 26．如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 27．（多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 【答案】ABC 【分析】分别由平面、平面和平面、平面平面即可分析求解判断ABC；设点到平面的距离等于d，由即可求解判断D. 【详解】由正方体结构性质可知平面，所以点到平面的距离等于1，A正确； 由正方体结构性质可知，在平面外，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离等于点C到平面的距离， 又由正方体结构性质可知平面，所以直线到平面的距离为，B正确； 由正方体结构性质可知平面平面，平面且平面， 所以平面到平面的距离等于，C正确； 设点到平面的距离等于d，由题意可得， 所以，又， 所以由得，D错误. 故选：ABC 28．若两个平行平面之间的距离为6，一条直线与这两个平面分别交于A，B两点，线段AB与其中一个平面所成角为，则AB的长度为____________. 【答案】12 【分析】根据给定条件，利用线面夹角及面面距离的意义求解. 【详解】如图平面，，过作于，连接， 依题意，，所以， 所以AB的长度为12. 故答案为：12    29．如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且ED⊥平面，点G是CD的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理，需证明BF、BC均平行于平面AEG即可； （2）利用等体积法，令，即可求出距离． 【详解】（1）∵，是的中点，，即， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面，∴平面， ∵直角梯形与梯形全等，，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面； （2）设点到平面的距离为， 平面，平面，故, 知， 由于直角梯形与梯形全等，故， 由，得， 即， ∵平面平面，∴平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 故平面与平面间的距离为． 30．正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证明平面，平面，等体积法求点到平面的距离和点到平面的距离，可得平面到平面的距离. 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则， 正方形中，有， 平面，，所以平面， 平面，则有， 同理有，平面，， 所以平面，同理有平面， 正方体棱长为，则，， 设点到平面的距离为，由，    有，解得， 即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2， ， 则平面到平面的距离为. 故选：B. 1．如图，在正方体中，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，可得，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解. 【详解】在正方体中，连接，，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即为异面直线与所成角， 不妨设，则，， 取的中点，因为，所以， 在直角中，， 可得. 所以异面直线与所成角的正弦值为.    2．在空间四边形中，，，点，分别是线段，的中点，若异面直线与所成角为，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分别取，中点，，可证为平行四边形，结合异面直线夹角的平面角可得平行四边形的各顶角，结合余弦定理可得. 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接，，，，， 则，，，，且，， 所以四边形为平行四边形， 又异面直线，夹角为， 或， 当时，在中由余弦定理得 ， 即； 当时，在中由余弦定理得 ， 即， 故选：D. 3．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 4．已知正三棱台中，，，且与平面所成的角为，则该棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，求出正棱台的高，再由正棱台的体积公式，即可求解. 【详解】因为三棱台为正三棱台，且，， 则，， 如图，设和的中心分别为，连接，，， 则平面，，， 作平面交平面于点， 则即为直线与平面所成的角， 由几何体为正三棱台可知，点在上，且四边形为矩形， 所以，又，所以， 则棱台的体积为. 5．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 6．在正三棱锥中，侧面的面积为底面的面积的，则二面角的正切值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，说明即为二面角的平面角，设，根据侧面的面积为底面的面积的，求出，再利用余弦定理解即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，则， 由，得，所以， 则， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 即二面角的正切值为. 7．如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过，分别作，的平行线，使之交于点，根据余弦定理求出，再证明，进而求解即可. 【详解】过，分别作，的平行线，使之交于点， 因为，所以，而，二面角的大小为， 则，而，， ， 又平面，所以平面， 由，可得平面，又平面， 则，则. 8．（多选）在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面ABC所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（   ） A．正三棱台的高为 B．正三棱台的体积为 C．AD与平面ABC所成角的正切值为1 D．正三棱台的表面积为 【答案】BCD 【分析】将正棱台补全为一个正棱锥，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱与底面夹角正切值，根据比例关系求表面积. 【详解】将正棱台补全为一个正棱锥，如下图示， 其中分别为上下底面的中心，为的中点， 易知，则为等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角， 所以，且， 则，，， 根据棱台上下底面相似，知，即， 故，A错； 由，， 所以，B对； 由图知：为与平面所成角，则，C对； 因为的面积为，的面积为， 所以正三棱台的表面积为，故D正确； 故选：BCD. 9．（多选）如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 【答案】BCD 【分析】对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断． 【详解】解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，若直线与是平行直线， 则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面， 可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，，如下图： 可得，故为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确． 10．（多选）如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（   ） A．面 B． C．与是异面直线 D．与平面夹角正弦为 【答案】ABC 【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；根据正方体的几何性质可判断B；根据异面直线的定义可判断C；求出线面角可判断D. 【详解】对于A，因为，且，平面， 所以平面，故A正确；     对于B，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，故B正确； 对于C，因为平面，平面， 且与无公共点，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，连接，因为平面， 所以为 与平面的夹角， 设正方体的棱长为2， 则， 可得，故D错误. 11．三棱台上下底面为正三角形，，侧面是底角为的等腰梯形，棱台的高为，则与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【分析】由线面角的定义作出平面角，根据等体积法求出到平面的距离，再由正弦的定义求出正弦值. 【详解】过点作平面的垂线，垂足为，连接， 则与平面所成角为， 因为，侧面是底角为的等腰梯形， 所以等腰梯形的高， 因为， 因为，设点B到面的距离为， 根据，即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为. 12．已知，分别是棱长为的正方体的棱，的中点，为面的中心，则到平面的距离为________，四棱锥的体积为________． 【答案】 【分析】结合几何图形，将点到平面的距离转化为线到面的距离，进而求解棱锥的高，再利用等体积法求解. 【详解】如图所示，连接，交于点，连接，，过点作于点．    因为，且平面，平面，所以平面． 所以到平面的距离就是到平面的距离． 易知平面平面， 又平面平面， 所以平面， 所以等于四棱锥的高． 因为， 所以． 所以 . 13．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 【答案】 【分析】取上下底面对应边的中点，构造侧面与底面所成二面角的平面角，求出侧面等腰梯形的高，结合面积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心分别为， 取的中点，的中点， 连接. 由正棱台的性质可知， 平面，，， 且四点共面. 过作于点， 则平面，且. 因为，，，所以平面， 又平面， 所以. 同理. 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角， 由题意可知. 因为， 所以，， 又四边形为矩形， 所以. 所以， 在中，， 即侧面等腰梯形的高为. 上底面面积为，下底面面积为， 侧面积为， 所以该棱台的表面积. 14．如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______ 【答案】/ 【分析】取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG，找到异面直线所成的角或其补角即，然后找线面位置关系，求相关线段长，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，取CO的中点G，取PO的中点F，连接EG，EF，DF，DG， 则，且，，则就是异面直线与所成的角或其补角． 易知平面，所以平面，所以. 因为，，所以， 所以由勾股定理得， 又，， 所以在△中，由余弦定理得， 故异面直线与所成角的余弦值为． 15．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 16．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 【答案】(1)由，，，得，则. 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以.又因为，所以. 又因为，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【详解】（1）略 （2）在四边形中，，平面，平面， 则平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 如图，在平面内过点作于点. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中，，，， 则，所以， 所以点到平面的距离为. （3）如图，在平面内，过点作于点；在平面内，作于点，连接. 由(1)得，平面，又平面，所以平面平面. 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. 则即为二面角的平面角. 设. 由(1)得，则. 在中，由，得. 在中，由，得； 在中， 所以. 由，得，则 所以二面角的正切值的取值范围为.    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $