暑假预习：空间基底的概念、用基底表示向量、空间向量共面求参数专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间向量基础，以基底概念为起点，通过判定、表示、参数求解三级递进训练，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间基底的概念|例3+变式3|基底判定（共面性判断）|概念生成：从基底定义出发，通过反例强化不共面核心条件| |用基底表示向量|例3+变式3|几何图形中向量分解（平行六面体/四面体）|原理应用：基于基底线性表示，结合几何性质实现向量转化| |空间向量共面求参数|例4+变式4|共面向量定理应用（参数方程求解）|拓展深化：运用共面充要条件，建立参数方程解决共面问题|

暑假预习：空间基底的概念、用基底表示向量、空间向量共面求参数专项训练 暑假预习：空间基底的概念、用基底表示向量、空间向量共面求参数专项训练 考点目录 空间基底的概念 用基底表示向量 空间向量共面求参数 考点一 空间基底的概念 例1．（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 例2．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 例3．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 变式1．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 变式2．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若和都为基底，则不可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合每个选项条件逐项计算可判断结论. 【详解】若不是一组基底， 则可设， 对于A，若，则，方程组无解， ∴为基底，故A不符合题意； 对于B，若，则，方程组无解， ∴为基底，故B不符合题意； 对于C，若，则，解得， ∴不是一组基底，故C符合题意； 对于D，若，则，方程组无解， ∴为基底，故D不符合题意． 故选：C. 变式3．（25-26高二上·青海·阶段检测）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据空间基底的判定条件，逐一判断已知向量是否与选项中的向量共面，从而确定是否构成空间基底． 【详解】假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故A错误； ， 与共面，不能构成空间的一个基底，故B正确； 假设， 则，与矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故C错误； 假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故D错误． 故选：B． 考点二 用基底表示向量 例1．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 例2．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 例3．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 变式1．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 变式2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得，. 变式3．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图所示，点M是的中点，以为基底的向量，则_____________． 【答案】 【详解】， ，，． 考点三 空间向量共面求参数 例1．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 例2．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 例3．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 例4．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________． 【答案】 【分析】利用空间向量共面定理的推论（若四点共面，则从同一点出发的三个向量系数之和为 1），代入已知系数建立方程求解. 【详解】因为点在平面内，且，所以，解得． 故答案为：. 变式1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 变式2．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 变式3．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 变式4．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：空间基底的概念、用基底表示向量、空间向量共面求参数专项训练 暑假预习：空间基底的概念、用基底表示向量、空间向量共面求参数专项训练 考点目录 空间基底的概念 用基底表示向量 空间向量共面求参数 考点一 空间基底的概念 例1．（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例3．（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 变式2．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若和都为基底，则不可以为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·青海·阶段检测）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点二 用基底表示向量 例1．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 变式1．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 变式2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·广东佛山·期中）如图所示，点M是的中点，以为基底的向量，则_____________． 考点三 空间向量共面求参数 例1．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 例3．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 例4．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则___________． 变式1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 变式2．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 变式4．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $