暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦空间向量数量积的计算与应用，以典型几何体为载体，构建从概念到综合应用的逻辑链条，培养数学抽象与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求空间向量的数量积|5例+5变式，含三棱锥、正四面体、平行六面体等|选择/填空/多选，考查基底法与坐标法计算|从数量积定义出发，通过几何体中向量关系转化，强化空间向量分解与运算能力| |空间向量数量积的应用|3例+3变式，涉及正方体、斜三棱柱、斜四棱柱|解答题为主，求模长/夹角/体积/面面夹角|以数量积为工具，关联几何量计算与位置关系证明，体现“算”“证”结合的逻辑推理|

暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 考点目录 求空间向量的数量积 空间向量数量积的应用 例1.(2526高二上安徽毫州期末)在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC,且AB=BC=2,BD⊥CD,且BD=CD, 考点一 求空间向量的数量积 若二面角A-BC-D的大小为3，则BD=（) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果 【详解】设BC的中点为M,连接AM,DM,如下图所示： 因为BD⊥CD且BD=CD,所以DM⊥BC, 又因为AB⊥BC,二面角A-BC-D的大小为3，所以UBA,MD>= 3: BADAB-AM+MD=AB-AM+AB-MD-AB+ABMD COSSAB MD =2+2x1eo-}4-1=3 故选：B 例2.(25-26高二上山东聊城期中)在棱长为1的正四面体ABCD中，点E为AB的中点，点F在CD上，且 y 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 CF=2FD EF.AC 则 为() 5 1 A.12 B.-12 D.-4 【答案】A 【分析】设 C=aD=五，B研=c,将题设中的F和C分别用a6C 线性表示，再根据向量数量积的运算律计算 即得. 【详解】 E B D 如图，设BC=a,BD=6,BA=c,依题意aH8HcH1,a-b=b.c=ca= 2 连接r,因厅=所-E-Bc+F-号丽=Bc+CD-丽 AC=BC-BA=a-c 又 c-传+-a- 则 ac+2a6-26c Ia-5a =a2+ 2」 2 6 3 3 1,151,21215 3+26x2323212 故选：A 例3.(25-26高二上北京西城阶段检测多选)如图，平行六面 ABCD-ABCD中，以顶点A为端点的三条棱 长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则() 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 Dy C A B D A.4C=5 B AC⊥BD C.四边形BDDB的面积为2 2 D.平行六面体ABCD-AB,CD的体积为2 【答案】BD BD,BD 【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出 ,进而求出面 积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积. AC=AB+AD+AA 【详解】因为 4CB++2BAD+2+2D -P+P+P+2x1x1xc0s60°+2x1x1xeos60r+2x1x1xc0s60°=6，故C=6,A错误， AC=AB+AD+AA BD=AD-AB AC·BD=(AB+AD+AA)(AD-AB)=AB:AD-AB+AD-AD.AB+AA·AD-AA·AB =1×1xcos60°-1+P-1x1xcos60°+1x1xc0s60°-1x1xc0s60°=0，故4C1BD B正确： D B D 3 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 BD,BD 连接 BD =BA+AD+DD,BD=BA+AD+DD 则 BD=BA+AD+DD+2BA·AD+2AD·DD+2BA·DD =12+12+12+2×1×1×c0s120°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos120°=2 即B阿=5，同理可=5，救四边形BD0B为旋形， 面积为1×1=1，C错误； D C A B D 过作4E面4BCD,E在直线4C上，过5作F1B于F,连接4F. AE⊥AB,EF⊥AB,AEOEF=E,AE,EFC 平面 ,得B上平面4F,4Fc￥面4BF程BL4F AEF 平面 ,得 4F=A4:cos60°= 2.E-4F COS309-3 AE=442-AEV 3, 微平行六面体ABCD=ABCD的体积为2Ix1X2x6V随 2 32,D正确. 故选：BD ABCD-AB,CD∠AAB=∠AAD=∠BAD=60° 例4.(25-26高二下·甘肃酒泉·期末)如图，平行六面体 中， AB=AD=AA=1 AC= ,则 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 B D. A 【答案】V反 【分析】先得到4C=-杯+仍+D 两边平方，从而得到模长 【详解】4C=44+AC=-+B+D 4C'=44'+AB'+AD'-244AB-244AD+24B.AD =1+1+1-244-ABc0s60°-244：ADcos60°+2AB-ADc0s60 =1411-2x2x2 1 22 所以4C=4C=2 例5.(25-26高二上·辽宁大连阶段检测)在平行六面 ABCD-AB,CD中，以顶点A为端点的三条棱长均为 2,且<B1D=∠4AD=∠4AB=60 AC 则对角线 长为 【答案】 26 【详解】由愿意得4C-B+D+A 所以4G=(AB+D+A=B+D+AA+2ABAD+2BAA+2ADa ++cos60+cos60+cos60 =2+2+242x2x2×+2x2x2x2+2x2x2x×号24. 故对角线1C=AC=2V6 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 变式1.(25-26高二上北京房山期中)三棱锥0-ABC中，OA,OB,0C两两垂直，OA=OB=0C则 (OA+OB)和CA的夹角为(） A.30 B.45 C.60 D.90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解， 【详解】设OA=OB=0C=1, 04+0B)CA=(04+0B)(04-0C)=04-04.0C+0B.04-0B.0C=1 0A+08=VO1+0B=VOi+0B+20A.os=2, =oA-0d=VoA-oc}=v6i+0c-2oa.0元=2， cs{(oi+o丽，c- 04+OB.CA 1 OA+08cAV2×V22, 所以(O1+OB)和C的夹角为60。 故选：C 变式2.(25-26高二上北京昌平期中)如图，在平行六面体 ABCD-ABC D AA=AD=AB=2 中， ∠BAD=T ∠B4=∠4D=景则孤-B0=(） D A D B A.-8 B.8 C.4 D.4 【答案】C 【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可 6 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 【详解】因为M=AD=AB=2,∠B4D-分∠B4=∠AD-于 所以MBBD=(4B+44西-48)=(B+A4)(D-4AB) =AB.AD+AA·AD-AB-AA·AB =0+2×2×c0s7-22-2x2×c0s元=-4 3 3 故选：C. 变式3.(25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测多选)如图，在三棱柱 BC-ABG中，BC与BC相交于点0， ∠AAB=∠A4C=∠BAC=60°，A1=2,MB=4C=L,则下列说法正确的是() A A.AO⊥BC 40= B 2 v行 C.40与AB所成角的余弦值为2 D A0.AA=3 【答案】ABD 【分析1对于A,根据空间向量的线性运算可得0-(B+AC+4), BC=AC-AB,进而验证AO.BC=0即 可判断；对于BCD,根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可 BCC 【详解】对于A,由题意，四边形 为平行四边形，则为的中点， 因A0=B+B0=B+8c+B孤)=B+4c-AB+A)=aB+AC+AA), > 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 BC=AC-AB BC-B+CC-)-B 51+1+2x1xc0s60°-2x1xcos60)=0 则40LBC,即401BC,放A正确： 对于B,由A知40=(B+AC+A). 则40-(B+AC+M+2B.AC+2.M+2ac. +42212-4,40四 2,故B正确： 对于心白A知而-s+c,网).0-. 则40=aB+c+)B=aB+4cB+杯 =21+1x1xcos60°+2x1xcos60°)= , 5 则cosA0,AB= AO.AB -4-5面 AO AB 22, 2 5而 即AO与AB所成角的余弦值为22，故C错误； 对于D,由A项知， 和西c+).网-四 则40=B+AC+)小4=B4+C.瓜+4） =+1+4)=3,故D正确 变式4.(25-26高二上辽宁沈阳阶段检测)在平行六面体ABCD-BC'D中，AB,AD,A4'长度均为2，两两夹 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 角均为60°，则对角线AC'的长度为 2√6 【答案】 【分标】首先利用向量表示4C=B+D+ ,平方后利用数量积运算公式，即可求解 AC'=AB+AD+AA 【详解】 则4C=(B+D+矿=B+D+A+2(BD+B+Da). =444+22x22x2×22=24 2 2 所以aC=26 2W6 故答案为： BCD-ABCD中，AB=2,B是棱。 CD 变式5.(25-26高二上·贵州阶段检测)在正方体 的中点，则 AC.BE= 【答案】2 【分析】如图建系，求得各点坐标，进而可得 C=(2,20BE=(-1,2,2), 根据数量积公式，即可得答案 AA 【详解】以A为原点，AB,AD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ZA A D ·E B 因为AB=2,所以A0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E1,2,2), 9 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 AC=(2,2,0)BE=(-1,2,2) 则 故 AC.BE=2×(-1)+2×2+0×2=2 故答案为：2 0 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 考点二 空间向量数量积的应用 例1.(25-26高二上山东济南°期中)如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于2，E,F,G,H分别是棱 AB,AD,DC,BC 的中点 B F·4C与Fc (1)求 ®求F的长 【答案】GFAc=-2EFBC=1 R② 【分折】（山）利用中位线定闲到正-C=号C和乐-号D,再结合字间向数量积的院义求解印可 2 ()利用空间向显线性运算得到而。号-C+号而，再结合空间向量数积的定义求解用可 2 【详解】(1)因为E,F,G,H分别是棱AB,AD,DC,BC的中点， 所以FG是ADMC的中位线，则G示-a=4C, 得到F.c=Cc=40-×4=2, 同理可得F-而，而四面体ABCD的所有棱长都等于2， 得到<n8C=B4C-号，数Fc-号D-C-x2x2=l 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 (2)因为E,F,G,H分别是棱AB,AD,DC,BC的中点， 所以所=而+函+-西-孤+而 -4d到-+号0=号-c+号而， 而4B.4c-国Gos∠B4C=2x2×2, AB·AC=AB·AD=AC.AD=2 同理可得 可所-（西-c+ -2+2+2+20-4c-20.D-24c.0] =2+2+2+4-4-4=2,放丽=2 ABCD-AB,CD 例2.(25-26高二上辽宁锦州阶段检测)如图，在平行六面体 中，以顶点为端点的三条棱长 都是2，且它们彼此的夹角都是60，M为4C与BD的交点.若B=a,而=6，A瓜=C D A Q求AM.D 的值： (2)求osAC,4C 【答案】(1)-3 2√2 (2)3 【分析】(1)根据平行六面体的性质，结合已知条件得出各向量的模及夹角，再通过向量加减法，结合向量的数 量积计算： 12 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 (2)先用已知向量分别表示4C,4C,再求出4CAC以及AC和HC,进而求解60sAC,4C 【详解】(1) D B A 平行六面体 BCD-4BC0所有技长均为2，a6,C的模均为2，夹角均为60，M为4C与BD的中点， *0m=孤=6，丽-号0吸-6-40)-6 w-m-m--5-e, 0w.0-传-6-小5-a6-号56-c5-可cs60--月月cs60 1 5×2×2x-×22-2×2×=-3 22 (2):4C=B+AD=ā+6，AC=Ac+CC=(B+AD)+=a+6+c ..AC.AC=(a+B)(a+B+c)=a.a+2a.B+a.c+B.B+B.c =22+2x2×2×+2x×2×+2+2x2×=16」 ac-la+-a+-++2a-6-2+2+2x2x2×2 =25 4C=la+6+=Va+5+d=V+6+f+2a-6+2i-c+25.c 22+22+2+2x×2×2×x3=2N6 2 ..cosAC,AC= AC·AC 16 -22 AC AC 23×2W63. 例3.(25-26高二上山东日照·阶段检测)己知平行六面体 13 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 ABCD-AB'C'D',AB=2,AD=AA'=4,∠AAB=∠AAD=∠BAD=60° D 4 B (1)求A'C的长度？ (2)求证：AB⊥AD: (3)求异面直线AA'与BD'所成角的余弦值. 【答案】（①）25： (2)证明见解析； a话 AC=a+b-c 【分析】(1)首先写出 再根据向量数量积的运算律即可得到答案； (2)利用基底法得 A'D=B-c ,再计算数量积为0即可； BD=b+c-a (3)首先写出 ，再求出相关数量积和模长，最后根据数量积的夹角公式即可得到答案 【详解】1)设B=aD=五A=c.4C=4C-A=a+6-: a-6=2x4×)=4,aC=2×4×)=4,万-c=4×4×)=8, 1 则HC=@+6-c=日+6+8+20-6-2.c-20-0=22+4+4+2x4-2x8-2x4 =25 (2)D=而-d=6-d 14 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 则：而=a(6--a-万-ac=0,则B上fD (3)BD-BD+DD-AD-AB+A4-B+c-a 则7.BD=c-(6+c-a）=i.c+c-a:c=8+4-4=20 而BD-V6+c-a-va+6+c+2i-c-2a.6-2a:=V2+4+4+2x8-2×4-2x4=6 则os(AA,BD列 AA'.BD 20 5 AABD 4×66, 则异面直线A4与BD所成角的余弦值为6 变式1.(25-26高二上辽宁阜新阶段检测)如图，已知正方体ABCD-AB'CD'的棱长为1. D' B D B AB·BC (1)求 的值； (aP是底面BCD上一点（包括边界），求P,PC 的取值范围。 【答案】(1)1 a5 【分析】(1)根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解。 (2)根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. A'B.B'C=(4'A+AB)(B'B+BC)=4'A-B'B+4'A.BC+AB.B'B+BC.AB=1 【详解】(1)依题意， (2)取4C中点O,则PA:PC=(P0+O:(P0+00)=PO°-O=PO2- 2 而1s可号时0-1，所以4元. 15 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 变式2.(25-26高二上北京怀柔·阶段检测)如图，棱长为2斜三棱柱 8C-4BG中，4B=∠A1C=60 G,H BC,AC 分别是 的中点 B B G BCBC (1)求四边形 的面积； ②求异面直线AC与GH所成角的余弦值 【答案】(1)4 5 (2)6 【分折】4)方法：过点4作40平面48C,垂足为0，连接40，再过点0作0E1B于点，作 0F14C于点F,证明40是∠B1C的平分线，证明BC1平面410， ,得 BC⊥AA ,所 BC上AA,从而可计算 面积： 方法二：令B=石，4C=6,双=，用向量法证明8C144,再计算面积： (2)在(1)方法二基础上由空间向量法计算异面直线所成的角. AAO⊥ 【详解】(1)法一：过作 0平面MBC,垂足为O, 过O作OE1AB于E, ,则4E1B 作OF1AC于F, AF F⊥AC ,则 ∠AAB=∠AAC=60 又 16 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 RtAAOE兰Rt△AOF AE=AF :.RtAAOE=Rt△AOF,从而O在∠CAB平分线上， ,△ABC是正三角形， .BC⊥AO, BC⊥A0AO∩AO=O,AO,A0c AAO 平面 知BC⊥平面AAO, AAC AAO 平面 BC⊥AABC⊥B,B ∴四边形 CB,G是边长为2的正方形， BCB C 四边形 的面积为4： 法二：令丽=a,4C=6,M=C,则同-=间=2，a6=ac=c6=2. BC=b-a CC=c BC.CC=(b-a).c=b.c-a.c=0 BC⊥CC CBC 四边形 是边长为2的正方形， BCBC 四边形 的面积为； B G 17 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 (2)如图，连接AG,AH, 由(1)方法二得4C=6 G研=而-4G=(4+4ac+0+6+d=-a B B G 4 4C=2 所4Go丽=6e--5c-5a=1 设直线 C与GH所成的角为0， 则os8=cos4C,G币= 4G.G丽15 4CG丽236， 5 所以异面直线AC与GH所成角的余弦值为6， 变式3.(2025山东威海·棋拟预测)斜四棱柱 BCD-ABGD中，底面4BCD为平行四边形，B=AD=, ∠BAA=∠DAA=60°AC,=V6AC=V3 18 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 D A B D C B ABCD-ABCD (1)求四棱柱 的体积： (2)求平 ABB,A与平面 DDA 的夹角的正切值 【客案10号 g22 分】)先根据线段长度和位置关系可得A可，2BD=60,进而可得0，意4E6 3,进而可得 ABCD-ABCD 而四棱柱 的体积 AA (2)取14的中点F,连 DF,FB∠BFD为平 AB,A与平面 ADD A 所成角的一个平面角，利用余弦定理可 得 【详解】(1) D C A 的 如图，连接BD交1C于0， AD AB ，连接 在。ABC中，由余弦定理可得cos∠ABC=B+BC-AC2_1+1-3 2AB·BC 2 Γ2 因∠ABC∈(0，x,故∠ABC-2 3,即∠ABC=120°，∠BAD=60°， 0 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 故△1BD为等边三角形，BD=L,由题意，4C=B+D+A4, 则4C=+而++2.D+2a4+2D 由题意可得6=1+1+44+2×1x1xc0s60+2x1×x cos60°+2×1×A4×cos60° 整理可得+2-3=0，得4网=1， △ABA,△ADA AD=AB=1 为等边三角形，故 又BD=1,故△ABD为等边三角形，放40s③ 2,AO L BD 2, 3.3 在 中，由余弦定理可得0s∠401=40+A0-。 -1 1 2A0·A0 △AOA 2x5x53, 2 2 12 sin∠AOA=V1-cos2∠AOA 2W2 3, 因AB=AD=1,故平行四边形ABCD为菱形，故BD L AC, AO⊥BDAO∩AC=0AO,ACc CA 又 平面4CC4,故BD1平面 平面 4ELAC.由4EC平面4CC4,则4E1BD. 由 平面 由4CnBD=0,4C,BDC平面4BCD, E⊥ ,则 平面ABCD 为斜四棱 ABCD-ABCD的高， 在直角三角形40E中，4E=40sin∠401=5x22V6 233, VARCD-ARGD= Cx045-51x59 32 20 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 (2) D C A B D B AA 取44的中点F,连接 DF,FB ABA1,△ADA ,由(1)可知 为等边三角形， 则BFL4,DF14,BF=DF=5 2, 故∠BFD ABB A ADD A 为平面 与平面 所成角的一个平面角， BF2+DF2-BD2 33-1 在 中，由余弦定理可得cos∠BFD= =44 1 2BF.DE 2x5x53, △BF 22 tan∠BFD= sin∠BFD 3 =2√2 COS∠BFD 21暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 暑假预习：求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用专项训练 考点目录 求空间向量的数量积 空间向量数量积的应用 考点一 求空间向量的数量积 例1．（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例2．（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·北京西城·阶段检测·多选）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 例4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 例5．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 变式1．（25-26高二上·北京房山·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 变式2．（25-26高二上·北京昌平·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A． B．8 C．-4 D．4 变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测·多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 变式4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 变式5．（25-26高二上·贵州·阶段检测）在正方体中，，E是棱的中点，则______. 考点二 空间向量数量积的应用 例1．（25-26高二上·山东济南·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 例2．（25-26高二上·辽宁锦州·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若． (1)求的值； (2)求． 例3．（25-26高二上·山东日照·阶段检测）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 变式1．（25-26高二上·辽宁阜新·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 变式2．（25-26高二上·北京怀柔·阶段检测）如图，棱长为斜三棱柱中，，分别是的中点. (1)求四边形的面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 变式3．（2025·山东威海·模拟预测）斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，. (1)求四棱柱的体积； (2)求平面与平面的夹角的正切值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $