暑假预习：异面直线夹角的向量求法、已知线线角求其他量专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦异面直线夹角向量求法及逆向应用，通过不同几何体情境系统训练空间向量工具的正逆向运算，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线夹角的向量求法|例3+变式3|含平行六面体、四棱锥等几何体，涉及基底表示、模长计算及线线角余弦值求解|从向量表示到夹角公式应用，构建“几何关系→向量运算→夹角计算”逻辑链| |已知线线角求其他量|例3+变式3|含存在性问题、二面角及距离计算，需用线线角建立方程反求参数|以线线角为条件，逆向运用向量夹角公式，形成“已知角→列方程→求未知量”推理路径|

暑假预习：异面直线夹角的向量求法、己知线线角求其他量专项训练 暑假预习：异面直线夹角的向量求法、已知线线角求其他量专项训练 考点一 异面直线夹角的向量求法 考点目录 异面直线夹角的向量求法 已知线线角求其他量 例1，(2526高一下黑龙江佳木斯期末)如图在平行六面体1BCD-4BCD中，B=D=A4=V2 ∠AAB=∠A4D=∠BAD=60令B=a,D=万，A=C,以a,6为基底，解决下列向思： D (1)用a、6、c表示向量4C,并求AC, AC BC (2)求直线和夹角的余弦值. 例2.(25-26高一下广东肇庆期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,AB/DC,且DC=2AB,M为 PD的中点. 暑假预习：异面直线夹角的向量求法、己知线线角求其他量专项训练 M -----------C D (I)求证：AMI∥平面PBC; (2)若PD⊥面ABCD,PD=DC=2,AD=1,求直线AM与BC所成角的余弦值. 2 暑假预习：异面直线夹角的向量求法、己知线线角求其他量专项训练 例3.(25-26高二上山东德州期中)如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,点Q在棱PA上，且 PA=4PO=8 ∠CDA=∠BAD=90°AB=4CD=2AD=2N2 ,底面为直角梯形， M,N分别是PD,PB的 中点 N M (I)求证：M0∥平面PCB, (2)直线AD与直线CN所成角的余弦值. 变式1.(25-26高二上：山东济南月考)如图，在平行六面体ABCD-AB'C"D'中，底面ABCD是边长为2的正方 形，侧棱AA'的长为2，且∠AAB=∠AAD=120. D' B 求： (1)AC的长： (2)直线BD'与AC所成角的余弦值. 暑假预习：异面直线夹角的向量求法、己知线线角求其他量专项训练 变式2.(25-26高二上辽宁大连月考)如图，在直三棱柱 BC-4BG中，ABLBC,4C=28C=CG=2 D,E分别是 C,BC的中点. B D A E B CE∥ (1)求证： 平面ABD: (2)求异面直线AC与BD所成角的余弦值. 变式3.(2526高二上北京石最山~月考)如图，在平行六面体1BCD-ABCD中，B=ā，AD=5,A=C】 点M在 BM DM=4:1 上，且 D C D ①以a,6为基底表示向量丽，M； (2)若 B=AD=AM,且AMB=∠AAD=∠ABC=120 线BD与4 求直线 所成角的余弦值： 暑假预习：异面直线夹角的向量求法、己知线线角求其他量专项训练 考点二 已知线线角求其他量 例1.(25-26高二上辽宁丹东月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面 ABCD,PA=PD,AD=2CD=2BC=2 CD L BC,BC//AD,E,F AD.PC 分别为 的中点 B (I)证明：BC⊥平面PBE； (2)若BF与CD所成的角为60°，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值. 例2.(25-26高二上山东潍坊月考)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD, DE//BF,AD=DE=4,BF=1. (I)求平面AEF与平面CEF所成锐二面角的余弦值： 2 (2)在棱DE上是否存在点G,使得直线BG与AD所成角的余弦值为3？若存在，求点G到平面ACF的距离：若不 存在，说明理由， 暑假预习：异面直线夹角的向量求法、己知线线角求其他量专项训练 ABCD 例3.(25-26高二上北京房山月考)如图，已知正方形 和矩形ACEF AB=√2 所在的平面互相垂直， AF=1,M是线段EF的中点. E B A (I)求证AMII平面BDE: (2)试在线段AC上确定一点P,使得PF与CD所成的角是60° 变式1.(25-26高二上辽宁抚顺月考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB,AB=BC=2, ∠APB=∠ABC=90 ,平面PMB1平面1BC,点是线段PA上的动点 ,平面 PA D E A Q (1)证明：平面APC⊥平面PBC: ②法点O在线菱BC上，BQ号，且异面直线E0与PB成0角，求平面EBC和平面48C夹角的余技位。 6 暑假预习：异面直线夹角的向量求法、己知线线角求其他量专项训练 变式2.(25-26高二上湖南岳阳月考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠BAC=90°，点D,E, N分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2. D E M …A B C (I)求证：MN1I平面BDE. 5 (2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为9，求线段AH的长 变式3.(2425高二上山东青岛月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAD,AD/BC, AB=BC=PA=1,AD=2,LADP=30°，∠BAD=90°，E是PD的中点. M E (I)求证：PD⊥PB: V10 (2)若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为5，求面MAB与面PCD夹角的余弦值.暑假预习：异面直线夹角的向量求法、已知线线角求其他量专项训练 暑假预习：异面直线夹角的向量求法、已知线线角求其他量专项训练 考点目录 异面直线夹角的向量求法 已知线线角求其他量 考点一 异面直线夹角的向量求法 例1．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期末）如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)用、、表示向量，并求； (2)求直线和夹角的余弦值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解； （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【详解】（1）， 由已知可得，， 因此，. （2）由（1）知， 因为， 所以，所以； 且 ， 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 例2．（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，在四棱锥中，，，且，为的中点． (1)求证：平面； (2)若面，，，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)取中点，连接. 由中位线性质：为的中点且， 已知且，则且， 故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，平面. (2) 【分析】（1）取中点，易证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系，得出和的坐标，根据夹角余弦公式求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 各点坐标：，，，，， 故，， 直线与所成角的余弦值为. 例3．（25-26高二上·山东德州·期中）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，点Q在棱PA上，且，底面为直角梯形，，，，，M，N分别是PD，PB的中点. (1)求证：平面PCB； (2)直线AD与直线CN所成角的余弦值. 【答案】(1) 法一：取的中点，连接,则，. 依题意得，，， 则四边形为平行四边形，， 为的中点，所以，所以， 又平面，平面，故平面. 法二：以为原点，以分别为建立空间直角坐标系， 由，，，，，分别是的中点， 可得：，，，， ，，，， 可得，， 设平面的法向量， 则有即，令，则，， 则， 又平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行判定定理求解； （2）根据异面直线夹角的公式求值. 【详解】（1）略 （2）法一：由（1）知，， 则直线与直线的所成角为直线与直线的所成角， 因为，，所以， 在中，， 则直线与直线所成角的余弦值为. 法二：由（1）知，， ， 所以直线与直线所成角余弦值为. 变式1．（25-26高二上·山东济南·月考）如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量运算法则将表示为，再根据向量模长公式展开，结合已知条件，计算，最后开方得到. （2）先用向量表示和，计算，通过向量数量积运算律展开并代入已知条件计算，然后分别计算和，利用向量模长公式结合已知条件求解，最后根据向量夹角公式，结合直线所成角的范围，求出直线和所成角的余弦值. 【详解】（1）由题可知，在平行六面体中，，，则， . 因为底面是边长为2的正方形，所以，则. ， . 因为， 则 =. 则. 故的长为. （2）在平行六面体中， 因为，，所以 . 又， ， 所以. 设直线和所成角为，因为，所以. 故直线和所成角的余弦值为. 变式2．（25-26高二上·辽宁大连·月考）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求异面直线AC与BD所成角的余弦值． 【答案】(1) 取AB的中点F，连接DF，EF， 因为E是的中点，所以，且， 又，，D是的中点， ∴，，∴四边形是平行四边形． ∴，又平面ABD，平面ABD， ∴平面ABD． (2)． 【分析】（1）取AB的中点F，连接DF，EF，可证得四边形是平行四边形，进而得到，根据线面平行的判定定理可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线线角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）略 （2）以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 从而，． ∴， ∴直线AC与BD所成角的余弦值为． 变式3．（25-26高二上·北京石景山·月考）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且．    (1)以为基底表示向量，； (2)若，且．求直线与所成角的余弦值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目所给基底，利用空间向量线性运算求出，即可． （2）先利用数量积的运算律求得和， 及，然后代入异面直线所成角的向量公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以．     因为点在上，且，所以， 所以， 所以． （2）设，因为， 所以，，， 由（1）知， ， 又，所以，     因为，     设直线与所成角为， 则， 所以直线与所成角的余弦值为． 考点二 已知线线角求其他量 例1．（25-26高二上·辽宁丹东·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)若与所成的角为，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 由为的中点，则，， 又，，易知：四边形为正方形，即， 由，则，又面面，面，面面 所以面，面，则， 又，面，则平面； (2). 【分析】（1）由题设易得四边形为正方形，即，由等腰三角形性质得，再由面面、线面垂直的性质得，最后应用线面垂直的判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，根据线线角并应用向量法求坐标，再由面面角余弦值的向量求法求平面和平面夹角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）由（1）易知：两两垂直，可建如下空间直角坐标系， 所以，设且， 则，故，又与所成的角为， 所以，则，即， ，若为面的一个法向量， 则，令，故， 又是面的一个法向量，则， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 例2．（25-26高二上·山东潍坊·月考）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，距离为. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得. （2）由（1）中坐标系，由异面直线所成角的余弦求出点，再利用向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）由四边形为正方形，平面，知直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设平面和平面所成锐二面角为，则 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． （2）假设存在，又，则，， 由直线与所成角的余弦值为，得， 解得，则存在点，为棱的中点时满足条件， 即，，， 设平面的一个法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离为. 例3．（25-26高二上·北京房山·月考）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.    (1)求证平面； (2)试在线段上确定一点，使得与所成的角是. 【答案】(1) 因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， 且平面平面，且，平面， 所以平面，又，如图建立空间直角坐标系.      设，连结，则，，， 又，. ，且与不共线，， 又平面，平面，平面. (2)点为的中点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量共线证明线线共线，从而利用线面平行的判定证明即可； （2）设出点的坐标，利用向量夹角的坐标运算公式建立方程，即可求解点的位置. 【详解】（1）略 （2）设，，又，，， 则，. 又与所成的角为，， 解之得或（舍去），故点为的中点时满足题意. 变式1．（25-26高二上·辽宁抚顺·月考）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，点是线段上的动点. (1)证明：平面平面； (2)若点在线段上，，且异面直线与成30°角，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，利用垂直关系转化为证明平面，即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，利用向量公式求点的坐标，并分别求平面和平面的法向量，利用二面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）证明：∵平面平面，且平面平面，，且平面， ∴平面，平面，∴， ∵， ∵平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面； （2）因为，过点作垂直于平面， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 所以 设，，， ，， 因为异面直线与所成30°角， ， ， 由题意知，平面的一个法向量为，， 设平面的一个法向量为，则， 所以， 所以， 平面和平面夹角的余弦值为. 变式2．（25-26高二上·湖南岳阳·月考）如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，. (1)求证：平面. (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面； （2）设，且，则,0,，由直线与直线所成角的余弦值，利用向量法能求出线段的长． 【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,， ,2,，,0,，,2,， 设平面的法向量,,， 则，取，得,0,， ，平面，平面． （2）设，且，则,0,，,,，,2,， 则，整理得 解得或，所以线段AH的长为或2． 变式3．（24-25高二上·山东青岛·月考）如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，，，，E是PD的中点． (1)求证：； (2)若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为，求面MAB与面PCD夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）证明平面PAB即可; （2）由异面直线BM和CE所成角的余弦值为可得M坐标，后可得答案. 【详解】（1）证明：在中， ∵，，， 由余弦定理可得：， 即， ∴， 从而 ∵，∴ ∵平面平面PAD，平面ABCD平面PAD，AB平面ABCD. ∴平面PAD， ∴平面PAD， ∴. ∵，AB平面PAB，PA平面PAB， ∴平面PAB. ∵平面PAB， ∴． （2）以A为原点，以AD为y轴，建系如图所示，则，，，， 则，， ，. 设，则 设异面直线BM和CE所成角为，则 得.此时， 设面MAB的一个法向量为， 有 令，则，，取 . 设面PCD的一个法向量为， 有 令，则，，取 设面MAB与面PCD的夹角为， 则. 即面MAB与面PCD夹角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $