暑假预习：线面角的向量求法、已知线面角求其他量专项训练-2026年高一升高二暑假数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦线面角向量解法，通过双向问题设计构建从正向计算到逆向推理的完整训练体系，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面角的向量求法|3例+3变式|以三棱锥、四棱锥等多面体为载体，要求计算线面角正弦值|从空间几何建模到空间向量运算，形成"作-证-算"完整逻辑链| |已知线面角求其他量|3例+3变式|给定线面角大小，反求线段长度、比值等参数|通过方程思想实现空间角与几何量的转化，培养逆向思维|

暑假预习：线面角的向量求法、已知线面角求其他量专项训练 暑假预习：线面角的向量求法、已知线面角求其他量专项训练 考点目录 线面角的向量求法 已知线面角求其他量 考点一 线面角的向量求法 例1．（2026·山东枣庄·三模）如图，在三棱锥中，，，，，，为在平面内的投影. (1)设，求，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法计算点的坐标，进而求得的值. （2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由，，，. 以为坐标原点，为轴，为轴，竖直向上为轴建立空间直角坐标系. 则， 设点在平面内的垂足为，则. ， 两式作差，解得. ，， ，，解得， 代入距离关系式， 解得，得，. ， ， 所以， 解得，. （2）由（1）得，，. 设平面的法向量， ，可取. 设直线与平面所成角为， 则. 例2．（2026·山东日照·二模）如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为． (1)若，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据二面角的定义以及线面垂直的判定定理证明该图形为直三棱柱，然后根据棱柱的体积公式即可求解. （2）建立空间直角坐标系，求出点坐标以及平面的一个法向量，然后根据线面角的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）由折叠性质可知：，， 因此 就是二面角的平面角，即 ， 三棱柱为直三棱柱， 原正方形边长为2，为中点，故， . 当​时，，， ，侧棱长为高， 因此三棱柱的体积 . （2）建立空间直角坐标系：以为原点，为轴，为轴，垂直平面向上为轴， 各点坐标为 ，，，， 设 ， ，， 由得 ，解得，即， 因此， ，，设平面的法向量为， 由，取得， ， ， 设直线与平面所成角为，由线面角公式得 . 例3．（2026·北京大兴·三模）如图，在四边形中，，，，是中点，连接，将沿折起使点至点处，得四棱锥，且，点为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 连接交于，连接， 因为，由题意是中点，又， 所以，则四边形为平行四边形， 故点为中点，又点为中点． 所以，又平面，不在平面内， 所以平面； (2) 【分析】（1）连接交于，连接，通过即可证明； （2）建系，求得平面法向量，和直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知四边形为梯形中， 且，，，故四边形是正方形， 所以，， 将沿折起使A点至P点处，有，， 因为，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，O是中点，所以， 又平面，平面平面， 所以平面． 以O为坐标原点，，所在直线分别为y轴，z轴，以过O与平行的直线为x轴，建立如图所示的空间坐标系． 因为，可得， 则，，，，，，． 则 ，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 则． 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 变式1．（2026·北京门头沟·一模）如图，四边形为正方形，平面平面，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)设 的中点为 ，连接， 在中，为的中点， 所以且， 因为且， 所以且 ， 所以四边形 是平行四边形， 所以， 因为 平面，平面， 所以 平面； (2) 【分析】（1）设 的中点为 ，证得，根据线面平行判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质可得平面，建立空间直角坐标系，根据线面角向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，平面平面 ， ，， 所以 ，平面， 因为四边形为正方形，所以 两两互相垂直， 以 为坐标原点， 分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ，， ，，， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 变式2．（2026·辽宁盘锦·一模）如图所示几何体中，四边形与四边形为全等的菱形，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：设与交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以，且为的中点， 又，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）设与交于点，连接，先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）先证明，建立空间直角坐标系，再利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为四边形与四边形为全等的菱形， 所以，则为等边三角形， 连接，可得为等边三角形， 而为的中点，则，又，， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，所以， 易得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 变式3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为中点，且．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行判定定理证明线面平行. （2）利用空间向量的坐标运算求解线面夹角的正弦值即可. 【详解】（1）证明：连接交于，连接， 因为底面是矩形，所以是的中点，又因为为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面.    （2）以为原点所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有， 所以， 设平面的法向量为， 则有.所以，取， 记直线与平面所成角为， 则有 ∴直线与平面所成角的正弦值为；    考点二 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点E在棱上，（），点F，G分别为，的中点，过E，F，G三点的平面交于点H.    (1)确定的值使平面； (2)当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面，可得，由点F，G分别为，的中点，得，平面，，从而四边形为平行四边形，有，所以，可得λ的值； （2）建立空间直角坐标系，由与平面所成角的正弦值为，向量法求线面角得λ的值. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 所以． 因为点F，G分别为，的中点，所以． 又因为底面为直角梯形，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为平面平面，所以， 从而四边形为平行四边形， 又，， 所以，所以，所以λ的值为. （2）由题可知，，，所以，所以． 又平面平面，平面平面，平面，则平面． 又，故可以为坐标原点，分别以向量 为轴正方向，建立空间直角坐标系.    所以， 因，可得， ， 又为的中点，所以． 所以，， 设平面的一个法向量， 则，故可取， 设与平面所成角为， 所以， 又，解得. 例2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的点（包含端点），且．    (1)求异面直线与所成角； (2)当三棱锥体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1) (2)． (3)． 【分析】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用向量的数量积运算求解判断； （2）由结合基本不等式求得三棱锥体积取得最大值时的值，进而求出平面和平面的法向量，利用向量法求解； （3）求出平面的一个法向量，利用向量法求解. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 设（），则，，，，    故，， 因为，     所以，即异面直线与所成角为. （2）因为， 当且仅当，即时取等号，     此时，，故，. 设平面的法向量， 则，令，取平面的一个法向量为，     因为平面的一个法向量为，     所以，     所以平面与平面夹角的余弦值. （3）因为，， 设平面的法向量， 则，取平面的一个法向量为，     又， 所以，解得或（舍），     所以. 例3．（24-25高三下·山东德州·阶段检测）如图，三棱柱中，平面平面，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接.在三棱柱中，根据题意可知四边形为菱形，故.根据面面垂直的性质定理可证平面.结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； （2）以A为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量法可知直线与平面所成角的大小为满足，求解即可. 【详解】（1）连接.在三棱柱中， 因为，所以四边形为菱形，所以. 又平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 又平面，所以. 又，，平面，平面， 所以平面. （2）假设存在，，使得直线与平面所成角的正弦值为. 因为，所以. 连接，. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，，，. 在中，，，， 由余弦定理可得， ∴，. 以A为坐标原点，分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，， ，. 设平面的法向量， 则，即， 取，得到平面的一个法向量. 又， 设直线与平面所成角的大小为， ， 所以. 又，所以， 即存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为. 变式1．（2025·山东淄博·一模）如图，在四棱锥中，，，点在上，且． (1)点在线段上，且平面，证明：为线段的中点； (2)若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1) 连接，过点作交于点，连接， 又因为，所以，所以四点共面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以为线段的中点； (2)的长度为或 【分析】（1）过点作交于点，连接，由线面平行的性质定理证明，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式即可得出答案. 【详解】（1）略 （2）连接，因为，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面所以平面 又因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ，设平面的法向量为， ， 所以，令，，所以， 所以与平面所成的角的余弦值为， 所以与平面所成的角的正弦值为， 即， 所以，化简可得：， 解得：或，即或， 所以或. 变式2．（25-26高二上·北京石景山·期中）如图，在四棱锥中，平面，，为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：.    (1)求证：； (2)已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1) 选择条件①： 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． 选择条件②： 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． (2)任选条件①②， 【分析】（1）由条件可证得平面，根据线面平行的性质定理可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，可得的坐标，利用线面角的向量求法列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）选择条件①： 因为平面，平面，所以． 又因为，所以， 因此，即两两垂直． 如图，以A为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    所以． 因为，且E为棱的中点，所以点F为棱的中点． 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 设，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得，即． 选择条件②： 因为平面，平面，所以， 又，与相交，平面，所以平面， 因为平面，所以，从而两两垂直． 如图，以A为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    所以． 因为，且E为棱的中点，所以点F为棱的中点． 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 设，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得，即． 变式3．（25-26高三上·北京丰台·期中）如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. (1)证明：平面平面. (2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）取棱的中点O，连接，由题设条件结合勾股定理依次求出和，接着由线面垂直判定定理得证平面，再由面面垂直判定定理即可得证命题； （2）建立适当空间直角坐标系，设，，求出向量和平面的法向量，根据线面角的向量法公式即可建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】（1）证明：取棱的中点O，连接， ，则，， 因为是等边三角形，且O是的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，则，， 设，,则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：线面角的向量求法、已知线面角求其他量专项训练 暑假预习：线面角的向量求法、已知线面角求其他量专项训练 考点目录 线面角的向量求法 已知线面角求其他量 考点一 线面角的向量求法 例1．（2026·山东枣庄·三模）如图，在三棱锥中，，，，，，为在平面内的投影. (1)设，求，的值； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 例2．（2026·山东日照·二模）如图1，在边长为2的正方形中，分别为线段的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2，记二面角的平面角为． (1)若，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值． 例3．（2026·北京大兴·三模）如图，在四边形中，，，，是中点，连接，将沿折起使点至点处，得四棱锥，且，点为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式1．（2026·北京门头沟·一模）如图，四边形为正方形，平面平面，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式2．（2026·辽宁盘锦·一模）如图所示几何体中，四边形与四边形为全等的菱形，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 变式3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为中点，且．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 考点二 已知线面角求其他量 例1．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，平面平面，点E在棱上，（），点F，G分别为，的中点，过E，F，G三点的平面交于点H.    (1)确定的值使平面； (2)当与平面所成角的正弦值为时，求的值. 例2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的点（包含端点），且．    (1)求异面直线与所成角； (2)当三棱锥体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 例3．（24-25高三下·山东德州·阶段检测）如图，三棱柱中，平面平面，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在说明理由. 变式1．（2025·山东淄博·一模）如图，在四棱锥中，，，点在上，且． (1)点在线段上，且平面，证明：为线段的中点； (2)若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度． 变式2．（25-26高二上·北京石景山·期中）如图，在四棱锥中，平面，，为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：.    (1)求证：； (2)已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 变式3．（25-26高三上·北京丰台·期中）如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. (1)证明：平面平面. (2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $