第01讲 空间向量及其运算（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第01讲 空间向量及其运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：空间向量的基本概念 题型 2：空间向量的线性运算 题型 3：共线共面向量定理的应用 题型 4：基底的判断与应用 题型 5：空间向量的坐标运算 题型 6：空间向量的数量积运算 题型 7：空间向量的垂直判定与应用 题型 8：空间向量的模长计算 题型 9：空间向量的夹角求解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 空间向量的定义 线性运算的运算律 空间向量基本定理 空间向量的数量积 空间向量的坐标表示 空间向量的坐标运算 1. 理解空间向量的定义，掌握零向量、单位向量、相等向量等相关概念，能类比平面向量认识空间向量的共性与差异。 2. 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，理解线性运算的几何意义，能熟练进行空间向量的线性运算。 3. 掌握共线向量定理和共面向量定理，能运用定理判断空间向量的共线、共面关系，解决简单的空间几何问题。 4. 掌握空间向量基本定理及其推论，理解基底、基向量的概念，能选择合适的基底表示任意空间向量。 5. 掌握空间向量数量积的定义、性质和运算律，能求空间向量的模、夹角，判断两个空间向量是否垂直。 6. 掌握空间向量的坐标表示，能进行坐标形式的线性运算和数量积运算，体会数形结合的数学思想。 学习重点：空间向量的线性运算与数量积运算、共线向量定理与共面向量定理、空间向量基本定理、空间向量的坐标运算。 学习难点：共面向量定理的理解与应用、空间向量基本定理的灵活运用、空间向量数量积的几何意义及在空间几何中的应用、从平面向量到空间向量的思维迁移。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 即时即练空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【解析】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 知识点02 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 即时即练如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 知识点03 空间向量的夹角及数量积运算 1．空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 4．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 5．数量积的性质 若，为非零向量，则（1）；（2）； （3），；（4）；（5） 即时即练如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 知识点04 共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 即时即练已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【解析】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 知识点05 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 2.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 3.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 即时即练若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】A.，所以，，是共面向量，故A错误； B.，所以，，是共面向量，故B错误； C.不存在实数，使，所以，，不是共面向量，故C正确； D.，所以，，是共面向量，故D错误. 故选：C 知识点06 空间直角坐标系及坐标表示 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． （3）空间向量的坐标运算 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 即时即练已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【解析】（1）设，则由题可知， 解得或， 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 题型 1：空间向量的基本概念 【典例1-1】（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解析】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 【典例1-2】（2026·高二·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【解析】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【变式1-1】（2026·高二·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解析】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 【变式1-2】（2026·高二·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解析】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 题型 2：空间向量的线性运算 【典例2-1】（2026·高二·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接， ∵N是的中点，， ，， ． 【典例2-2】（2026·高二·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，由，得， 由，得， 所以. 【变式2-1】（2026·高二·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 【变式2-2】（2026·高二·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，由得， ， 代入得． 题型 3：共线共面向量定理的应用 【典例3-1】（2026·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【典例3-2】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 【变式3-1】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【解析】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 【变式3-2】（2026·高二·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：根据给定线性关系式有，A错误； 对于B：根据给定线性关系式有，B错误； 对于C：根据给定线性关系式有，C错误； 对于D：根据给定线性关系式有，D正确. 题型 4：基底的判断与应用 【典例4-1】（2026·高二·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，，共面； B选项，，共面； C选项，若存在，使得，则共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面． D选项，，共面． 故选：C． 【典例4-2】（2026·高二·河南·阶段检测）若向量组构成空间直角坐标系中的一组基底向量，则下列向量不共面的一组为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】对于A，假设，，共面，则，所以， 可知该方程组无解，即三个向量不共面，故A正确； 对于B，，所以，，三个向量共面，故B错误； 对于C，，故，，三个向量共面，故C错误； 对于D，因为，故，，三个向量共面，故D错误． 故选：A． 【变式4-1】（2026·高二·浙江·期中）若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，若共面，则存在，使， 则，无解，故不共面，故A错误； 对于B，若共面，则存在，使， 则，无解，故不共面，故B错误； 对于C，若共面，则存在，使， 则，无解，故不共面，故C错误； 对于D，若共面，则存在，使， 则，解得，故共面，故D正确. 故选：D. 【变式4-2】（2026·高一·海南海口·期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【解析】构成空间的一组基底，则不共线， 假设共面，则存在不全为零的实数，使，即， 则，则，与不共线矛盾，故不共面； ，故共面； ，故共面； ，故共面. 故选：. 题型 5：空间向量的坐标运算 【典例5-1】（2026·高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以. 【典例5-2】（2026·高二·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】C 【解析】由空间四点，，，构成梯形，得四点共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 得，解得. 当时，， 所以，且， 所以空间四点构成梯形. 所以. 【变式5-1】（2026·高二·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 【变式5-2】（2026·高二·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 【变式5-3】（2026·高二·福建宁德·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 题型 6：空间向量的数量积运算 【典例6-1】如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 【解析】（1）依题意，． （2）取中点，则． 而，则，所以． 【典例6-2】（2026·高二·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【解析】（1）因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）由， 所以 . 【变式6-1】（2026·高二·广东广州·期中）如图，在长方体中，，点在棱的延长线上，且．设． (1)试用，，表示向量 (2)求． 【解析】（1）点在棱的延长线上，且， ， ． （2）由题意得， 又， ． 【变式6-2】（2026·高二·安徽阜阳·期中）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. (1)求向量的坐标; (2)求在上的投影向量的坐标. 【解析】（1）由题意可得，， 故． （2）由（1）可知， 所以，． 所以在上的投影向量的坐标为． 【变式6-3】（2026·高二·陕西西安·期中）如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 【解析】（1）由题可得向量； （2）由题， 由（1）得，又向量， 所以 . 【变式6-4】（2026·高二·广东中山·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求在方向上的投影向量. 【解析】（1）已知向量 则， ， 所以 （2）由（1）知则，， 所以在方向上的投影向量为 . 题型 7：空间向量的垂直判定与应用 【典例7-1】（2026·高二·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【解析】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 【典例7-2】（2026·高二·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【解析】（1）以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图， 则， 由题意，可设点P的坐标为，因为3＝， 所以，所以，解得， 所以点P的坐标为，所以， 所以，即的长度为. （2）由题意可设点Q的坐标为， 因为，所以＝0， 所以·＝0，即，解得 ， 所以点Q的坐标为， 因为，所以＝λ， 所以，故. 【变式7-1】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【解析】（1）因为，所以； 所以. （2）因为，，所以， 因为，所以与的夹角为. （3）， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得. 【变式7-2】（2026·高二·福建厦门·期中）已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 【解析】（1）已知，． 设，则， 则有，解得，即， 则. 故，. （2）由（1）得，又，， 则，， 由得， 即，解得， 故的值为. 【变式7-3】（2026·高二·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 【解析】（1）根据题意， . （2）根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1） ， 所以. 题型 8：空间向量的模长计算 【典例8-1】（2026·高二·福建泉州·阶段检测）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【解析】（1）因为， 根据空间向量的运算法则，可得. （2）因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 【典例8-2】（2026·高二·四川成都·阶段检测）如图，在平行六面体中，，． 求： (1)； (2)的长． 【解析】（1）由题意可得：. （2）因为 则 ， 所以. 【变式8-1】（2026·高二·福建福州·阶段检测）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 【解析】（1）， 的斜坐标为． （2）设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 【变式8-2】（2026·高二·海南海口·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【解析】（1）由题意，，， ∴， 即与的夹角的余弦值为； （2）由题意，， ； （3）∵， ， ∵与垂直， ∴，即， ∴或． 【变式8-3】（2026·高二·四川南充·阶段检测）（1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 【解析】（1）①， ， ，设， 故， 所以，解得，故； ② ， 解得； （2）已知， 所以， 故当时，取得最小值，最小值为. 题型 9：空间向量的夹角求解 【典例9-1】已知空间三点，求的长和的大小. 【解析】因为， 所以， ，， 所以， 又因为两个向量的夹角取值范围为， 所以， 即线段的长为. 【典例9-2】（2026·高二·吉林延边·阶段检测）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【解析】（1）因为，所以， 解得，则， 因为，所以，即， 解得，所以. （2）由（1）得， 所以向量与夹角的余弦值为 . 【变式9-1】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【解析】（1）由题意得，. （2），则. （3），则. 【变式9-2】（2026·高二·江苏·期中）已知空间四点． (1)求以为邻边的平行四边形面积； (2)若四点共面，求的值； (3)求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围． 【解析】（1）， 又， ， ， ， 四边形的面积为． 以为邻边的平行四边形的面积为12． （2）由题意，得， 四点共面， 存在唯一一对实数使得， ， 解得：， 故的值为． （3）， 设直线和直线的夹角为， ， ，故，， 因为，所以两直线和的夹角余弦的范围是 【变式9-3】（2026·高二·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解析】（1）(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 1．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】对于①，当向量、同向时，， 则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在 使成立，②错误； 对于③，若 四点共面，则存在唯一 使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底，即存在不全为0的， 使得， 即，这与为空间的一个基底矛盾， 故假设不成立，所以构成空间的另一个基底，故④正确. 所以给定命题中不正确的个数为3. 2．（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为四点共面， 所以，解得. 3．（2026·高一·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   4．（2026·高二·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 5．（2026·高二·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 6．（2026·高二·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 7．（2026·高二·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】已知点在平面内，，故， 解得， ． 8．（多选题）在以下命题中，正确的命题有（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点 和不共线的三点 ，，，若，则， ，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】CD 【解析】对于A：非零向量同向时，，共线，但 ，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为且 ， 则由共面向量定理知 四点共面，故C正确； 对于D：因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底， 即存在不全为0的，使得， 即，且不全为0， 这与为空间的一个基底矛盾，故假设不成立， 所以构成空间的另一个基底，故D正确. 9．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【解析】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 10．（多选题）（2026·高二·江苏南京·阶段检测）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】选项A，由点在线段上，且，所以， 所以，即，所以， 由点，分别是边和的中点，连接，如图所示： 所以， 所以，故A正确； 选项B，由题意知，且向量两两夹角为， 所以， 由， 所以 ， 所以，故B错误； 选项C，由，故C正确， 选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误. 11．（多选题）（2026·江苏盐城·模拟预测）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AD 【解析】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C  ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 12．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【解析】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 13．（2026·高二·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 【答案】1 【解析】因为点是底面的中心， 所以, 因为 , 所以， 由，则，，， 所以. 14．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【解析】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 15．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1． 【解析】∵           ∴ ， ∴，即AO⊥CD1. 16．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求的最小值. 【解析】（1）由题意得， 则. （2）由题意得，则， ，则，当时取等号， 即时，取得最小值. 17．如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面 【解析】证明：分别连接、、、交对边于、、、点. 因为、、、分别是所在三角形的重心. 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且， 所以，，故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面. 18．（2026·高二·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【解析】（1）类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 19．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【解析】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 20．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【解析】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及其运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：空间向量的基本概念 题型 2：空间向量的线性运算 题型 3：共线共面向量定理的应用 题型 4：基底的判断与应用 题型 5：空间向量的坐标运算 题型 6：空间向量的数量积运算 题型 7：空间向量的垂直判定与应用 题型 8：空间向量的模长计算 题型 9：空间向量的夹角求解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 空间向量的定义 线性运算的运算律 空间向量基本定理 空间向量的数量积 空间向量的坐标表示 空间向量的坐标运算 1. 理解空间向量的定义，掌握零向量、单位向量、相等向量等相关概念，能类比平面向量认识空间向量的共性与差异。 2. 掌握空间向量的加法、减法和数乘运算及其运算律，理解线性运算的几何意义，能熟练进行空间向量的线性运算。 3. 掌握共线向量定理和共面向量定理，能运用定理判断空间向量的共线、共面关系，解决简单的空间几何问题。 4. 掌握空间向量基本定理及其推论，理解基底、基向量的概念，能选择合适的基底表示任意空间向量。 5. 掌握空间向量数量积的定义、性质和运算律，能求空间向量的模、夹角，判断两个空间向量是否垂直。 6. 掌握空间向量的坐标表示，能进行坐标形式的线性运算和数量积运算，体会数形结合的数学思想。 学习重点：空间向量的线性运算与数量积运算、共线向量定理与共面向量定理、空间向量基本定理、空间向量的坐标运算。 学习难点：共面向量定理的理解与应用、空间向量基本定理的灵活运用、空间向量数量积的几何意义及在空间几何中的应用、从平面向量到空间向量的思维迁移。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 即时即练空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 知识点02 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 即时即练如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 空间向量的夹角及数量积运算 1．空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 4．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 5．数量积的性质 若，为非零向量，则（1）；（2）； （3），；（4）；（5） 即时即练如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 知识点04 共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 即时即练已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 知识点05 空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 2.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 3.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 即时即练若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点06 空间直角坐标系及坐标表示 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． （3）空间向量的坐标运算 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 即时即练已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 题型 1：空间向量的基本概念 【典例1-1】（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【典例1-2】（2026·高二·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【变式1-1】（2026·高二·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【变式1-2】（2026·高二·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 题型 2：空间向量的线性运算 【典例2-1】（2026·高二·福建漳州·阶段检测）如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高二·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·江苏南京·期中）在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 题型 3：共线共面向量定理的应用 【典例3-1】（2026·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【变式3-2】（2026·高二·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 题型 4：基底的判断与应用 【典例4-1】（2026·高二·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高二·河南·阶段检测）若向量组构成空间直角坐标系中的一组基底向量，则下列向量不共面的一组为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-1】（2026·高二·浙江·期中）若，构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·海南海口·期末）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型 5：空间向量的坐标运算 【典例5-1】（2026·高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，点，，则（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高二·江苏淮安·期中）已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为（   ） A．2 B．1 C．4 D．3 【变式5-1】（2026·高二·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高二·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式5-3】（2026·高二·福建宁德·期中）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 题型 6：空间向量的数量积运算 【典例6-1】如图，已知正方体的棱长为1. (1)求的值； (2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围． 【典例6-2】（2026·高二·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【变式6-1】（2026·高二·广东广州·期中）如图，在长方体中，，点在棱的延长线上，且．设． (1)试用，，表示向量 (2)求． 【变式6-2】（2026·高二·安徽阜阳·期中）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，是线段上靠近点A1的四等分点，F1在棱C1D1上，且. (1)求向量的坐标; (2)求在上的投影向量的坐标. 【变式6-3】（2026·高二·陕西西安·期中）如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 【变式6-4】（2026·高二·广东中山·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求在方向上的投影向量. 题型 7：空间向量的垂直判定与应用 【典例7-1】（2026·高二·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【典例7-2】（2026·高二·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，、分别为线段，上的点，且. (1)求的长度； (2)若，，求的值. 【变式7-1】（2026·高二·内蒙古呼和浩特·期末）已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【变式7-2】（2026·高二·福建厦门·期中）已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 【变式7-3】（2026·高二·山西太原·期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，. (1)用向量表示向量； (2)求证. 题型 8：空间向量的模长计算 【典例8-1】（2026·高二·福建泉州·阶段检测）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【典例8-2】（2026·高二·四川成都·阶段检测）如图，在平行六面体中，，． 求： (1)； (2)的长． 【变式8-1】（2026·高二·福建福州·阶段检测）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 【变式8-2】（2026·高二·海南海口·阶段检测）已知空间三点，，，设，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)求； (3)若向量与互相垂直，求的值． 【变式8-3】（2026·高二·四川南充·阶段检测）（1）已知，． ①当时，求实数的值；②当时，求实数的值． （2）已知，，求的最小值 题型 9：空间向量的夹角求解 【典例9-1】已知空间三点，求的长和的大小. 【典例9-2】（2026·高二·吉林延边·阶段检测）已知，，求： (1)； (2)向量与夹角的余弦值. 【变式9-1】（2026·高二·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【变式9-2】（2026·高二·江苏·期中）已知空间四点． (1)求以为邻边的平行四边形面积； (2)若四点共面，求的值； (3)求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围． 【变式9-3】（2026·高二·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 1．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 2．（2026·高一·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 5．（2026·高二·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 7．（2026·高二·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 8．（多选题）在以下命题中，正确的命题有（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点 和不共线的三点 ，，，若，则， ，，四点共面 D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 9．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 10．（多选题）（2026·高二·江苏南京·阶段检测）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 11．（多选题）（2026·江苏盐城·模拟预测）平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 12．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 13．（2026·高二·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 14．（2026·高二·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 15．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1． 16．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)求的最小值. 17．如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面 18．（2026·高二·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 19．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 20．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $