3.4相似三角形相似的性质同步训练2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦相似三角形性质，分层设计从基础性质应用到动态综合问题，梯度合理，通过几何直观与推理能力培养，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一性质（周长比、中线比等）|选择1直接考查周长比，填空9结合中点得相似比，夯实概念理解| |中档|性质与判定综合应用|填空12通过折叠构建相似模型，解答15结合正方形证明相似，提升推理能力| |提升|动态几何与多问证明|解答18以动点为背景建立相似模型，需分类讨论t值，发展模型意识与创新思维|

3.4相似三角形相似的性质同步训练北师大版2026一2027学年九年级数学上册 一、选择题 1.若△ABC∽△DEF,AB=2,DE=3,则△ABC与△DEF的周长比是() A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:2 2.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC,CD和BE交于点O,如果 1 DE Saae=3Saom,那么BC的比值是（). A B青 c D.9 3.如图，已知△AOB∽aDOC,下列比例式正确的是() A 0 D ABOA B.OC"OD OA_OB ABOB OA_OC A.CDAC C.CDOC D.OBOD AD 2 4.如图，在AABC中，点D在边AB上，且DB3,过点D作DE∥BC交AC于点E: S 若△ADE和△BCE的面积分别为S和S,则S2的值为() B 4 A.25 C.15 D. 5.如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所 示，此时液面AB的宽度为() 、k6cm 15cm 11cm 7cm 水平线 A.3cm B.2.5cm C.3.2 cm D.2.8cm 6.如果两个相似三角形的面积比是25：4，则它们对应边上的中线之比为() A.4:25 B.25:4 C.5:2 D.2:5 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D.若AC=3,AB=4,则BD的长 为() 4 16 B. 0 15 A.5 5 c.3 D.4 8.如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，且点D在AB边上，AB=5,BD=3, EF 边BC与DE相交于点F,连接BE,则DF的值是() B D 2 A.3 B c.5 二、填空题 9.△1BC中，B,F分别是1C1B 的中点，连接BF,则：Sc= B 10.如图，在△ABC中，点D,E分别是BC,AC的中点，AD与BE相交于点R.若BF=6 ,则EF的长是 E B D C 11.如图1，一张矩形纸片ABCD,点E、F分别在AB,CD上，点G,H分别在AF、 EC上，现将该纸片沿AF,GH,EC剪开，拼成如图2所示的矩形，己知 DF:AD=5:12,GH=6,则AD的长是一 E H B 12.如图，将边长为6的正方形纸片ABCD按如图所示方式折叠（点E、F分别在边 AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，若点M为AD的三等分 点，则EF的长为一 M D B 三、解答题 13.如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ABC=∠ACD A D B C (I)求证：△ABC∽△ACD (2)若AD=2,AB=3,求AC的长 14.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC的中点，连接AD,作BE⊥AD,垂 足为E,连接CE B D (I)求证：△DBEADAB; (2)若S△Dc5,CE=2,求AC的长. 15.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D 重合，连接CE,过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F,EF交BC于点G. D ■ E G A (I)求证：△CDE≌aCBF: 2)当DE=2时，求CG的长. 16.如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC,∠ACB=∠ADE+∠BED,DF∥AC, A G D F E C B E C 图1 图2 (1)求证：∠BDE+∠FDE=180°： (2)求证：AD=AC+DF (3)如图2，作EG⊥BC交AB于G,点D是BG中点，H是EG上一点，∠HAE=∠B, D5=3,4C=7,CE=34 2,求EH的值 17.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点B在边BC上，满足 ∠BAE=∠ACB.连接AE交BD于点F,过点F作FGIIBC交CD于点G. B D G (I)求证：AF=AD: (2)求证：△DFGAFBA: DG (3)若BE=2EF,求FG的值. 18,如图，平面直角坐标系中，四边形018C为矩形，点A,B的坐标分别为3,0)，（位4） ，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段OA向终点A运动，同时点N以相同 速度从点B出发，沿线段BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC,交AC于点P,连接MP ,设运动时间为t秒. 环 N←-B C O→M (1)求直线AC的解析式， (2)用含t的代数式表示P的坐标（直接写出答案）· (3)是否存在t的值，使以P,A,M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出t的 值；若不存在，请说明理由， 参考答案 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.4 10.3 11.10 12 2√10213 或 13.(1)证明：，在△ABC和△ACD中 ∠ABC=∠ACD,∠A=∠A, .△ABC∽△ACD (2)解：.aABC△ACD」 、ABAC AC-AD, .AC2=AB·AD .AC2=2×3=6 .AC=±V6 (舍去负值)， 六1C的长为N6 14.(1)证明：，BE⊥AD ∴.∠BED=90° .∠ABC=90°」 ∴.∠BED=∠ABD, 在△DBE和△DAB中， ∠BED=∠ABD ∠BDE=∠ADB, ∴.△DBEP△DAB (2)解：，D是边BC的中点， .DC=DB. 由(1)已证：△DBE∽△DAB, DB DE ·DADB DC DE DA DC' 在△DCE和△DAC中， DC DE DA DC ∠CDE=∠ADC, △DCE∽△DAC, S.DAC= 4C)2 :SDCE CE) SADCE.=1 S.DAC=5 CE=2,SADAC5,即ScE 4C2 (2=s 解得1C=25或4C=-25<0(不符合题意，合去) 15.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .CD=BC,∠CDA=∠BCD=∠ABC=90°」 :∠CDE=∠CBF=90°，∠DCE+∠BCE=90°， .CF⊥CE .∠ECF=90°，则∠BCF+∠BCE=90°， ∴.∠DCE=∠BCF, :△CDE≌aCBF(ASA) (2)解：：四边形ABCD是正方形， .AD=AB=BC=1,AD∥BC,即AE∥BG, .△FBG∽AFAE」 BG BF .AE AF, 'ACDE≌ACBF, DE=I 2 ..BF-DE= ，AE=AD-DE= 2, 1 BG 2 .1 2 1+ 2 ..BG=1 6 :.CG=BC-BG=1-1-5 66 16.(1)证明：：DF∥AC ∴.∠DFB=∠ACB=∠ADE+∠BED ·.∠DFB=∠FDE+∠BED ∴.∠ADE=∠FDE ∠BDE+∠ADE=180°. :.∠BDE+∠FDE=180°： (2)证明：在AD上截取DH=DF,连接EH H B F E :DH=DR,∠ADE=∠FDE,DE=DE :△DFE≌△DHE(SAS) ∴.∠DFE=∠DHE. :∠C=∠BFD,∠BFD+∠DFE=18O° ∴.∠C+∠DHE=180° .∠AHE+∠DHE=180° ∴.∠AHE=∠C :AE平分∠BAC .∠HAE=∠CAE AE=AE :△CAE≌△HAE(SAS) .AC=AH. .AD=AH+DH AC+DF (3)解：在AD上截取DN=DF=3,连接NE, D 由(2)可得，△DNE≌△DFE,△ANE≌△ACE ·AN=AC=7,FE=E=CE=34 2, AD-AN+DN=10.CF-FE+CE=34 :DF∥AC △BDF∽△BAC BD BF DF ·BABC AC BD BF 3 .10+BDBF+3V147 :BD15 F=914 4 BE-BF+FE-I5 4, ·EG⊥BC,点D是BG中点， ∴.BD=DE=DG=) :△DNE≌△DFE,△ANE≌△ACE ∠DEF=∠DEN,∠AEC=∠AEN .·∠DEF+∠DEN+∠AEC+∠AEN=I80° ∴.∠AED=∠DEN+∠AEN=90° .EG⊥BC ∴.∠BEG=90° ∴.∠BEG=∠AED=90° ∴.∠BED=∠AEG=90°-∠DEG .∠HAE=∠B ∴.△AHE∽△BDE BE DE ·AEEH :D=10DE=15 AE-VAD-DE:5 151415 4 2 57 2 V 17.(1)证明：：BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD FG∥BC, ∴.∠FGA=∠ACB, .∠BAE=∠ACB. .∠BAE=∠ACB=∠FGA, ,∠AFD=∠BAE+∠ABD,∠ADB=∠CBD+∠ACB. .∠AFD=∠ADB, .AF AD (2)证明：，FG∥BC .∠CBD=∠DFG,∠ACB=∠FGA, 由(I)得∠ABD=∠CBD,∠BAE=∠ACB. .∠ABD=∠DFG,∠BAE=∠FGD, .△DFG∽△FBA. (3)解：，∠BFE=∠AFD=∠ADF,∠EBD=∠ABD, ∴.△BEF∽△BAD, .BE =2EF EF AD 1 BE BA 2' 又由(I)可得AD=AF, 由(2)知△DFGAFBA, 兴卧 18.【详解】(1)解：，四边形OABC为矩形， ∴.AO∥BC,OC∥AB, 3,0)(3,4) ,点A,B的坐标分别为 “点C04) 设直线AC的解析式为：y=x+b, [0=3k+b 由题意可得： 1b=4, 解得： b=4, 4 “直线4C的解析式为：y=3x+4: (2)延长NP,交OA于点G,可得出PG⊥OA, % N←B O→MGA 动点运动t秒后， ∴.BN=OM=t, .CN=3-t, 3,0)(0,4) ,点A,C的坐标分别为 .0A=3,0C=4. :4C=V04P+0C2=5 ,PG∥OC. .△APG∽△AC0」 PG AG AP ·OC0AAC, PG 1 AP ·.435, 3 4 .P点的坐标为 3-3月 (3)当∠AMP=∠AOC=90°时，且∠CA0=∠PAM,则△APM∽△ACO, AM AP ·A0AC, 5 t 3-1-3 35 3 1-2, 当∠APM=∠AOC=90°时，且∠CAO=∠PAM,则△APM∽△AOC, AP AM :.AO AC, 53 27 .t 34’ 327 综上所述：1=2或34·