第三章 圆的基本性质（考点+易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学知识清单系统梳理“圆的基本性质”单元内容，涵盖圆的定义、相关概念、位置关系、性质定理、应用计算等核心范畴，搭建从基础概念到性质应用再到易错辨析的递进式学习支架。 清单通过“知识点分级+易错点警示”呈现知识体系，如将“垂径定理及其推论”设为核心知识点，标注“平分弦（非直径）”关键条件，培养几何直观与推理意识。配套“对点训练”和“解题方法提示”，如扇形面积计算强调“割补法”转化，帮助学生高效突破难点，教师可直接用于课堂复习或分层教学。

第三章 圆的基本性质 知识点一 圆的认识及相关概念 1.1圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 1.2与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等。 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 1.3圆的基本性质：①轴对称性；②中心对称性。 知识点二 点与圆的位置关系及三角形的外接圆 2.1点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ③点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。 （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端。 2.2确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆。 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆。“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆。 2.3三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点。 ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。 ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。 知识点三 圆心角、弧、弦的关系 3.1定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3.2推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。 3.3正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。 这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分。 知识点四 垂径定理及其应用 4.1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.2垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 4.3垂径定理的应用 （1）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握。 知识点五 圆周角定理 5.1圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可。 5.2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 5.3注意： ①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形；利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化。 ②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化。 ③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。 ④在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构造直径所对的圆周角。 知识点六 圆内接四边形的性质 6.1圆内接四边形的性质 ①圆内接四边形的对角互补。 ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。 6.2注意： ①圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来。 ②在应用时要注意是对角，而不是邻角互补。 知识点七 正多边形和圆 7.1正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是不小于3的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 7.2正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点八 扇形的弧长和面积 8.1弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR； （2）弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）。 ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位； ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长； ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示； ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一。 8.2扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2； （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 ，也可表示为S扇形=（其中l为扇形的弧长）。 （4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法。 （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积。 8.3圆锥的相关计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高。 （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。 （3）圆锥的侧面积：； （4）圆锥的全面积： （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等；②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。 易错点1 忽视圆中相关概念的限制条件 易错提醒 1.直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；半圆是弧，但弧不一定是半圆。 2.表示优弧时必须用三个字母，表示劣弧可用两个字母；半圆既不是劣弧，也不是优弧。 3.长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，两者缺一不可，仅确定半径不能唯一确定一个圆。 【对点训练】1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等 ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 易错点2 忽视“同圆或等圆”的前提条件 易错提醒 1.圆心角、弧、弦、弦心距之间的等量关系（知一推三），必须建立在“同圆或等圆”的前提条件下。 2.在半径不相等的两个圆中，即使圆心角相等，所对的弧长、弦长也不相等，不能直接套用等量关系。 3.弦心距是指圆心到弦的垂线段的长度，在使用弦心距相等推弦相等时，务必确认是在同圆或等圆中。 【对点训练】2．（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 易错点3 垂径定理推论中忽视“非直径”及分类讨论 易错提醒 1.垂径定理推论中，“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”这一结论中，括号内的“不是直径”是必要条件，被平分的弦如果是直径，则不一定垂直于另一条直径。 2.在解决圆内两条平行弦的距离问题时，必须分圆心在两条平行弦的同侧和异侧两种情况画图讨论，容易漏解。 3.涉及弦长、半径、弦心距的计算时，常需构造直角三角形（作弦心距、连半径），运用勾股定理列方程，不能盲目猜测数值。 【对点训练】3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 易错点4 圆周角定理及其推论运用错误 易错提醒 1.圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上，且角的两边都与圆相交（均为弦）。 2.圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，也等于同弧所对圆心角度数的一半，注意不要与“等于圆心角”混淆。 3.必须找准“同弧或等弧”，不能随意将不同弧所对的圆周角视为相等。 4.直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径，这两个互逆命题在解题中经常需要相互转化。 【对点训练】4．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）点、、是上不同的三点，已知，则____度． 易错点5 混淆圆内接四边形的性质前提 易错提醒 1.只有四个顶点都在同一个圆上的四边形才叫圆内接四边形，其核心性质是对角互补，不是所有四边形都适用。 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，使用该性质时需找准对应的内对角，不要找错。 3.解决圆内接四边形角度问题时，常结合圆周角定理、平行线性质或三角形内角和进行综合推理，切忌硬背孤立结论。 【对点训练】5．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 易错点6 混淆正多边形的内角与中心角公式及对称性 易错提醒 1.正n边形的每个内角公式是，而中心角公式是，两者切勿混淆。 2.牢记正六边形的特殊性质：边长等于外接圆的半径，其他正多边形无此特殊性质。 3.正n边形有n条对称轴；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形又是中心对称图形；当n为奇数时，它只是轴对称图形，不是中心对称图形。 【对点训练】6．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 易错点7 弧长、扇形面积及圆锥展开图中概念混淆与公式误用 易错提醒 1.准确记忆弧长公式与扇形面积公式，不要混淆分母180与360。 2.圆锥侧面展开图中，扇形的弧长等于底面圆的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长，两个长度概念不可混为一谈。 3.求不规则图形（如弓形、旋转扫过面积）的阴影面积时，要运用“割补法”转化为规则图形面积的和或差，切忌盲目加减导致漏算或重复计算。 【对点训练】7．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 一、单选题 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）下列结论正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 3．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 4．（2026·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，点是上一点，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的直径，，、、是的弦，且，点是直径上的一动点，则的最小值（    ）． A． B． C． D．10 6．（24-25九年级上·山西忻州·期中）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏苏州·三模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北邢台·二模）如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 10．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 11．（22-23九年级下·广东东莞·开学考试）数学文化无处不在，其中莱洛三角形就给人以对称的美感． 画法如下：取一等边三角形，以其中一点为圆心，边长为半径画过另外两点的弧，以此类推，得到三个圆弧的封闭图形． 若莱洛三角形的周长为，则它的面积为 （  ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，则下列结论正确的有（   ）个． ①，②，③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 14．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 15．（2026·辽宁锦州·一模）如图，，是上的两点，是的直径，且平分．若，则的度数是_______． 16．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 17．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 18．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 三、解答题 19．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的顶点，，在上，． (1)求证是菱形； (2)求的度数． 20．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 21．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 22．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 23．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 24．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆的基本性质 知识点一 圆的认识及相关概念 1.1圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 1.2与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等。 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 1.3圆的基本性质：①轴对称性；②中心对称性。 知识点二 点与圆的位置关系及三角形的外接圆 2.1点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ③点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。 （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端。 2.2确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆。 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆。“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆。 2.3三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点。 ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。 ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。 知识点三 圆心角、弧、弦的关系 3.1定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 3.2推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。 3.3正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。 这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合。在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分。 知识点四 垂径定理及其应用 4.1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 4.2垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 4.3垂径定理的应用 （1）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握。 知识点五 圆周角定理 5.1圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可。 5.2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 5.3注意： ①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形；利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化。 ②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转化。 ③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角。 ④在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构造直径所对的圆周角。 知识点六 圆内接四边形的性质 6.1圆内接四边形的性质 ①圆内接四边形的对角互补。 ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）。 6.2注意： ①圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来。 ②在应用时要注意是对角，而不是邻角互补。 知识点七 正多边形和圆 7.1正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是不小于3的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。 7.2正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心； ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径； ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角； ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点八 扇形的弧长和面积 8.1弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR； （2）弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）。 ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位； ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长； ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示； ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一。 8.2扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2； （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 ，也可表示为S扇形=（其中l为扇形的弧长）。 （4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法。 （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积。 8.3圆锥的相关计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高。 （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。 （3）圆锥的侧面积：； （4）圆锥的全面积： （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等；②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。 易错点1 忽视圆中相关概念的限制条件 易错提醒 1.直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦；半圆是弧，但弧不一定是半圆。 2.表示优弧时必须用三个字母，表示劣弧可用两个字母；半圆既不是劣弧，也不是优弧。 3.长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才叫等弧。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，两者缺一不可，仅确定半径不能唯一确定一个圆。 【对点训练】1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等 ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 易错点2 忽视“同圆或等圆”的前提条件 易错提醒 1.圆心角、弧、弦、弦心距之间的等量关系（知一推三），必须建立在“同圆或等圆”的前提条件下。 2.在半径不相等的两个圆中，即使圆心角相等，所对的弧长、弦长也不相等，不能直接套用等量关系。 3.弦心距是指圆心到弦的垂线段的长度，在使用弦心距相等推弦相等时，务必确认是在同圆或等圆中。 【对点训练】2．（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，根据弧、圆心角的关系求出，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 作图知垂直平分， ∴，弧弧， 为等边三角形， ， 弧弧， ， ． 易错点3 垂径定理推论中忽视“非直径”及分类讨论 易错提醒 1.垂径定理推论中，“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”这一结论中，括号内的“不是直径”是必要条件，被平分的弦如果是直径，则不一定垂直于另一条直径。 2.在解决圆内两条平行弦的距离问题时，必须分圆心在两条平行弦的同侧和异侧两种情况画图讨论，容易漏解。 3.涉及弦长、半径、弦心距的计算时，常需构造直角三角形（作弦心距、连半径），运用勾股定理列方程，不能盲目猜测数值。 【对点训练】3．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 易错点4 圆周角定理及其推论运用错误 易错提醒 1.圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上，且角的两边都与圆相交（均为弦）。 2.圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，也等于同弧所对圆心角度数的一半，注意不要与“等于圆心角”混淆。 3.必须找准“同弧或等弧”，不能随意将不同弧所对的圆周角视为相等。 4.直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径，这两个互逆命题在解题中经常需要相互转化。 【对点训练】4．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段检测）点、、是上不同的三点，已知，则____度． 【答案】140或60 【分析】分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】根据圆周角定理，可知一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此得 解：分两种情况： 如图，当点在优弧上时， ∵，， ∴ ， ∴； 如图，当点在劣弧上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 易错点5 混淆圆内接四边形的性质前提 易错提醒 1.只有四个顶点都在同一个圆上的四边形才叫圆内接四边形，其核心性质是对角互补，不是所有四边形都适用。 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，使用该性质时需找准对应的内对角，不要找错。 3.解决圆内接四边形角度问题时，常结合圆周角定理、平行线性质或三角形内角和进行综合推理，切忌硬背孤立结论。 【对点训练】5．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 易错点6 混淆正多边形的内角与中心角公式及对称性 易错提醒 1.正n边形的每个内角公式是，而中心角公式是，两者切勿混淆。 2.牢记正六边形的特殊性质：边长等于外接圆的半径，其他正多边形无此特殊性质。 3.正n边形有n条对称轴；当n为偶数时，正n边形既是轴对称图形又是中心对称图形；当n为奇数时，它只是轴对称图形，不是中心对称图形。 【对点训练】6．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合问题，涉及中心角的求解，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，求出中心角的度数． 连接，先求出中心角，，然后证明，再由等腰三角形的性质求解的度数，最后由角度和差计算求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 易错点7 弧长、扇形面积及圆锥展开图中概念混淆与公式误用 易错提醒 1.准确记忆弧长公式与扇形面积公式，不要混淆分母180与360。 2.圆锥侧面展开图中，扇形的弧长等于底面圆的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长，两个长度概念不可混为一谈。 3.求不规则图形（如弓形、旋转扫过面积）的阴影面积时，要运用“割补法”转化为规则图形面积的和或差，切忌盲目加减导致漏算或重复计算。 【对点训练】7．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【答案】平方米 【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据 计算即可． 【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接， ∵为直径， ∴，即， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴米， ∴ 平方米． 答：阴影部分的面积为平方米． 一、单选题 1．（26-27九年级上·北京·课堂例题）下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 2．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）下列结论正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．经过三点确定一个圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了圆的有关性质：在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，相等的圆心角所对的弧相等；不在同一直线上的三点确定一个圆，三角形的内心到三角形三边的距离相等．根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本选项错误； B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误； D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故本选项正确； 故选：D． 3．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 4．（2026·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，点是上一点，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得，根据同弧所对的圆周角相等得，可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 在中，所对的圆周角有和， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的直径，，、、是的弦，且，点是直径上的一动点，则的最小值（    ）． A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点，连接，则与的交点即为所求的点P，连接，推出为的直径，进而即可求解． 【详解】如图，作点C关于的对称点，连接，则与的交点即为所求的点P，连接， ∵是的直径，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的直径， ∵是的直径，， ∴的最小值为10， 故选：D． 6．（24-25九年级上·山西忻州·期中）如图，弦所对的圆心角为，为直径，在半圆上滑动，是的中点，点是点对所作垂线的垂足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、，先根据等腰三角形的性质得到，，由于根据圆周角定理得到点A和点M都在以为直径的圆上，所以． 【详解】解：如图，连接、、， ∵，而为的中点， ∴，平分，即， ∵， ∴点和点都在以为直径的圆上， ∴． 7．（2026·江苏苏州·三模）如图，已知四边形是平行四边形，经过点，与相交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据圆内接四边形的性质得，然后根据三角形外角的性质得，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 8．（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用正多边形中心角与边长的关系，当正多边形的边长与外接圆半径相等时，中心角对应的三角形为等边三角形，中心角为，从而边数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正多边形中心为，相邻顶点，（外接圆半径），（边长），且， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正多边形的边数， 故选：． 9．（2026·河北邢台·二模）如图，和分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若，则下列说法不正确的是（     ） A．该圆的半径是1 B．弦的长是 C．的长为 D．是的2倍 【答案】C 【分析】先将图形补充完整，再根据圆的内接正六边形和内接正方形性质，求出半径，利用勾股定理，弧长公式逐项分析即可． 【详解】解：如图，将圆、正方形，正六边形补充完整， 设正方形对角线交点为，连接， 对于A，由图形，正方形四个角都为，圆内接正方形的对角线为圆的直径， 点为圆的圆心，也为圆内接正六边形的中心， ，且， 为等边三角形， 该圆的半径，故A选项正确，不符合题意； 对于B，，弦的长是，故B选项正确，不符合题意； 对于C，， 的长为，故C选项错误，符合题意； 对于D，， 是的2倍，故D选项正确，不符合题意． 10．（2026·宁夏·中考真题）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 11．（22-23九年级下·广东东莞·开学考试）数学文化无处不在，其中莱洛三角形就给人以对称的美感． 画法如下：取一等边三角形，以其中一点为圆心，边长为半径画过另外两点的弧，以此类推，得到三个圆弧的封闭图形． 若莱洛三角形的周长为，则它的面积为 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义——莱洛三角形．熟练掌握等边三角形性质，勾股定理，弧长公式，扇形面积公式，三角形面积公式，是解题的关键． 根据等边三角形性质得，得，设，求出，过点A作于点D，得，由勾股定理得，由即可得解． 【详解】解：设莱洛三角形为，连接，过点A作于点D， 则， ∴， 设， 由弧长公式知， ， ∴， ∵， ∴ ∴ ， 故选：B． 12．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，则下列结论正确的有（   ）个． ①，②，③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质．根据圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 观察四个结论，只有③错误，其余3个正确； 故选：B． 14．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 二、填空题 15．（2026·辽宁锦州·一模）如图，，是上的两点，是的直径，且平分．若，则的度数是_______． 【答案】/56度 【分析】由直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求出，再利用角平分线性质得，最后由同弧所对圆心角等于圆周角的倍求出． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 平分， ， 与所对的是同一条弧， ． 16．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 17．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和圆的半径相等，可得到，是等边三角形，由此可得圆心角的度数为，利用直角三角形所对的边等于斜边的一半和勾股定理可解得，，用扇形面积减去四边形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 18．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 三、解答题 19．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的顶点，，在上，． (1)求证是菱形； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：如图，过点作，，垂足分别为、， ， ，，， ， 又，， ， 在和中， ，， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理以及角平分线上的点的特征得出，，再根据全等三角形的判定和性质得出，进而得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论； （2）根据垂径定理，圆的对称性以及全等三角形的性质可得，设，得到，，，由三角形内角和定理列方程求出的值即可． 本题考查菱形的判定和性质，圆周角定理以及平行四边形的性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系以及菱形的判定和性质是正确解答的关键． 【详解】（1）略 （2）解：连接、、、， 由垂径定理以及圆的对称性可知，， 设，则，， ， 在中，，， 由三角形内角和定理得，， 解得， ． 20．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，弦垂直平分半径，为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的半径 (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． （1）根据垂径定理得的长，再根据平分得，根据勾股定理列方程求解即可得答案； （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵弦垂直平分半径，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴ 21．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的直径，于点， ． 是的中点， ， ， ． (2)5 【分析】本题考查了圆心角定理，垂径定理，熟练掌握圆心角定理及垂径定理是关键． （1）根据垂径定理，得到，即可证明，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接OD，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接OD， 由（1）可知，， 是的直径，于点， ，             设的半径为，则， 在Rt中，， 即， 解得， 的半径为5． 22．（25-26九年级上·江苏南通·期中）历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！ (1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分） (2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距． 【答案】(1) 如图，六边形即为所求； (2)． 【分析】本题考查作图复杂作图正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在上任意取一点，以为圆心，为半径把六等分可得正六边形； （2）连接，，过点作于点证明是等边三角形，进而求出，根据勾股定理即可求出，问题得解． 【详解】（1）解：由作图可得， ∴，， ∴， ∴六边形是圆内接正六边形； （2）解：连接，，过点作于点． ∵六边形是圆内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边心距为． 23．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明： 是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 24．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点D为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质可知，在上任取一点G，连接，把放到圆内接四边形中求解即可； （2）由点D为AC的中点可证为等边三角形，进而确定出所在的扇形的圆心角度数，代入公式求解即可． 【详解】（1）解：如图1，在上任取一点G，连接． ，是的中点， ， ． , 在圆内接四边形中， ， ； （2）解：如图2，连接． ，D为的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长为 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $