13.3.2三角形的外角讲义2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形外角核心知识点，从定义识别（含定义、三个特征、6个外角数量及邻补角关系）到外角定理（内角和法、平行线法两种证明），再到外角性质（等于不相邻内角和、大于任一不相邻内角）、外角和360°证明，最后通过典型例题及外角平分线模型构建完整学习支架。 资料以实例和特征表培养抽象能力，多种证明方法发展推理意识，模型公式总结与中考真题链接强化模型意识与应用意识。课中例题精讲助力教师高效授课，课后模型归纳和真题练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

人教版八年级数学 · 13.3.2 三角形的外角 · 讲义 13.3.2 三角形的外角讲义 一、外角的定义与识别 1. 外角的定义 三角形内角的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 例如：在△ABC中，将BC边延长至D，则∠ACD就是△ABC的一个外角。 2. 外角的三个特征 序号 特征说明 ① 顶点在三角形的一个顶点上 ② 一条边是三角形的一条边 ③ 另一条边是三角形某条边的延长线 3. 外角的数量 每个顶点处有2个外角（方向相反，互为对顶角，大小相等）。 结论： 一个三角形共有6个外角，分为3对对顶角，每对相等。 4. 外角与相邻内角的关系 重要性质： 外角与它相邻的内角互为邻补角，即它们的和为180°。 利用平角的定义即可得。这个关系后续证明外角定理时会用到。 二、外角定理及其证明 外角定理（推论）： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 几何语言（满分模板）： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，∴ ∠ACD = ∠A + ∠B。 证明方法①：利用内角和定理 已知：∠ACD是△ABC的一个外角。 求证：∠ACD = ∠A + ∠B。 证明： ∵ ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理）， ∴ ∠A + ∠B = 180° - ∠ACB。 ∵ ∠ACD + ∠ACB = 180°（平角定义）， ∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB。 ∴ ∠ACD = ∠A + ∠B（等量代换）。 证明方法②：作平行线法（转化思想） 作法：过点C作CE ∥ AB。 证明： ∵ CE ∥ AB（已作）， ∴ ∠ACE = ∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠ECD = ∠B（同位角相等）。 ∴ ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD = ∠A + ∠B。 ∴ ∠ACD = ∠A + ∠B。 两种证法对比： 方法①用“内角和定理+邻补角”，简洁直接；方法②用“平行线转移角”，体现转化思想。两种方法都当尽掌握！ 三、外角的两大性质 性质①：外角 = 不相邻两内角之和 即外角定理本身。它是解决“求角”问题的利器。 性质②：外角 > 任一不相邻内角 由性质①可得：∠ACD = ∠A + ∠B。 因为 ∠A > 0° 且 ∠B > 0°， ∴ ∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。 这个性质可用来进行角的大小比较和不等关系证明。 应用示例 【例】已知∠A=70°，∠B=60°，求∠ACD的度数。 解： 由外角定理： ∠ACD = ∠A + ∠B = 70° + 60° = 130°。 验证：∠ACB = 180°-70°-60° = 50°，∠ACD = 180°-50° = 130°，结果一致。 四、三角形外角和为360° 外角和定理： 三角形的外角和等于360°。 说明：在每个顶点处取一个外角（共3个），它们的和为360°。 证明方法①：利用邻补角关系 证明： ∵ ∠1 + ∠BAC = 180° …… ① ∠2 + ∠ABC = 180° …… ② ∠3 + ∠BCA = 180° …… ③ ①+②+③得： (∠1+∠2+∠3) + (∠BAC+∠ABC+∠BCA) = 540°。 ∵ ∠BAC+∠ABC+∠BCA = 180°（内角和定理）， ∴ ∠1+∠2+∠3 = 540° - 180° = 360°。 证明方法②：利用外角定理 ∵ ∠1 = ∠ABC + ∠BCA ∠2 = ∠BAC + ∠BCA ∠3 = ∠BAC + ∠ABC ①+②+③得： ∠1+∠2+∠3 = 2(∠BAC+∠ABC+∠BCA) = 2×180° = 360°。 证明方法③：旋转观点 想象一个人沿着三角形的边走一圈，每次在顶点处转弯的角就是外角。走完一圈后正好转了一周，即360°。 五、典型例题精讲 【例1】基础应用：求三个外角的和 如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，求它们的和。 解法①（外角定理法）： ∵ ∠BAE = ∠2 + ∠3 ∠CBF = ∠1 + ∠3 ∠ACD = ∠1 + ∠2 ①+②+③得： ∠BAE+∠CBF+∠ACD = 2(∠1+∠2+∠3) = 2×180° = 360°。 解法②（邻补角法）： ∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3=180°。 三式相加得：左边=540°，减去内角和180°→外角和=360°。 思路分析： 求外角和有两大思路：①用外角定理将每个外角“拆”成两个内角→汇总→2倍内角和；②用邻补角“平角”性质→3个180°减去1个180°。 【例2】综合应用：外角平分线模型 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于O，延长BO交∠ACB的外角平分线于D。若∠BOC=130°，求∠D。 解析： 关键识别“内角平分线+外角平分线”的组合。 设∠ACB = 2α，则∠ACO = α（OC平分∠ACB）。 设∠ACE = 2β，则∠ACD = β（CD平分外角∠ACE）。 ∵ ∠ACB + ∠ACE = 180°（邻补角）， ∴ 2α + 2β = 180° → α + β = 90°。 在△OCD中：∠OCD = α + β = 90°。 ∴ ∠D = 180° - ∠BOC - ∠OCD = 180° - 130° - 90° → ❌ 这种算法有误。 正确解法： 在△COD中：∠D = ∠BOC - ∠OCD = 130° - 90° = 40°。 重点公式： “内角平分线+外角平分线”在顶点处的夹角恒为90°（因为它们分别拆了一个内角和一个外角的一半，而内角+外角=180°）。 【例3】外角定理+平行线 AB∥CD，连接BC，E是BC上一点。已知∠A=50°，∠C=30°，求∠AEC。 解法： 在△AEC中，∠AEC是△ABC的外角（对于∠A和∠C而言）。 由外角定理： ∠AEC = ∠A + ∠C = 50° + 30° = 80°。 技巧： “二击一”模型的变式——直接用外角定理求角，无需冒泡算内角。看到“三角形外那个角”第一反应就是用外角定理。 【例4】外角定理求角+分类讨论 已知等腰三角形的一个外角为150°，求它的底角。 解析： 外角=150°，对应的相邻内角=180°-150°=30°。 情形①：30°是顶角（钝角作顶角）。 → 底角=(180°-30°)÷2=75°。 情形②：30°是底角。 → 已知底角=30°。 综上：底角为75°或30°。 【例5】外角性质应用：角大小比较 在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，比较∠ACD与∠A、∠B的大小关系。 解： ∠ACD = ∠A + ∠B = 40° + 70° = 110°。 ∴ ∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。 具体：∠ACD = 110° > 70° = ∠B > 40° = ∠A。 【例6】综合题：双外角平分线模型 如图，△ABC中，∠ABC外角平分线与∠ACB外角平分线交于P，探究∠BPC与∠A的关系。 解析： 这是“双外角平分线模型”的经典结论： ∠BPC = 90° - ½ ∠A。 推导思路： ∠PBC = 90° - ½∠ABC（外角平分线与内角关系）， ∠PCB = 90° - ½∠ACB， ∠BPC = 180° - (90°-½∠ABC) - (90°-½∠ACB) = ½(∠ABC+∠ACB) = ½(180°-∠A) = 90° - ½∠A。 六、外角平分线模型（中考热点） 1. 单外角平分线模型 如图，AM是∠DAC的平分线，且AM ∥ BC。 由AM∥BC得：∠DAM=∠B，∠CAM=∠C（平行线性质）。 由AM平分∠DAC得：∠DAM=∠CAM。 ∴ ∠B = ∠C，即△ABC是等腰三角形。 结论： 三角形外角平分线平行于对边 ⇒ 该三角形是等腰三角形。 2. 双内角平分线模型 O是∠ABC和∠ACB平分线交点。 ∠BOC = 90° + ½∠A。 推导：∠OBC=½∠ABC，∠OCB=½∠ACB。 ∠BOC=180°-½(∠ABC+∠ACB)=180°-½(180°-∠A)=90°+½∠A。 3. 内角+外角平分线模型 BO平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角。 ∠BPC = ½ ∠A。 推导：∠PCE=∠A+∠ABC（外角定理）， ∠PCE=2∠PCB+∠BPC（外角定理）。 聚合得：2∠PBC+∠BPC=∠A+∠ABC， 即 2∠PBC+∠BPC=∠A+2∠PBC → ∠BPC=½∠A。 三大模型公式总结：① 双内角平分线：∠P = 90° + ½∠A ② 内+外角平分线：∠P = ½∠A ③ 双外角平分线：∠P = 90° - ½∠A 七、中考真题链接 【真题1】（2024·天津·改编） 在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，CE平分∠ACB交AB于E，求∠CEB。 解析： ∠A+∠B=90°，∠B=2∠A → 3∠A=90° → ∠A=30°，∠B=60°。 CE平分∠C=90° → ∠ACE=∠BCE=45°。 ∠CEB = ∠A + ∠ACE = 30° + 45° = 75°。 【真题2】（2024·辽宁·改编） AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，求∠D。 解析： ∵ AB∥CD，∠B=∠1=68°（平行线性质）。 ∵ ∠D+∠E=∠1（外角定理）， ∴ ∠D = 68° - 20° = 48°。 【真题3】（2024·黑龙江大庆） 在△ABC中，∠A=40°，D是∠ABC和∠ACB平分线交点，求∠BDC。 解析： 用“双内角平分线模型”公式： ∠BDC = 90° + ½∠A = 90° + 20° = 110°。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $