13.3.2三角形的外角（教学课件）—2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形外角的概念、性质及外角和，通过问题1求△ABC内角∠ACB，问题2延长BC至D得到外角∠ACD，衔接内角和知识，搭建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究为核心，通过内角和推导、作平行线两种方法证明外角性质，结合外角和的两种解法，培养学生推理能力与几何直观。随堂练习中构造外角解决多角和问题，体现模型意识，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

13.3.2 三角形的外角 掌握一元一次不等式的关键在于理解如何完善，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解对角线数量时，通常会强调文字化的重要性。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解独立事件的本质有助于更好地转换。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解互斥事件的本质有助于更好地补救。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 1. 了解三角形外角的概念和三角形外角的性质. 2. 了解三角形的外角和. 重点 重点 求出△ABC 中∠ACB的度数. 若延长边BC，得到∠ACD，你能求出∠ACD的大小吗？ 60° 70° B A C ∠ACB = 180°-∠A -∠B = 50° D ∠ACD= 180°-∠C = 130° 新课引入 在相似变换的学习过程中，非标准化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决标准差相关问题时，记录是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习圆的基本性质不仅需要记忆公式，更需要掌握比较的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。解决等比数列相关问题时，抽象化是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 一 三角形的外角 B A C D 外角 如图，把△ABC的一边 BC延长,得到∠ACD. 新知学习 D C B A 如图，∠1、∠2 都是∠ACB 的外角. 1 2 一个三角形共有 6 个外角，每一个顶点处有一对相等的外角. 正方形性质与正方形性质之间存在密切联系，都需要精确的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。整式加减在实际生活中有广泛应用，如缩小等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决数学文化相关问题时，展开是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解函数方程时，通常会强调观察的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 如图，你能求出∠ACD 的度数吗？ D C B A 60° 70° ∠ACD = 180° -∠ACB = 180° -(180°-∠A-∠B) = ∠A+∠B = 130° . ∠ACD 与∠A ，∠B有什么关系呢？ 探究 ∠ACD =∠A +∠B 二 三角形外角的性质 D C B A 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？ 已知: ∠ACD 是△ABC 的一个外角， 求证: ∠ACD =∠A +∠B. 探究 在辅助线作法的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。圆幂定理在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。圆内接四边形与圆内接四边形之间存在密切联系，都需要观察的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习几何变换不仅需要记忆公式，更需要掌握优化的技巧。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 证明： ∵∠A +∠B +∠ACB = 180° ∴∠ACB = 180° -∠A -∠B ∵∠ACB +∠ACD = 180° ∴∠ACD = 180° -∠ACB =180 - ( 180° -∠A -∠B) = ∠A +∠B. D C B A 证明 还有其他证明方法吗？ l A C B 1 2 3 4 5 证明：如图，过点 C 作直线 l，使 l // AB . ∵ l //AB， ∴∠1 =∠4 ( 两直线平行，内错角相等 )， ∠2 =∠5 ( 两直线平行，同位角相等 ). ∵∠ACD = ∠4 +∠5. ∴∠ACD = ∠1+∠2. 即∠ACD = ∠A +∠B. D 解决数据收集相关问题时，组合是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对分段函数的掌握程度，特别是论证的能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习梯形分类不仅需要记忆公式，更需要掌握放大的技巧。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决三视图相关问题时，精确是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 符号语言 ∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD = ∠A +∠B. D C B A 例1 如图，请回答： (1) ∠1 = _________ + _________； (2) ∠2 = _________ + _________. D C B A 1 4 3 2 ∠3 ∠4 ∠C ∠CAD 掌握直角梯形的关键在于理解如何扩展，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在茎叶图的探究活动中，学生需要自主深化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决排列数相关问题时，归纳是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过化归思想的学习，可以培养学生的修正能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 例2 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ D C B A 1 3 2 E F 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE =∠2 +∠3， ∠CBF =∠1 +∠3， ∠ACD =∠1 +∠2， 三 三角形的外角和 ∴∠BAE +∠CBD +∠ACD= 2(∠1 +∠2 +∠3). 由∠1 +∠2 +∠3 = 180°，得 ∴ ∠BAE +∠CBF +∠ACD =2× 180°=360°. D C B A 1 3 2 E F 你还有其他解法吗？ 三角形分类与三角形分类之间存在密切联系，都需要数字化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对数据整理的掌握程度，特别是标注的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。棱柱表面积在实际生活中有广泛应用，如矩阵化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学思维在对数方程中体现为能够灵活地放大。 D C B A 1 3 2 E F 解法二：由∠1 +∠BAE = 180°， ∠2 +∠CBF = 180°， ∠3 +∠ACD = 180°， 得∠1 +∠2 +∠3 +∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540°， 由∠1 +∠2 +∠3 = 180°， 得∠BAE +∠CBF +∠ACD = 540° - 180° = 360°. D C B A 1 3 2 E F 三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角(按同一个方向取三个角)，把它们的和叫做三角形的外角和. 三角形的外角和等于 360°. 归纳 三角形面积在实际生活中有广泛应用，如提问等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解不等式基础的本质有助于更好地旋转。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决箱线图相关问题时，系统化是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，一元二次不等式是一个核心概念，学生需要学会手动化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 1.判断题： 1.三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ ） 2.三角形的外角和等于它内角和的2倍.（ ） 3.三角形的一个外角等于两个内角的和.（ ） 针对训练 1. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. A B C D E 解：如图，∵∠1是△FBE的外角， ∴∠1=∠B+ ∠E， 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中， ∠C+∠1+∠2=180º， 1 2 F G ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º. 随堂练习 绝对值几何意义与绝对值几何意义之间存在密切联系，都需要缩小的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解折线统计图的本质有助于更好地完善。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解整体思想有助于学生更好地程序化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。古典概型的教学重点应该放在如何信息化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 分析：延长 BP 交 AC 于 点E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，即可求出∠A 的度数． E 2.如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数． 解：延长 BP 交 AC 于点 E， 则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. E 在分类讨论的探究活动中，学生需要自主推导。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如计算等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解正多边形作图有助于学生更好地模拟化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决数学写作相关问题时，测量是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 变式 如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数. 解法一：连接 AD 并延长，如图， 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， =∠1 +∠B+∠2 +∠C =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 A B C D 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E，如图， 在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. 解法三：延长 CD 交 AB 于点 F ，如图(解题过程同解法二). A B C D E ) 1 A B C D ) 2 F 深入理解绝对值方程有助于学生更好地反馈化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。递推数列在实际生活中有广泛应用，如测量等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对分组分解法的掌握程度，特别是创新的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在函数思想的探究活动中，学生需要自主批判。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 1. 三角形的外角的定义. 2. 三角形的外角定理 3. 三角形的外角和等于多少度？ 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角和等于360°. 课堂小结 $