·预习手册22《5.4概率的应用——概率帮你估计》预习讲义 2026年暑假苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册22 《第5章等可能条件下的概率第4节概率的应用——概率帮你估计》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   理解频率稳定性定理，区分频率与概率的联系与区别，掌握 “ 大量重复试验下，可用频率估计概率 ” 的核心原理 。 2.   学会两种基础估算模型： ① 根据摸球试验频率估算袋子内球的数量； ② 抽样标记法估算池塘、山林中生物总数。 3.   看懂试验频数统计表、频率折线统计图，能根据表格数据计算频率、估计事件概率。 4.   能识别两类题型适用场景：等可能事件用树状/列表算理论概率；结果不均等、总体数量庞大时用频率估计概率。 5.   培养数据分析能力，理解估计值为近似值，试验次数越多、样本容量越大，估算结果误差越小。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.频率与概率的关系：试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，可用频率近似代替概率。 2.摸球估算总数题型的列式计算；标记重捕法估算总体数量的计算公式与实际应用。 3.从频数表格中提取数据，计算频率并完成估算。 （二）难点 1.辨析频率（随机、随试验变化）与概率（固定客观常数），避免概念混淆。 2.理解标记重捕法的数学逻辑，建立比例等式求解总体数量。 3.理解 “ 少量试验的频率误差大，不能用来估计概率 ” ，掌握估算的前提条件。 ) 三．自主探究 （一）用频率估计概率 1.频率定义 在重复试验中，频率=，每次试验的频率是变化、随机的。 2.频率稳定性定理 大量重复同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。 3.核心结论 试验次数越多，频率越接近真实概率；只有大量试验，才能用频率估计概率；少量试验的频率误差大，不能用来估算。 （二）频率与概率区别&联系 1.二者区别 频率 概率 通过试验计算得出，是实际值 事件本身固有，是理论值 数值不稳定，试验改变，频率改变 数值固定，不会随试验变化 只能近似反映事件发生可能性 准确刻画事件发生可能性 2.二者联系（核心） （1）试验次数很少时，频率波动很大，和概率差距可大可小； （2）大量重复试验时，频率会在概率附近摆动，摆动幅度越来越小（频率的稳定性）； （3）当试验次数足够大时，可以用频率估计概率，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 （三）两大必考估算模型（应用题核心） 模型1：袋中摸球估算总数（有放回抽样） 适用：袋子里同种材质小球，已知某颜色球真实数量，多次摸球统计频率，求总球数。 等量关系：≈试验中摸到该颜色球的频率 例题：袋中有15个红球，有放回摸300次，60次摸到红球，求总球数。 解：频率==0.2，设总球数x，=0.2，解得x=75。 模型2：标记重捕法（估算生物总数：鱼塘鱼、山林动物） （1）操作步骤： ① 第一次捕捉M个个体，全部标记后放回，充分混合； ② 一段时间后，第二次捕捉n个个体，其中带标记的有m个； 等量关系（样本标记频率≈总体标记概率）： = 变形求总体：N= 例题：池塘标记30条鱼放回，重捕120条，其中6条带标记，估算总鱼数。 N==600条。 （四）生活拓展应用：产品成活率、合格率 1.已知大量试验的成活/合格频率，估计总体概率； 2.给定目标成活数量，反求需要的总数量： 总数量= 四．经典例题 例1.（2025盐城盐都区期末）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（ ） A. 试验5次的频率就是事件的概率 B. 大量重复试验，频率会稳定在概率附近 C. 频率等于概率 D. 试验次数越少，频率越接近概率 例2.（2026南通通州区一模）养殖户用标记重捕法估算鱼塘鱼总数，第一次标记30条鱼放回，重捕100条，其中5条带标记，估算总鱼数为（ ） A.300 B.600 C.800 D.1000 例3.（2024苏州吴江区期末）袋中有12个红球，大量有放回摸球后，摸到红球频率稳定0.3，袋中总球数为（ ） A.36 B.40 C.48 D.60 例4.（2025泰州姜堰区期末）树苗移植试验，移植1000棵成活890棵，估计成活概率为（ ） A.0.89 B.0.9 C.0.8 D.0.11 例5.（2025淮安淮安区期末）大量重复试验，可用稳定后的____估计概率。 例6.（2026徐州云龙区一模）标记重捕法估算种群数量，样本标记频率≈____标记概率。 例7.（2024扬州广陵区期末）摸球次数过少时，频率____用来准确估计概率。 例8.（2025镇江丹徒区期末）抽检零件500个，480个合格，估计零件合格率为____。 例9.（2025连云港海州区期末）不透明布袋装有若干黄球，放入20个完全相同白球，搅匀后有放回摸球400次，80次摸到白球。 (1)求摸到白球的试验频率； (2)估算布袋中原有的黄球数量； (3)若仅摸20次估算，结果是否可靠？说明理由。 例10.（2026宿迁宿城区一模）鱼塘养殖池，第一次捕捞40条鱼标记后全部放回；一周后重捕120条，其中8条带有标记。 (1)用标记重捕公式列式计算鱼塘鱼总数量； (2)若目标捕捞1200条鱼，根据估算总数，求捕捞概率。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025盐城大丰区期末）下列场景适合用频率估计概率的是（ ） A. 均匀骰子掷出偶数 B. 四张相同卡片抽签 C. 估算池塘鱼的数量 D. 抛均匀硬币正面朝上 2.（2024无锡锡山区期末）大量投篮试验，投中频率稳定0.7，下列说法正确的是（ ） A. 投10次必中7次 B. 投1次有可能不中 C. 投100次必中70次 D. 投2次一定1中1不中 3.（2026泰州海陵区一模）袋内红球15个，摸球频率稳定0.25，总球数为（ ） A.45 B.50 C.60 D.75 4.（2025南通海门区期末）标记25只兔子放回山林，重捕80只，4只有标记，估算兔子总数（ ） A.400 B.500 C.600 D.800 5.（2024常州武进区期末）区分频率与概率，说法错误的是（ ） A. 概率是固定常数 B. 频率随试验次数变化 C. 少量试验频率可代替概率 D. 次数越多频率越贴近概率 6.（2026扬州邗江区一模）移植树苗3000棵，成活2670棵，估计成活概率为（ ） A.0.87 B.0.89 C.0.9 D.0.91 7.（2025淮安清江浦区期末）要让频率估算概率误差更小，需要（ ） A. 减少试验次数 B. 增大试验次数 C. 改变试验道具 D. 缩短试验间隔 8.（2024镇江京口区期末）布袋中白球若干，加入15个黑球，摸球300次60次摸到黑球，原有白球数量（ ） A.45 B.60 C.75 D.90 （二）填空题 9.（2025盐城建湖期末）等可能试验可直接计算____概率。 10.（2026苏州相城区一模）标记重捕法中，第二次捕获带标记个体数量越____，估算越准确。 11.（2024泰州兴化期末）抽检1000件产品，950件合格，不合格频率为____。 12.（2025宿迁沭阳县期末）频率稳定性定理核心：试验次数足够大，频率稳定于____。 13.（2026无锡惠山区一模）估算鱼塘生物总数的方法叫____重捕法。 14.（2024连云港东海县期末）袋内24个蓝球，摸到蓝球频率0.4，袋子总球数为____。 15.（2025徐州铜山区期末）概率是事件本身固有的____常数。 16.（2024常州天宁区期末）试验仅10次，频率波动大，估算结果____可靠。 （三）解答题 17.某人承包了一池塘养鱼,他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼,把每条鱼都作上标记,放回鱼塘;过了2天,他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼,结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤,平均每条鱼估计2.3斤,你能帮助他估计一下今年的收入情况吗? 18.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） （2）假如你摸一次，求你摸到白球的概率P； （3）如果不放回的连续摸两个球，求都摸到白球的概率．（要求画树状图） N摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 M摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 m/n摸到白球的概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 19、小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率． 20．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025苏州昆山期末）下列说法符合频率估计概率原理的是（ ） A. 抛硬币3次2次正面，正面概率0.67 B. 大量抛硬币，正面频率稳定0.5，估计概率0.5 C. 骰子掷3次出现2次6点，掷6概率 D. 摸球10次7次红球，红球概率0.7 2.（2026盐城射阳一模）标记40只青蛙放回池塘，重捕100只，5只有标记，池塘青蛙总数 （ ） A.600 B.800 C.1000 D.1200 3.（2024无锡江阴期末）袋中有22个绿球，摸到绿球频率稳定0.22，总球数（ ） A.80 B.90 C.100 D.110 4.（2025泰州靖江期末）树苗移植5000棵，成活4400棵，成活概率估计为（ ） A.0.86 B.0.88 C.0.9 D.0.92 5.（2026扬州宝应一模）不能用理论概率直接计算，只能用频率估算的是（ ） A. 掷均匀骰子点数大于3 B. 图钉落地针尖朝上 C. 四张相同卡片随机抽取 D. 均匀硬币反面朝上 6.（2024镇江丹阳期末）关于频率和概率关系，正确的是（ ） A. 频率等于概率 B. 试验次数越多，频率越接近概率 C. 频率固定不变 D. 概率随试验次数改变 7.（2025连云港灌云期末）布袋放入18个白球，摸球450次90次摸到白球，原有有色球数量（ ） A.72 B.80 C.90 D.96 8.（2026宿迁泗洪一模）抽检2000件零件，1940件合格，不合格概率估计为（ ） A.0.03 B.0.04 C.0.05 D.0.06 9.（2024常州溧阳期末）要估算山林松鼠总数，标记重捕法中，操作合理的是（ ） A. 第一次标记2只松鼠 B. 第二次仅捕捉5只松鼠 C. 标记后充分放回混合，增大重捕数量 D. 标记后立刻重捕 10.（2025徐州沛县期末）大量摸球试验，摸到黑球频率稳定0.3，袋内共60个球，黑球大约有（ ） A.12 B.18 C.24 D.30 （二）填空题 11.（2025苏州常熟期末）无法列举全部等可能结果时，用____估计概率。 12.（2026盐城滨海一模）标记重捕法计算公式：总体数量=___________。 13.（2024无锡宜兴期末）袋内30个紫球，摸到紫球频率0.25，总球数为____。 14.（2025泰州泰兴期末）概率是固定值，频率具有____性。 15.（2026扬州仪征一模）移植8000棵树苗，7200棵成活，成活频率为____。 16.（2024镇江句容期末）少量试验得到的频率____作为概率的估计值。 17.（2025连云港灌南期末）鱼塘标记50条鱼，重捕200条10条带标记，总鱼数为____。 18.（2026宿迁泗阳一模）均匀骰子、相同小球等试验，可直接计算____概率，无需试验估算。 19.（2024常州金坛期末）试验次数不断增大，频率的波动幅度会变____。 20.（2025徐州丰县期末）布袋放入12个红球，摸球300次60次摸到红球，原有其他颜色球____个。 （三）解答题 21．（2025春•陕西期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 （1）计算：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 22、小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率． 23.如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. （1）④事件发生的可能性大小是； （2）多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是； （3）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为_________________. 24．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 25．（2025春•项城市期末）在一个不透明的口袋里装有m个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，七（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表： 摸球的次数s 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数n 65 111 a 345 568 700 摸到白球的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 b 0.70 （1）按表格数据格式，表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 ；（精确到0.1） （3）估计在这个不透明的口袋中，红球数量m的值． 26．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册22 《第5章等可能条件下的概率第4节概率的应用——概率帮你估计》预习讲义 一．预习目标 ( 1.   理解频率稳定性定理，区分频率与概率的联系与区别，掌握 “ 大量重复试验下，可用频率估计概率 ” 的核心原理 。 2.   学会两种基础估算模型： ① 根据摸球试验频率估算袋子内球的数量； ② 抽样标记法估算池塘、山林中生物总数。 3.   看懂试验频数统计表、频率折线统计图，能根据表格数据计算频率、估计事件概率。 4.   能识别两类题型适用场景：等可能事件用树状/列表算理论概率；结果不均等、总体数量庞大时用频率估计概率。 5.   培养数据分析能力，理解估计值为近似值，试验次数越多、样本容量越大，估算结果误差越小。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.频率与概率的关系：试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，可用频率近似代替概率。 2.摸球估算总数题型的列式计算；标记重捕法估算总体数量的计算公式与实际应用。 3.从频数表格中提取数据，计算频率并完成估算。 （二）难点 1.辨析频率（随机、随试验变化）与概率（固定客观常数），避免概念混淆。 2.理解标记重捕法的数学逻辑，建立比例等式求解总体数量。 3.理解 “ 少量试验的频率误差大，不能用来估计概率 ” ，掌握估算的前提条件。 ) 三．自主探究 （一）用频率估计概率 1.频率定义 在重复试验中，频率=，每次试验的频率是变化、随机的。 2.频率稳定性定理 大量重复同一试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。 3.核心结论 试验次数越多，频率越接近真实概率；只有大量试验，才能用频率估计概率；少量试验的频率误差大，不能用来估算。 （二）频率与概率区别&联系 1.二者区别 频率 概率 通过试验计算得出，是实际值 事件本身固有，是理论值 数值不稳定，试验改变，频率改变 数值固定，不会随试验变化 只能近似反映事件发生可能性 准确刻画事件发生可能性 2.二者联系（核心） （1）试验次数很少时，频率波动很大，和概率差距可大可小； （2）大量重复试验时，频率会在概率附近摆动，摆动幅度越来越小（频率的稳定性）； （3）当试验次数足够大时，可以用频率估计概率，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。 （三）两大必考估算模型（应用题核心） 模型1：袋中摸球估算总数（有放回抽样） 适用：袋子里同种材质小球，已知某颜色球真实数量，多次摸球统计频率，求总球数。 等量关系：≈试验中摸到该颜色球的频率 例题：袋中有15个红球，有放回摸300次，60次摸到红球，求总球数。 解：频率==0.2，设总球数x，=0.2，解得x=75。 模型2：标记重捕法（估算生物总数：鱼塘鱼、山林动物） （1）操作步骤： ① 第一次捕捉M个个体，全部标记后放回，充分混合； ② 一段时间后，第二次捕捉n个个体，其中带标记的有m个； 等量关系（样本标记频率≈总体标记概率）： = 变形求总体：N= 例题：池塘标记30条鱼放回，重捕120条，其中6条带标记，估算总鱼数。 N==600条。 （四）生活拓展应用：产品成活率、合格率 1.已知大量试验的成活/合格频率，估计总体概率； 2.给定目标成活数量，反求需要的总数量： 总数量= 四．经典例题 例1.（2025盐城盐都区期末）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（ ） A. 试验5次的频率就是事件的概率 B. 大量重复试验，频率会稳定在概率附近 C. 频率等于概率 D. 试验次数越少，频率越接近概率 【答案】B 【解析】频率稳定性定理：大量重复试验时，频率稳定在概率附近；少量试验频率误差大，频率只是近似值，不等于概率。 例2.（2026南通通州区一模）养殖户用标记重捕法估算鱼塘鱼总数，第一次标记30条鱼放回，重捕100条，其中5条带标记，估算总鱼数为（ ） A.300 B.600 C.800 D.1000 【答案】B 【解析】公式N===600。 例3.（2024苏州吴江区期末）袋中有12个红球，大量有放回摸球后，摸到红球频率稳定0.3，袋中总球数为（ ） A.36 B.40 C.48 D.60 【答案】B 【解析】设总球数x，=0.3，解得x=40。 例4.（2025泰州姜堰区期末）树苗移植试验，移植1000棵成活890棵，估计成活概率为（ ） A.0.89 B.0.9 C.0.8 D.0.11 【答案】A 【解析】成活频率==0.89，试验次数足够大，用该频率估计成活概率。 例5.（2025淮安淮安区期末）大量重复试验，可用稳定后的____估计概率。 【答案】频率 【解析】本节核心结论，频率稳定值近似等于概率。 例6.（2026徐州云龙区一模）标记重捕法估算种群数量，样本标记频率≈____标记概率。 【答案】总体 【解析】抽样样本的标记比例近似等于整个总体标记个体占比。 例7.（2024扬州广陵区期末）摸球次数过少时，频率____用来准确估计概率。 【答案】不能 【解析】少量试验频率波动大，误差极大，不具备估算价值。 例8.（2025镇江丹徒区期末）抽检零件500个，480个合格，估计零件合格率为____。 【答案】0.96 【解析】合格率==0.96。 例9.（2025连云港海州区期末）不透明布袋装有若干黄球，放入20个完全相同白球，搅匀后有放回摸球400次，80次摸到白球。 (1)求摸到白球的试验频率； (2)估算布袋中原有的黄球数量； (3)若仅摸20次估算，结果是否可靠？说明理由。 【答案】(1)频率==0.2； (2)设总球数x，=0.2，x=100，黄球：100-20=80个； (3)不可靠，试验次数太少，频率波动大，估算误差极大。 【解析】利用频率稳定近似概率建立方程求解，估算前提是大量重复试验。 例10.（2026宿迁宿城区一模）鱼塘养殖池，第一次捕捞40条鱼标记后全部放回；一周后重捕120条，其中8条带有标记。 (1)用标记重捕公式列式计算鱼塘鱼总数量； (2)若目标捕捞1200条鱼，根据估算总数，求捕捞概率。 【答案】(1)N==600条； (2)P==0.2。 【解析】标记重捕比例等式为核心列式依据，总体数量算出后再计算捕捞概率。 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025盐城大丰区期末）下列场景适合用频率估计概率的是（ ） A. 均匀骰子掷出偶数 B. 四张相同卡片抽签 C. 估算池塘鱼的数量 D. 抛均匀硬币正面朝上 【答案】C 【解析】A、B、D为等可能事件，可直接计算理论概率；鱼塘总体无法全部枚举，只能用频率估算。 2.（2024无锡锡山区期末）大量投篮试验，投中频率稳定0.7，下列说法正确的是（ ） A. 投10次必中7次 B. 投1次有可能不中 C. 投100次必中70次 D. 投2次一定1中1不中 【答案】B 【解析】概率是可能性，不代表固定结果，单次试验结果随机，不存在必然命中次数。 3.（2026泰州海陵区一模）袋内红球15个，摸球频率稳定0.25，总球数为（ ） A.45 B.50 C.60 D.75 【答案】C 【解析】=0.25，解得x=60。 4.（2025南通海门区期末）标记25只兔子放回山林，重捕80只，4只有标记，估算兔子总数（ ） A.400 B.500 C.600 D.800 【答案】A 【解析】N==500。 5.（2024常州武进区期末）区分频率与概率，说法错误的是（ ） A. 概率是固定常数 B. 频率随试验次数变化 C. 少量试验频率可代替概率 D. 次数越多频率越贴近概率 【答案】C 【解析】只有大量重复试验的频率才能近似代替概率，少量试验不可用。 6.（2026扬州邗江区一模）移植树苗3000棵，成活2670棵，估计成活概率为（ ） A.0.87 B.0.89 C.0.9 D.0.91 【答案】B 【解析】=0.89。 7.（2025淮安清江浦区期末）要让频率估算概率误差更小，需要（ ） A. 减少试验次数 B. 增大试验次数 C. 改变试验道具 D. 缩短试验间隔 【答案】B 【解析】试验样本容量越大，频率波动越小，估算结果越精准。 8.（2024镇江京口区期末）布袋中白球若干，加入15个黑球，摸球300次60次摸到黑球，原有白球数量（ ） A.45 B.60 C.75 D.90 【答案】B 【解析】黑球频率0.2，总球数15÷0.2=75，白球75-15=60。 （二）填空题 9.（2025盐城建湖期末）等可能试验可直接计算____概率。 【答案】理论 【解析】均匀骰子、相同小球等可枚举全部结果，算出精确理论概率。 10.（2026苏州相城区一模）标记重捕法中，第二次捕获带标记个体数量越____，估算越准确。 【答案】多 【解析】重捕样本容量越大，样本比例越贴近总体真实比例。 11.（2024泰州兴化期末）抽检1000件产品，950件合格，不合格频率为____。 【答案】0.05 【解析】不合格数量50，=0.05。 12.（2025宿迁沭阳县期末）频率稳定性定理核心：试验次数足够大，频率稳定于____。 【答案】概率 【解析】教材核心定义，频率围绕概率小幅波动。 13.（2026无锡惠山区一模）估算鱼塘生物总数的方法叫____重捕法。 【答案】标记 【解析】固定题型名称，先标记、放回、再捕捉统计。 14.（2024连云港东海县期末）袋内24个蓝球，摸到蓝球频率0.4，袋子总球数为____。 【答案】60 【解析】24÷0.4=60。 15.（2025徐州铜山区期末）概率是事件本身固有的____常数。 【答案】客观 【解析】概率不受试验次数影响，固定不变；频率随试验改变。 16.（2024常州天宁区期末）试验仅10次，频率波动大，估算结果____可靠。 【答案】不 【解析】样本量过小，频率无法反映真实概率，估算无参考价值。 （三）解答题 17.某人承包了一池塘养鱼,他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼,把每条鱼都作上标记,放回鱼塘;过了2天,他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼,结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤,平均每条鱼估计2.3斤,你能帮助他估计一下今年的收入情况吗? 解：设池塘中共有鱼x条，则=，得x=1500（条）.则池塘中鱼的总质量为1500×2.3=3450（斤），则今年的收入约为3450×2.8=9660（元）.答：今年的收入约为9660元. 18.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） （2）假如你摸一次，求你摸到白球的概率P； （3）如果不放回的连续摸两个球，求都摸到白球的概率．（要求画树状图） N摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 M摸到白球的次数 65 124 178 302 481 599 1803 m/n摸到白球的概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 解：（1）0.6 （2）∵摸到白球的频率为0.6， ∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6 （3）根据题意画图如下：， 共有20种情况，都摸到白球有6种情况，则都摸到白球的概率是= 19、小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率． 解：（1）“1点朝上”的频率为：16÷100=0.16； “6点朝上”的频率为13÷100=0.13； （2）小亮的判断依据是：（次），依据是错误的； 因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近； 所以小亮的判断是错误的． （3）任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中大于或等于4一共有3种情况， ∴P（朝上的点数大于或等于4）=． 20．在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 解：（1），故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近，故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个），故答案为：20． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个），此时黑白球均为30个，摸到黑白球的可能性大小均为．故答案为：10． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025苏州昆山期末）下列说法符合频率估计概率原理的是（ ） A. 抛硬币3次2次正面，正面概率0.67 B. 大量抛硬币，正面频率稳定0.5，估计概率0.5 C. 骰子掷3次出现2次6点，掷6概率 D. 摸球10次7次红球，红球概率0.7 【答案】B 【解析】只有大量重复试验的稳定频率才能用来估计概率，少量试验数据无效。 2.（2026盐城射阳一模）标记40只青蛙放回池塘，重捕100只，5只有标记，池塘青蛙总数 （ ） A.600 B.800 C.1000 D.1200 【答案】B 【解析】N==800。 3.（2024无锡江阴期末）袋中有22个绿球，摸到绿球频率稳定0.22，总球数（ ） A.80 B.90 C.100 D.110 【答案】C 【解析】22÷0.22=100。 4.（2025泰州靖江期末）树苗移植5000棵，成活4400棵，成活概率估计为（ ） A.0.86 B.0.88 C.0.9 D.0.92 【答案】B 【解析】4400÷5000=0.88。 5.（2026扬州宝应一模）不能用理论概率直接计算，只能用频率估算的是（ ） A. 掷均匀骰子点数大于3 B. 图钉落地针尖朝上 C. 四张相同卡片随机抽取 D. 均匀硬币反面朝上 【答案】B 【解析】图钉两面重量不均，不满足等可能，无法枚举全部等可能结果，只能试验估频率。 6.（2024镇江丹阳期末）关于频率和概率关系，正确的是（ ） A. 频率等于概率 B. 试验次数越多，频率越接近概率 C. 频率固定不变 D. 概率随试验次数改变 【答案】B 【解析】概率固定，频率随机变化，试验次数越大，频率与概率差值越小。 7.（2025连云港灌云期末）布袋放入18个白球，摸球450次90次摸到白球，原有有色球数量（ ） A.72 B.80 C.90 D.96 【答案】A 【解析】白球频率0.2，总球数18÷0.2=90，有色球90-18=72。 8.（2026宿迁泗洪一模）抽检2000件零件，1940件合格，不合格概率估计为（ ） A.0.03 B.0.04 C.0.05 D.0.06 【答案】D 【解析】不合格60件，60÷2000=0.03。 9.（2024常州溧阳期末）要估算山林松鼠总数，标记重捕法中，操作合理的是（ ） A. 第一次标记2只松鼠 B. 第二次仅捕捉5只松鼠 C. 标记后充分放回混合，增大重捕数量 D. 标记后立刻重捕 【答案】C 【解析】标记个体需充分混合，重捕样本容量大才能缩小估算误差。 10.（2025徐州沛县期末）大量摸球试验，摸到黑球频率稳定0.3，袋内共60个球，黑球大约有（ ） A.12 B.18 C.24 D.30 【答案】B 【解析】60×0.3=18。 （二）填空题 11.（2025苏州常熟期末）无法列举全部等可能结果时，用____估计概率。 【答案】频率 【解析】鱼塘、图钉、产品合格率等场景的通用估算方法。 12.（2026盐城滨海一模）标记重捕法计算公式：总体数量=___________。 【答案】 【解析】比例等式核心公式，重捕样本里带标记个体为分母。 13.（2024无锡宜兴期末）袋内30个紫球，摸到紫球频率0.25，总球数为____。 【答案】120 【解析】30÷0.25=120。 14.（2025泰州泰兴期末）概率是固定值，频率具有____性。 【答案】随机 【解析】每次试验得到的频率数值不固定，存在随机波动。 15.（2026扬州仪征一模）移植8000棵树苗，7200棵成活，成活频率为____。 【答案】0.9 【解析】7200÷8000=0.9。 16.（2024镇江句容期末）少量试验得到的频率____作为概率的估计值。 【答案】不可 【解析】样本容量不足，频率波动大，估算结果失真。 17.（2025连云港灌南期末）鱼塘标记50条鱼，重捕200条10条带标记，总鱼数为____。 【答案】1000 【解析】=1000。 18.（2026宿迁泗阳一模）均匀骰子、相同小球等试验，可直接计算____概率，无需试验估算。 【答案】理论 【解析】满足等可能条件，能枚举所有基础结果，算出精确概率。 19.（2024常州金坛期末）试验次数不断增大，频率的波动幅度会变____。 【答案】小 【解析】试验样本越多，频率曲线越平稳，贴近概率直线。 20.（2025徐州丰县期末）布袋放入12个红球，摸球300次60次摸到红球，原有其他颜色球____个。 【答案】48 【解析】红球频率0.2，总球数12÷0.2=60，其余球60-12=48。 （三）解答题 21．（2025春•陕西期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示： 抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000 优秀数量m 94 194 288 380 475 b 优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 （1）计算：a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01） 解：（1）∵a==0.94，b＝1000×0.95＝950，故答案为0.94，950； （2）∵随着n增大，优秀频率稳定在0.95附近，∴估计该市学生作业优秀的概率大约是0.95． 22、小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 16 14 25 20 12 13 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小亮说：“若投掷1000次，则出现4点朝上的次数正好是200次”．小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将这枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数大于或等于4的概率． 解：（1）“1点朝上”的频率为：16÷100=0.16； “6点朝上”的频率为13÷100=0.13； （2）小亮的判断依据是：（次），依据是错误的； 因为只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近； 所以小亮的判断是错误的． （3）任意投掷一枚骰子，一共有6种等可能结果，其中大于或等于4一共有3种情况， ∴P（朝上的点数大于或等于4）=． 23.如图,有一个转盘被分成6个相等的扇形,颜色分为红、绿、黄三种,指针的位置固定,转动转盘后任其自由停止,其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时,重新转动).下列事件:①指针指向红色;②指针指向绿色;(③指针指向黄色;④指针不指向黄色,估计各事件的可能性大小,完成下列问题. （1）④事件发生的可能性大小是； （2）多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是； （3）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为_________________. 解：（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴④指针不指向黄色的可能性大小为= 则④事件发生的可能性大小是 （2）∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴②指针指向绿色的概率为 ，则多次实验,指针指向绿色的频率的估计值是 （3）∵共3红2黄1绿相等的六部分，∴①指针指向红色的概率为= ，③指针指向黄色的概率为= ，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为：②＜③＜①＜④. 24．我们把一个正三棱锥称为正四面体．如图，一个正四面体骰子的四个面上分别写有数字1，2，3，4，它的四个面均为等边三角形． (1)若随机地掷一次该正四面体骰子，则掷得的底面数字是3的概率为______； (2)小明掷正四面体骰子，记下掷得的底面数字，再继续掷正四面体骰子，再记下掷得的底面数字，不断地重复这个过程，下表是统计的一组数字： 掷的次数 50 80 100 150 250 500 掷得的底面数字是3的次数 12 19 25 39 63 124 掷得的底面数字是3的频率 0.24 0.2375 0.25 0.26 0.252 0.248 小明发现，经过大量实验后，掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是______； (3)小明随机地掷两次该正四面体骰子，请用列表法或画树状图的方法求小明两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率． 解：（1）根据题意得：掷得的底面数字是3的概率为； 故答案为： （2）根据题意得：掷得的底面数字是3的频率稳定在一个常数（精确到）附近，这个常数是；故答案为：0.25 （3）列表如下． 第二次第一次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由表可知，共有16种等可能的情况，其中和为3的倍数的结果有5种， 两次掷得的底面数字和为3的倍数的概率为． 25．（2025春•项城市期末）在一个不透明的口袋里装有m个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，七（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表： 摸球的次数s 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数n 65 111 a 345 568 700 摸到白球的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 b 0.70 （1）按表格数据格式，表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 ；（精确到0.1） （3）估计在这个不透明的口袋中，红球数量m的值． 解：（1）a＝200×0.68＝136，b==0.71，故答案为：136，0.71； （2）将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.7．故答案为：0.7； （3）摸到白球的概率为0.7，因此球的总个数为：14÷0.7＝20（个），红球个数为：20﹣14＝6（个）．即红球数量m的值为6． 26．一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500 摸出白球的频率 (1)请将表补充完整； (2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01） (3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球． 解：（1），； 补充完整表格如下： 摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500 摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500 摸出白球的频率 （2）折线统计图如下： 由图知，摸出白球的概率估计值是；故答案为：． （3）由（2）知，摸出白球的概率估计值是，则袋中200个球，白球可能为：（个）故答案为：66． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $