第15讲 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率18大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第15讲 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求平均数 题型2 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型3 求加权平均数 题型4 利用（加权）平均数做决策 题型5 求中位数与众数 题型6 利用中位数、众数求未知数据的值 题型7 利用中位数、众数做决策 题型8 求四分位数 题型9 画箱线图 题型10 求方差 题型11 利用方差求未知数据的值 题型12 运用方差做决策 题型13 求离差平方和及其应用 题型14 等可能性 题型15 根据概率公式计算概率 题型16 几何概率 题型17 列表法或树状图法求概率 题型18 概率的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平均数、加权平均数 中位数、众数 方差 四分位数 离差平方和 概率公式 1. 理解平均数、中位数、众数的定义与意义，熟练计算，能辨析三者在刻画数据集中趋势的区别。 2. 掌握离差平方和、方差、四分位数的概念与算法，能准确计算，精准刻画数据离散波动情况。 3. 掌握等可能事件概率的核心特征与计算公式，能规范列举基本事件，准确求解基础概率。 4. 能结合实际情境选用各类统计量，对比分析数据特征，科学评价数据的整体分布与波动。 5. 整合统计与概率知识，建立数据分析思维，能运用相关知识解决生活中的实际应用问题。 学习重点：熟练计算各类集中、离散统计量，掌握等可能概率求法，理解各统计量的实际意义。 学习难点：灵活选用统计量分析数据，区分各离散指标差异，精准理解等可能概率的适用条件。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平均数与加权平均数 平均数与加权平均数 1、平均数 算术平均数：一组数据之和，除以这组数据的个数。 2、加权平均数 加权平均数：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。 一般地，若n个数的权分别是，则 叫做这n个数的加权平均数。 即时即练 1．一组数据：3，4，4，6，8．这组数据的平均数是（） A．3 B．4 C．5 D．6 2．某校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明期末操行最终得分为（    ）    A．9 B． C．45 D．91 3．为了丰富学生的午餐种类，某校食堂销售三种午餐盒饭，且三种午餐盒饭的有关数据如图所示，则该食堂销售午餐盒饭的平均价格为___________元． 知识点02 中位数与众数 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 即时即练 4．某学生六次数学考试的成绩（单位：分）分别为：72、80、77、81、89、81，则这组数据的中位数是_________． 5．一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 _______． 6．某校初一（11）班举行2024年元旦晚会，其中一个节目是男生和女生进行一分钟答题挑战赛．比赛规则：答对一道记1分（答错或不答得0分），男生和女生各选10名同学参加比赛（得分合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 女生组得分属于良好的数据是：10，6，6，10，10，11； 男生组得分：6，9，5，12，8，11，8，9，14，8． 通过以上数据得到如下不完整的统计表： 分组 平均数 中位数 众数 女生组 8.5 a 10 男生组 9 8.5 b 根据以上信息，回答下列问题： (1) ______， ______； (2)小强经过计算发现，20名参赛同学的平均成绩（女生组的平均成绩+男生组的平均成绩），据此他判断20名参赛同学得分的中位数，你认为他的判断正确吗？并说明理由； (3)若比赛规则由答对一道记1分改成记2分，其余不变，则10名女生成绩的方差将______．（填“变大”、“变小”或“不变”） 知识点03 方差与标准差 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 即时即练 7．某校八年级学生的平均年龄为14岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生的年龄的平均数、方差分别是（    ） A．16岁，3 B．14岁，3 C．16岁，5 D．14岁，5 8．计算方差的过程中有：，则________． 9．北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 (1)李越宏的8轮成绩的众数为 ； (2)求李越宏8轮得分的方差． 知识点04 离差平方和 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 即时即练 10．数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的离差平方和比数据B的离差平方和大，则x的值可能是（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 11．已知一组数据0，1，2，3，4，现将其分为和两组，则这两组数据的组内离差平方和为（     ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3 12．在某校组织的“书香满校园”读书活动中，随机抽取了八年级5名同学本学期阅读课外书籍的数量（单位：本），数据如下：5，8，8，9，10．这组数据的离差平方和是____________． 知识点05 四分位数与箱线图 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 即时即练 13．某班男生参加篮球运球绕杆考试，现将考试成绩制作成如图所示的箱线图，由图不能确定的数据是（     ） A．上四分位数 B．平均数 C．中位数 D．最大值 14．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 B．三个班级中，乙班分数的四分位距最大 C．三个班级中，甲班分数的方差最小 D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 15．某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 知识点06 等可能性 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 1.这里的n个可以是有限个也可以是无限个，例如掷一枚均匀的普通骰子会出现的可能性是有限的，如图所示，转动一个均匀的转盘，当转盘停止转动时，指针位置会出现的可能性是无限的. 2.等可能性的含义 （1）所有可能发生的结果为有限个或无限个，每次试验有且只有其中的一个结果出现； （2）每个结果出现的结果是均等的. 3.不同的等可能性的随机事件的可能性的大小可以比较，而且一般情况下可以计算. 4.等可能性与随机事件的关系：等可能性事件依赖于随机事件，并且等可能事件是一种特殊的随机事件，随机事件不一定是等可能事件. 即时即练 16．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 17．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 18．一个总体中有编号为1、2、3、4、5的5个个体．用简单随机抽样的方法从中抽取1个容量为2的样本，这样的样本共有________个，所有可能的样本为_________________． 知识点07 概率计算 有限个结果的等可能事件的概率 1.等可能条件下的概率：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）. （1）试验的结果要具有有限性和等可能性； （2）随机事件的概率在0到1之间，即. 2.用列举法求概率 在一次试验中，如果出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率. 当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，我们可以采用直接列举试验结果的方法求概率. 列表法求概率 当一次试验涉及两个因素或需要分两步完成，且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率. 1.列表法适用于两步随机试验，尤其是对两步随机试验的结果很多的题目； 2.在列表时，要考虑题中的随机试验是有放回的，还是无放回的，若是有放回的，则第一次出现的结果，第二次仍然可以出现；若是无放回的，则第一次出现的结果，第二次就不可能再出现. 画树状图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率. 无限个结果的等可能事件 如果区域I上有一个区域A，假设每次试验能够落在I上的任意一点处，并且落在任一点的可能性总是相同的，记区域I的面积为S总，区域A的面积为SA，那么一次试验落在区域A上的概率. 特别地，如果区域A被划分为m等份，用其中的一等份作为基本面积单位来划分，区域I被分成n等份（其中n＞m），那么一次试验落在区域A上的概率. 1.试验的结果要有无限性和等可能性； 2.无限个结果的等可能事件的概率可转化为有限个结果的等可能事件的概率进行计算. 即时即练 19．班级开展趣味数学抽奖活动，准备了五张完全相同的卡片，正面分别写有数字：，，0，1，2，背面朝上打乱放在桌面上．每位同学从中随机抽取一张卡片，若抽到的数字是非负数，即可获得小奖品．某同学抽到奖品的概率是__________． 20．某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖，现场设置了一个如图所示材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，顾客可领取指针所指区域对应的奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得三等奖的奖品的概率为________． 21．在一个不透明的袋子中装有5个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． (1)摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是白球的概率是多少？ (2)为了使摸出白球的概率是，再放进去7个球，那么这7个球中红球和白球的数量分别应是多少？ 题型1 求平均数 1．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份20元，乙种套餐每份15元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（     ） A．17.5 B．18 C．18.5 D．19 2．在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． 3．某城市春、夏、秋、冬四季的平均气温（单位）分别为：，，，，则该城市四季的平均气温为_________． 4．已知一组正数a，b，c，d的平均数为5，则，，，的平均数为_____． 5．小明想调查某个高速公路入口处每天的汽车流量（单位：辆）．一天，他从上午在该入口处，每隔相等的一段时间作一次统计，共统计了8次，数据如表： 记录的次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 内通过的汽车流量 51 50 64 62 58 55 55 53 试估计：这天上午这内共有___________辆通过该入口． 题型2 利用已知的平均数求相关数据的平均数 6．x1、x2、……、x10的平均数为m，x11、x12、……、x50的平均数为n，则x1、x2、……、x50的平均数为（    ） A．m+n B． C． D． 7．已知数据 x1，x2，…xn的平均数是2，则3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数为（    ） A．2 B．0 C．6 D．4 8．已知一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组新数据，，，…，的平均数是_____． 9．杭州亚运会射箭比赛中，某运动员箭的成绩（单位：环）依次是，，，，，若前箭的平均成绩为环，则这箭的平均成绩为 _____环． 10．若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是___________． 题型3 求加权平均数 11．某市编程赛成绩按如下权重计算：代码质量占，功能实现占，文档编写占．小明在比赛中这三项成绩分别为：80分、70分、90分，则小明的编程赛成绩为（     ） A．70分 B．75分 C．78分 D．85分 12．某校八年级学生参加每分钟跳绳的测试，并随机抽取部分学生的成绩制成了频数分布直方图（如图）．若取每组的组中值作为本小组的均值，则抽取的部分学生每分钟跳绳次数的平均值为（     ） A．100次 B．110次 C．112次 D．120次 13．贵州某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照的比例确定最终成绩，该学生各项成绩（百分制）如下表，则该生最终的综合成绩为（    ） 笔试 面试 实际操作 94 80 90 A．88分 B．89分 C．90分 D．94分 14．为加快提升广大青少年科技素养，常德市某区开展了信息科技素养测评活动，测评分为知识性、实践性、创新性三类题目，分别按的比例计入综合总分．若小明三类题目的得分分别为90分，80分，60分，则他的最终成绩是________． 15．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 题型4 利用（加权）平均数做决策 16．相声是一门讲究说、学、逗、唱的民间表演艺术．某相声社招录学员，甲、乙二人各项测评成绩如表所示，说、学、逗、唱成绩按的比确定平均成绩，则优先录取_________．（填甲或乙） 说 学 逗 唱 甲 80 85 90 95 乙 90 80 95 85 17．某旅游景点招聘一名解说员，现有甲、乙、丙三人竞聘．通过听、说、写三项测试，他们各自的成绩（百分制）如下表所示： 听 说 写 甲 乙 丙 其中听、说、写三项成绩按的比例计算最终成绩，取最高分录用．则最后录用的人是________． 18．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：）及方差（单位：）如表所示： 品种 甲 乙 丙 丁 x 23 23 24 24 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量高且稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是________． 19．某商场招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自的成绩（百分制）如下表所示． 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 50 60 85 (1)商场对计算机、语言和商品知识分别赋权2、3、5，计算两名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ (2)该商场员工月收入如下表，试计算该商场员工月收入的平均数；若用平均数来代表这个商场员工月收入的大致情况是否合理？请说明理由． 月收入/元 20000 18000 12000 8000 6000 5000 人数 1 2 4 5 7 6 20．某互联网公司正在招聘一名产品经理，经过初筛后，甲、乙、丙、丁四名候选人进入最终考核环节，考核分为三个部分： （1）笔试（占比）：考察产品知识、逻辑分析能力． （2）面试（占比）：考察沟通能力、团队协作、职业规划． （3）项目实战（占比）：要求候选人在2小时内完成一个简单的产品需求文档（），考察实操能力．四位候选人的各项成续如下表所示（满分100分）： 项目 考核成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 87 90 88 86 面试 90 88 92 94 项目实战 83 92 85 90 请计算四位候选人的最终得分，按照公司要求；项目实战成绩必须达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单，那么最终录用的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型5 求中位数与众数 21．某校为弘扬航天精神举办了“航天知识竞赛”，随机抽取10名学生的成绩（单位：分）如下：85，90，90，92，94，95，95，95，98，100．这组数据的中位数和众数分别是（     ） A．94.5，95 B．94，95 C．95，95 D．94.5，94 22．一个小组名同学的跳绳成绩（单位：次）分别是：，，，，，则这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 23．4月某一周，醴陵市的最高气温（单位：）分别是，，，，，，，这组数据的众数是________． 24．某校随机调查了100名学生所穿衣服的尺码，统计结果如图所示．则这100名学生所穿衣服尺码的众数是_______． 25．某学校开展了阳光体育活动，倡导同学们课余练习足球、篮球、排球及乒乓球等项目，一段时间后，随机调查了一部分学生参与锻炼的体育项目个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生人数为_____，图①中的值为_____，这组数据的众数为_____，中位数为_____； (2)求本次抽测的这组数据的平均数； (3)若该校有名学生，试估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为多少？ 题型6 利用中位数、众数求未知数据的值 26．已知三个数、5、7，若添加一个数组成一组新数据，且这组新数据唯一的众数与中位数相等，则这个新数据为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 27．某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 28．若一组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是6，则这组数据的中位数是（    ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 29．一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 ________． 30．一组由7个整数组成的数据：9，4，，7，，5，10，它们的中位数与众数相同，则满足条件的值共有______个． 题型7 利用中位数、众数做决策 31．在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与________（从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关． 32．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）数据进行统计： 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 整理如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)__________，__________，__________； (2)同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是__________年级的学生； (3)若该校八年级学生有800人，请估计该校八年级学生的平均每周锻炼时长达到八小时及以上的学生共有多少人？ 33．从2024年开始，山西省将八年级信息技术考试成绩计入中考总分．根据山西省招生考试管理中心公布的复习题（满分15分），某校组织了一次适应性考试，“腾飞小组”和“希望小组”的同学的成绩如下：（每组10名学生，单位：分）． 腾飞小组 15 15 14 12 15 13 14 15 12 15 希望小组 14 13 15 14 13 15 12 15 15 14 (1)腾飞小组成绩的中位数是_____分，希望小组成绩的众数是_____分； (2)计算希望小组的平均成绩； (3)已知小宇所在小组成绩的中位数比另一个小组成绩的中位数小，则小宇所在的小组是______． 34．【项目背景】 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活，技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献，某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分，从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理，成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：） 下面给出了部分信息： 甲款软件名使用者打分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款软件名使用者打分在等级的数据是：，，，，，． 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 年级 平均数 众数 中位数 甲款软件 乙款软件 乙款AI软件抽取的使用者打分统计图 【数据分析与应用】 任务一：上述表中a ＝ ____________；b ＝ ____________； 任务二：求扇形统计图中A组所占圆心角的度数． 任务三：下列结论一定正确的是____________． ①甲乙两款样本数据的中位数均在A组； ②得分96分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多． 任务四：根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款AI更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 35．西大附中09届校友储卫民荣获“2024年感动重庆十大人物”提名奖．他策划拍摄的《火车看中国》《不一样的中国》《中国新塔》等系列作品，不仅仅是一幅幅美丽的风景照，更是一个个充满故事的画面，通过人物情感、表情与环境的互动，展现出中国人民的勤劳、善良和勇敢，向世界真实展现当代中国的发展变化，看到一个真实、美丽、充满活力的中国．小福是我校初三年级的学生，更是储卫民的粉丝，为了了解同学们对储卫民的喜爱程度，他在初三（1）班和（2）班各随机抽取了20位同学展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，共分成4组，其中A：为不喜欢，B：为比较喜欢，C：为喜欢，D：为非常喜欢），下面给出了部分信息：初三（1）班20名学生评分数据的扇形统计图如图所示：其中评分在D：的学生评分为：91，91，92，93，94，95，97，98，99，99，99，99，99，根据信息，解决下列问题： 初三（2）班20名学生的评分数据整理如表： 分数 70 81 83 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 1 2 0 1 3 2 4 1 5 两组数据的平均数，众数，中位数，如表所示： 班级 平均分 中位数 众数 初三（1）班 91.7 99 初三（2）班 91.7 93 (1)填空：____________，____________，____________． (2)根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢储卫民，请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校初三年级共1600人，估计初三年级对储卫民“非常喜欢”的人数？ 题型8 求四分位数 36．某城市9月份空气质量指数的箱线图如下图所示．这个月空气质量指数的第三四分位数是（     ） A．30 B．40 C．50 D．80 37．将某小组立定跳远数据（单位：）绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（     ） A．230 B．203 C．187 D．9 38．某班在4月体育跳远测试中，第一组同学的得分分别为10、12、13、13、13、14、14、15、15、15，则这组数据的第一四分位数是（     ） A．12 B．12.5 C．13 D．13.5 39．已知一组被墨水污染的数据：，，，，，，11，13，其箱线图如图所示，则被污染的数据为__________和__________，这组数据的第一四分位数是__________． 40．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 题型9 画箱线图 41．学校为了解八年级学生的体能状况，对该年级1班和2班的学生进行了跳绳测试．如图是老师绘制的两个班级成绩的箱线图．下列说法正确的是（     ） A．1班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在2班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．2班跳绳次数整体比1班好 42．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 43．在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 44．某校为了解八年级学生的身体健康情况，现从中随机抽取部分学生进行体育测试，并将成绩统计如图所示．请根据图表中所提供的信息，解答下列问题： 八年级学生体育测试成绩 体育成绩（分） 人数（人） 百分比（%） (1)本次测试抽取的总人数为______人；______； (2)本次测试成绩的中位数为______分，并在如图的箱线图中画出该中位数对应的线段； (3)已知该校八年级共有名学生，如果体育成绩达分以上（含分）为身体健康，请估计该校八年级学生身体健康的总人数． 45．学校的“数据实践社”数学兴趣小组为比较甲地和乙地2025年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如下统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位：） 根据以上信息回答下列问题： (1)甲地2月日均气温的中位数为___________； (2)请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线； (3)结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点． 题型10 求方差 46．已知一组数据1，3，5，7，则该组数据的方差（     ） A．1 B．4 C．5 D．20 47．一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 48．某地5家企业在今年第一季度的产值（单位：亿元）分别为7，8，10，11，14，则这组数据的方差为________． 49．某校举办“强国有我”演讲比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 9 a 乙 8.8 b 0.96 丙 c 8 0.96 根据以上信息，完成下列问题： (1)求出，，的值； (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 50．我市某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示根据图中数据解决下列问题： (1)根据图示求出表中的a、b、c． 平均数 中位数 众数 九（1）班 a 85 c 九（2）班 85 b 100 ， ， ； (2)小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：． 请你求出九（1）班复赛成绩的方差． 题型11 利用方差求未知数据的值 51．如果样本方差，那么这个样本的平均数和样本容量分别为（    ） A．2，4 B．2，6 C．3，6 D．4，6 52．若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 53．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（  ） A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18 54．已知一组数据：，，，…，，小明用，计算这一组数据的方差，那么_____． 55．如果一组数据的方差，已知9是这组数据中的一个数据，现把9去掉，所得新的一组数据的平均数是______． 题型12 运用方差做决策 56．学校组织甲、乙、丙、丁四名运动员参加市运会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表： 甲 乙 丙 丁 /秒 根据表中数据，你认为应该推荐运动员_______去参赛，更有把握取得优异成绩． 57．为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级甲、乙、丙三个班比赛成绩的平均数与方差如表所示．若要从中选择一个成绩较好且发挥稳定的班级代表年级去参加该知识竞赛，应该选择_________班． 甲 乙 丙 平均数 方差 58．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板两个方面的统计结果如下． 比赛得分统计图：    技术统计表： 队员 平均每场得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________；________（填“”、“”或“”）． (2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． (3)规定“综合得分”按平均每场得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ 59．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛的相关数据． 【信息1】 甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 36.25 乙 27 27.5 3.25 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 60．2026年，中国人工智能项目DeepSeek取得重大突破．其发布的新一代大模型 在推理性能上比肩全球一流模型，并率先完成与华为昇腾国产芯片的深度适配，同时开放识图模式等功能，展现出强大的多模态理解能力．其开源免费的模式与极低的推理成本，引发了全球科研界和社会的广泛关注．某初中学校为了解学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，举办了智能软件使用技能竞赛，现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： a．八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100 b．九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． c．八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 众数 82 79 方差 102.75 122.5 d．九年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由．（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 题型13 求离差平方和及其应用 61．一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（     ） A．0 B． C．3 D． 62．把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 63．学校种植园中有 盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将 盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有 种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则 盆植物的最优分组序号是______． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组 个，第二组 个 ② 第一组 个，第二组 个 ③ 第一组 个，第二组 个 64．五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（     ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案④ 65．艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干名同学进行艺术测评与分析，下面是对九年级（1）班抽测到的10名同学的测评分值的数据分析过程： 10名同学的测评分值数据分组统计如表： 分组方式 组别 测评分值数据 方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 分组数据统计分析如表： 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 85 46 Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． (1)如图所示为10名同学测评分值的统计图，则图中“90分”对应的圆心角度数为________． (2)________，________，________，________． (3)为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，应尽可能保持同组成员之间的水平接近，请你根据以上信息，选择一种有利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 题型14 等可能性 66．众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 67．大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 68．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为_______． 69．甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况． 70．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最大的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填， （1）请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果______； （2）满足条件的填法有______种． 6 题型15 根据概率公式计算概率 71．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 72．某校准备从《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》三首歌曲中随机选择两首进行排练，参加即将举办的“建班制合唱”选拔赛，那么恰好选中前面两首歌曲的概率是（     ） A． B． C． D． 73．一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 74．三星堆文创盲盒是三星堆博物馆以其独特的出土文物为原型，结合现代潮流玩偶设计理念，所开发的一系列创意产品．它成功地将古老神秘的三星堆文化与现代消费潮流相结合，成为“让文物活起来”的典范之作．如图，已知一箱祈福神官系列内有4个盲盒，包括A款青铜大立人，B款铜鸟，C款平头金面青铜人头像，D款青铜戴冠纵目面具，则随机抽取的2个盲盒中有A款青铜大立人的概率为______________． 75．某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、B、C、D、E五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下： 成绩频数分布表 等级 成绩（分） 频数 A B C D E 统计B等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题： (1)参赛学生总人数为__________人，成绩频数分布表中__________，__________； (2)参赛学生此次成绩的中位数是__________； (3)若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率． 题型16 几何概率 76．一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 77．如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 78．如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是______． 79．如图，学校在教学楼走廊铺设4×4的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦．课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机抛落在地砖面上（落在地砖缝隙、地砖外则重新投掷），随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部分的概率是___________． 80．如图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)如图1，转到数字5是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 题型17 列表法或树状图法求概率 81．某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 课程 内容 人数 A 《论语》 B 《史记》 C 《天工开物》 D 《九章算术》 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人，表中的值为________； (2)现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 82．年“苏超”即江苏省城市足球联赛再度开赛，小驰、小成和小龙都是足球迷，三人都已经买到足球票，相约一起去看足球赛．已知奥体中心，两个入口均能进入场馆． (1)小龙从入口进入场馆的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求三人从同一入口进入场馆的概率． 83．学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； (2)该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； (3)学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 84．为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题： 类别 参与创新实践活动的时间（单位：小时） A B C D E (1)本次随机调查的学生共有_________人，补全条形统计图． (2)若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生人数． (3)已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 85．为了解某景区游客消费情况，某天工作人员采用抽样调查的方法，随机抽取若干名游客，调查人均日消费金额．统计情况如下表： 【数据收集与整理】 组别 人均日消费金额x（元） 组中值 频数 频率 A 100 20 0.1 B 300 60 0.3 C 500 a 0.4 D 700 30 b E 900 10 0.05 【数据描述】   【数据分析与应用】根据以上信息，解答下列问题： (1)频数分布表中____________，____________； (2)补全频数分布直方图； (3)用组中值表示该组人均日消费金额，根据统计信息，估计这一天游客人均日消费金额的平均数； (4)从D组，E组中各选取2人，在这4人中再随机抽取2人进行访谈，请利用列表法或树状图法求这2人恰好来自同一组别的概率． 题型18 概率的实际应用 86．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 87．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 88．五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 89．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30个．某数学学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球？ 90．为传承中华优秀传统文化，弘扬山西本土非遗魅力，某校精心开展“山西非遗进校园、传统文化润童心”主题实践活动，设置了趣味十足的非遗电子转盘互动游戏．本次游戏所用电子转盘被均匀划分为8个大小一致、形状完全相同的扇形区域，8个区域分别标注有：剪纸、皮影、晋剧、面塑、刺绣、漆器、翼城花鼓及谢谢参与．游戏规则如下：点击按钮即可启动转盘，转盘停止后指针会随机落在任意一个扇形区域内（若指针落在区域分界线上，则本次游戏判定无效，重新转动转盘），游戏胜负判定标准为：若指针最终指向剪纸、皮影、晋剧、面塑四类非遗项目，则本次游戏童童获胜；若指针最终指向刺绣、漆器、翼城花鼓三类非遗项目，则本次游戏年年获胜，请结合概率知识判断这个游戏对童童和年年两人是否公平，并说明理由；若游戏不公平，请你设计一种合理的调整方案，使得游戏规则对双方公平 1．小明参加基础知识、建模能力、思维能力三项测试，其成绩（百分制）依次为85分、90分、92分，对基础知识、建模能力、思维能力分别赋权2，3，5，计算小明的平均成绩，所得结果为（   ） A．85 B．89 C．90 D．92 2．如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A．这个月空气质量指数的最大值为 B．中位数为 C．数据在箱体的右侧比较集中 D．第一四分位数为 3．有一组数据：6，2，4，5，7，这组数据的极差为（　　） A．1 B．5 C．3 D．2 4．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 5．如图，转盘中八个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，请你估计这些事件发生的概率最小的是（     ） A．指针落在标有9的区域内 B．指针落在标有6的区域内 C．指针落在标有奇数的区域内 D．指针落在标有有理数的区域内 6．在一个网约车平台上，某时段共有40辆在线接单的车辆，分为新能源车和燃油车，车辆外观、接单优先级等其他条件完全相同．乘客通过多次打车体验后发现，打到新能源车的频率稳定在附近，则该平台这40辆在线车辆中，新能源车辆约有（     ）辆 A．7 B．12 C．16 D．28 7．已知甲、乙两个班的人数相同，在一次数学测试中两个班成绩的箱线图如图所示(满分为150分)，则下列说法错误的是（     ） A．这次测试中两个班均没有满分 B．甲班成绩的下四分位数与乙班成绩的中位数相同 C．甲班成绩的波动比乙班的大 D．乙班成绩的平均分比甲班的高 8．在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班成绩的中位数低于二班 9．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻的亩产量（单位：）并整理如下表： 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） A．100块稻田中亩产量的中位数小于 B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过 C．100块稻田中亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田中亩产量的平均值介于至 10．若把1，3，5，7分成1，3和5，7两组，则它们的组内离差平方和为_______． 11．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 12．某地4家企业在今年第一季度的产值(单位：亿元)分别为8，10，6，7．若按照组内离差平方和最小的原则，把这 4 家企业今年第一季度的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值是____________． 13．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么，，，，的平均数和方差分别是__________． 14．一只不透明的袋子中装有个白球，5个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球，若要使从中摸出白球的概率比摸出红球的概率大，则的最小值为_________． 15．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 16．容器中有A，B，C，3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是A粒子；       ②最后一颗粒子一定是C粒子 ③最后一颗粒子一定不是B粒子；    ④以上都不正确 其中正确结论的序号是_____________．（写出所有正确结论的序号） 17．某城市月份空气质量指数的箱线图如图所示． (1)这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ (2)请分析这个月空气质量的特点． 18．小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购．他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下． 健康监测准确性 运动模式丰富度 电池续航 外观颜值 佩戴舒适度 A 非常好 一般 良好 一般 良好 B 一般 非常好 非常好 非常好 非常好 C 非常好 非常好 良好 一般 良好 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分=4×健康监测准确性+2×运动模式丰富度+电池续航+外观颜值+佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视的一个评分项目是____________； (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表? 19．为了解学生科学素养情况，随机抽取，班各名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制，单位：分）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）班成绩如下：、 、 、、、、、、、； （Ⅱ）部分数据如下表： 班级 平均数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 (1)请计算： ； ； (2)请补全箱线图； (3)小华计算了两个班分数的平均数，发现，得出结论：801班学生科学素养情况要优于802班．你认为合理吗？请结合箱线图，说明理由． 20．某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 4 6 8 8 12 2 表1 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 第二次 b 8 9 c 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2中的统计图补充完整； (2)填空： ， ， ； (3)若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数． 21．某班40名学生身高的数据信息如图所示． 请回答以下问题： (1)从图中你能直接读出这40名学生身高的平均数、中位数和众数吗？ (2)一定有身高为的学生吗？一定有身高为的学生吗？ (3)依身高将同学们排序，中间的学生其身高处于哪个范围？ (4)不低于的学生在全班学生中占比多少？ 22．某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取名学生，统计竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 乙班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 乙班 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 和 乙班 和 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，______； (2)请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； (3)按照比赛规定分及以上可以获得奖品，若甲、乙两班学生共人，其中甲班生人，请估计这两个班级可以获得奖品的总人数． 23．一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (3)估计袋中黑球的个数为__________只； (4)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.75左右，则小明后来放进了__________个黑球． 24．某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1) ， ； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是 （精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 25．一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 26．抽签方法合理吗？小明认为先抽的人中签的可能性大一些，后抽的可能吃亏；小红认为先抽的人如果没有抽到，那么后抽的中签的可能性不就大了吗？我们一起来探究！有一个不透明的箱子，里面有若干个签（超过1个），其中有一个签画有记号，记为A． (1)小明抽取一次，抽中A签，该事件为______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． (2)若该箱子中共有2个签，除了A签，还有一个没有记号的B签，不妨让小明先抽，借助表格列出所有可能的情况，判断两人中签的可能性大小是否相同，如下表： 第一次（小明抽的签号） 第二次（小红抽的签号） A B B ____________ 完成表格，小明抽中A签的可能性______小红抽中A签的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）． (3)若该箱子中共有3个签，除了A签，还有两个没有记号的B签和C签，不妨让小明先抽，仿照（2）中的方法，列出所有可能的情况，并判断小明与小红谁抽中A签的可能性大？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 数据的集中趋势和离散程度+等可能条件下的概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求平均数 题型2 利用已知的平均数求相关数据的平均数 题型3 求加权平均数 题型4 利用（加权）平均数做决策 题型5 求中位数与众数 题型6 利用中位数、众数求未知数据的值 题型7 利用中位数、众数做决策 题型8 求四分位数 题型9 画箱线图 题型10 求方差 题型11 利用方差求未知数据的值 题型12 运用方差做决策 题型13 求离差平方和及其应用 题型14 等可能性 题型15 根据概率公式计算概率 题型16 几何概率 题型17 列表法或树状图法求概率 题型18 概率的实际应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平均数、加权平均数 中位数、众数 方差 四分位数 离差平方和 概率公式 1. 理解平均数、中位数、众数的定义与意义，熟练计算，能辨析三者在刻画数据集中趋势的区别。 2. 掌握离差平方和、方差、四分位数的概念与算法，能准确计算，精准刻画数据离散波动情况。 3. 掌握等可能事件概率的核心特征与计算公式，能规范列举基本事件，准确求解基础概率。 4. 能结合实际情境选用各类统计量，对比分析数据特征，科学评价数据的整体分布与波动。 5. 整合统计与概率知识，建立数据分析思维，能运用相关知识解决生活中的实际应用问题。 学习重点：熟练计算各类集中、离散统计量，掌握等可能概率求法，理解各统计量的实际意义。 学习难点：灵活选用统计量分析数据，区分各离散指标差异，精准理解等可能概率的适用条件。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平均数与加权平均数 平均数与加权平均数 1、平均数 算术平均数：一组数据之和，除以这组数据的个数。 2、加权平均数 加权平均数：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。 一般地，若n个数的权分别是，则 叫做这n个数的加权平均数。 即时即练 1．一组数据：3，4，4，6，8．这组数据的平均数是（） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数，掌握平均数的求法是解题的关键． 计算一组数据的平均数，只需将所有数据相加后除以数据的个数即可． 【详解】∵数据总和为，数据个数为5， ∴平均数为． 故选：C． 2．某校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明期末操行最终得分为（    ）    A．9 B． C．45 D．91 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，最终得分为（分）， 故选B． 3．为了丰富学生的午餐种类，某校食堂销售三种午餐盒饭，且三种午餐盒饭的有关数据如图所示，则该食堂销售午餐盒饭的平均价格为___________元． 【答案】 【分析】本题考查获取扇形统计图信息，加权平均数，掌握获取扇形统计图信息，加权平均数，会利用加权平均数解决问题是解题的关键． 根据扇形统计图获取信息，利用加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该食堂销售午餐盒饭的平均价格为（元）， 故答案为：． 知识点02 中位数与众数 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列（从小到大或从大到小都可以），如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数. 1.一组数据的中位数不一定出现在这组数据中； 2.一组数据的中位数是唯一的； 3.由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半； 4.中位数仅与数据按大小的排列后的位置有关，当一组数据中个别据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势. 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 1.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势； 2.一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个，也有可能没有众数； 3.众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数； 4.众数考查的是各个数据出现的频数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映出这组数据的集中趋势. 选择合适的统计量描述数据的集中趋势 平均数、众数、中位数都能反映出一组数据的集中趋势，其中平均数的应用最为广泛，三个统计量各有特点： 1.用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，所以平均数应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有着重要的作用，但平均数计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响. 2用众数作为一组数据的代表，主要是对各数据出现频数的考查，其大小只与这组数据的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 3.用中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但中位数不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可以用中位数来描述其集中趋势. 即时即练 4．某学生六次数学考试的成绩（单位：分）分别为：72、80、77、81、89、81，则这组数据的中位数是_________． 【答案】80.5 【分析】本题考查中位数，将数据按从小到大排列后，由于数据个数为偶数，取中间两个数的平均值作为中位数，求解即可． 【详解】解：将数据排序：72、77、80、81、81、89． ∵数据个数为6，是偶数， 故中位数为第3个和第4个数的平均值，即． 故答案为：80.5． 5．一组2，，y，14中，平均数是12，唯一的众数是14，则数据的中位数是 _______． 【答案】14 【分析】本题考查了平均数、中位数及众数的意义，解题的关键是熟练掌握相关概念并应用求解．先根据数据的平均数为12，得出，再根据唯一众数为14，得出或，然后按照从小到大排列即可得出答案． 【详解】解：数据，，，的平均数是， ，即， 数据，，，唯一的众数是14， 或， 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 当时，，将数据按照从小到大排列如下：，，，，得出中位数为：； 故答案为：． 6．某校初一（11）班举行2024年元旦晚会，其中一个节目是男生和女生进行一分钟答题挑战赛．比赛规则：答对一道记1分（答错或不答得0分），男生和女生各选10名同学参加比赛（得分合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 女生组得分属于良好的数据是：10，6，6，10，10，11； 男生组得分：6，9，5，12，8，11，8，9，14，8． 通过以上数据得到如下不完整的统计表： 分组 平均数 中位数 众数 女生组 8.5 a 10 男生组 9 8.5 b 根据以上信息，回答下列问题： (1) ______， ______； (2)小强经过计算发现，20名参赛同学的平均成绩（女生组的平均成绩+男生组的平均成绩），据此他判断20名参赛同学得分的中位数，你认为他的判断正确吗？并说明理由； (3)若比赛规则由答对一道记1分改成记2分，其余不变，则10名女生成绩的方差将______．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】(1)8，20 (2)小强的判断是错误的，理由见解析 (3)变大 【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数，众数，方差的意义： （1）根据众数的定义，即可求解； （2）根据众数的定义，即可求解； （3）根据题意可得改变规则后10名女生成绩的平均数变为原平均数的2倍，为17分， 设原来合格的两人的成绩为e，f，优秀的两人的成绩为g，h，分别求出原来的方差，改变规则后10名女生成绩的方差，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：男生组中8分出现的次数最多， ∴， 根据题意得：， 即； 故答案为：8；20 （2）解：小强的判断是错误的，理由如下： 根据题意得：女生组参赛同学得分从小到大排列后位于正中间的两个数为10， ∴， ∴， 根据题意得：这20名参赛同学得分从小到大排列后位于正中间的两个数均为9， ∴这20名参赛同学得分的中位数为， ∴小强的判断是错误的； （3）解：根据题意得：每个人成绩均变为原来的2倍， ∴改变规则后10名女生成绩的平均数变为原平均数的2倍，为17分， 设原来合格的两人的成绩为e，f，优秀的两人的成绩为g，h， 原来的方差为 改变规则后10名女生成绩的方差为 ， ∴10名女生成绩的方差将变大． 故答案为：变大 知识点03 方差与标准差 方差与标准差 1. 方差：各个数据与平均数差的平方的平均数．用表示，即．其中是数据，，，的平均数． 2. 标准差：方差的算术平方根．用字母s表示，即． 3. 方差和标准差的计算 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算各数据与平均数之差的平方，得到一组新数据； （3）求这组数据的平均数，这个平均数就是原数据的方差； （4）方差的算术平方根就是这组数据的标准差． 4. 方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，一般来说，一组数据的方差、标准差越小，说明这组数据波动越小，这组数据就越稳定． 5. 适当变形后新数据的平均数和方差 样本数据 平均数 方差 ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 即时即练 7．某校八年级学生的平均年龄为14岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生的年龄的平均数、方差分别是（    ） A．16岁，3 B．14岁，3 C．16岁，5 D．14岁，5 【答案】A 【分析】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．根据两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，可得平均年龄为16岁，方差不变． 【详解】解：两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变， 所以平均年龄为16岁，方差不变， 故选：A． 8．计算方差的过程中有：，则________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了方差的定义，方差的计算公式为，其中n表示样本数据的个数，据此可得答案． 【详解】解：由方差公式可得这组数据为2，4，3，5，一共4个数， ∴， 故答案为：4． 9．北京时间8月5日分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分．李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分 (1)李越宏的8轮成绩的众数为 ； (2)求李越宏8轮得分的方差． 【答案】(1)5和4 (2)李越宏轮得分的方差为分 【分析】本题考查了众数，方差，平均数，熟练掌握方差公式是解题的关键． （）根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数求解即可； （）先求得数据的平均数，再利用方差公式求解即可． 【详解】（1）解：李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分， 其中数据5和4各出现了3次，且出现次数最多， ∴众数为5和4， 故答案为：5和4； （2）解：∵平均得分为：（分）， ∴ （分）， 答：李越宏轮得分的方差为分． 知识点04 离差平方和 离差平方和 1.离差平方和：各个数据与它们平均数之差的平方和，用S表示，即． 2.组内离差平方和与组间离差平方和： 一般地，设有n个数据，，，，它们的平均数为，离差平方和为．如果把这些数据分为两组，第1组有个数据，平均数为，离差平方和为；第2组有个数据，平均数为，离差平方和为，其中．通过计算可以得到以下等式： ． 通常称为组内离差平方和，它表达了两个组组内数据的离散程度；称为组间离差平方和，它表达了两个组之间的差异．一个合理的分组原则是使最小，同时使最大．由于总离差平方和不变，所以只需考虑达到最小即可． 即时即练 10．数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的离差平方和比数据B的离差平方和大，则x的值可能是（     ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】先计算出数据B的离差平方和，再分别将每个选项的数据代入，计算数据A的离差平方和，比较即可． 【详解】解：数据B为，平均数， 数据B的离差平方和， A、当时，平均数， 数据A的离差平方和，符合题意； B、当时，平均数， 数据A的离差平方和，不符合题意； C、当时，平均数， 数据A的离差平方和，不符合题意； D、当时，平均数， 数据A的离差平方和，不符合题意． 11．已知一组数据0，1，2，3，4，现将其分为和两组，则这两组数据的组内离差平方和为（     ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和（每个数据与本组平均数的差的平方和），最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：对于第一组， ， 第一组离差平方和； 对于第二组， ， 第二组离差平方和， 总的组内离差平方和为． 12．在某校组织的“书香满校园”读书活动中，随机抽取了八年级5名同学本学期阅读课外书籍的数量（单位：本），数据如下：5，8，8，9，10．这组数据的离差平方和是____________． 【答案】14 【分析】先计算这组数据的算术平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和，即可得到结果． 【详解】解：首先计算这组数据的平均数 ， 根据离差平方和的定义计算得： ． 知识点05 四分位数与箱线图 四分位数与箱线图 在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数。实际上，把一组数据从小到大排列，m50把这组数据分成前、后两部分，m25是前半部分数据的中位数，m75是后半部分数据的中位数。这样，m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数，统称四分位数。 箱线图 箱线图绘制步骤 1、排序：数据从小到大排列 2、算五数：求最小值、Q1、中位数、Q3、最大值 3、找异常值：计算 IQR=Q3-Q1，标记超出Q1-1.5IQR或Q3+1.5IQR的点 4、画箱体：以 Q1、Q3 为边界画矩形，中间画中位数线 5、画须：从箱体两端连到非异常值的最值 6、标异常点：单独标出所有异常值 即时即练 13．某班男生参加篮球运球绕杆考试，现将考试成绩制作成如图所示的箱线图，由图不能确定的数据是（     ） A．上四分位数 B．平均数 C．中位数 D．最大值 【答案】B 【分析】由箱线图可以直接确定一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个统计量，不能确定平均数． 【详解】解：从图中可读出：最小值13、下四分位数15、中位数16、上四分位数18、最大值22，因此上四分位数、中位数、最大值均可确定， 平均数的计算需要所有数据的具体数值与数据总个数，箱线图仅能反映数据的分位分布特征，无法提供全部原始数据的信息，因此不能确定平均数． 14．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 B．三个班级中，乙班分数的四分位距最大 C．三个班级中，甲班分数的方差最小 D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 【答案】C 【分析】根据箱线图的性质，中位数反映数据的中心位置，箱体高度（四分位距）和极差反映数据的离散程度（方差），上四分位数对应前的数据分界点，据此逐项判断即可． 【详解】解：对于A，由图可知丙班的中位数约为分， ， 丙班得分高于分的学生人数多于得分低于分的学生人数，故A错误； 对于B，四分位距等于上四分位数减去下四分位数，即图中箱体的高度， 丙班的箱体高度最大， 丙班分数的四分位距最大，故B错误； 对于C，甲班的箱体最窄且极差（最大值减最小值）最小，数据分布最集中， 甲班分数的方差最小，故C正确； 对于D，若每班有个学生，， 第名（按分数从高到低排列）的分数对应上四分位数附近， 丙班的上四分位数（箱体上边缘）最高， 丙班的第名分数最高，故D错误． 15．某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【详解】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 知识点06 等可能性 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 1.这里的n个可以是有限个也可以是无限个，例如掷一枚均匀的普通骰子会出现的可能性是有限的，如图所示，转动一个均匀的转盘，当转盘停止转动时，指针位置会出现的可能性是无限的. 2.等可能性的含义 （1）所有可能发生的结果为有限个或无限个，每次试验有且只有其中的一个结果出现； （2）每个结果出现的结果是均等的. 3.不同的等可能性的随机事件的可能性的大小可以比较，而且一般情况下可以计算. 4.等可能性与随机事件的关系：等可能性事件依赖于随机事件，并且等可能事件是一种特殊的随机事件，随机事件不一定是等可能事件. 即时即练 16．在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，如果没有硬币，则下列不能作为替代物进行试验的是（   ） A．一枚均匀的正方体骰子 B．两张不同的扑克 C．两张不同的卡片 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】替代物需要满足和原抛硬币试验一致，即能产生两种概率相等的结果，据此判断各选项即可． 【详解】原抛硬币试验中，有正面向上、反面向上两种等可能结果，每种结果发生的概率为，替代物需满足两种结果发生概率相等． 选项A，均匀正方体骰子，点数为奇数、偶数的结果各3种，概率均为，可分别对应硬币正反，能用作替代物； 选项B，两张不同扑克，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项C，两张不同卡片，任意抽取一张，抽到每张的概率均为，可对应硬币正反，能用作替代物； 选项D，抛掷图钉时，钉尖朝上与钉帽朝上的概率不相等，不满足两种结果等可能的要求，因此不能作为替代物． 17．下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 18．一个总体中有编号为1、2、3、4、5的5个个体．用简单随机抽样的方法从中抽取1个容量为2的样本，这样的样本共有________个，所有可能的样本为_________________． 【答案】 10 1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5 【分析】本题主要考查了总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 从5个不同个体中随机抽取2个组成样本，样本容量为2，所有不重复的配对即为可能样本，通过列举可得总数． 【详解】解：所有可能的样本为：1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5，共10个． 故答案为：10；1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5． 知识点07 概率计算 有限个结果的等可能事件的概率 1.等可能条件下的概率：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）. （1）试验的结果要具有有限性和等可能性； （2）随机事件的概率在0到1之间，即. 2.用列举法求概率 在一次试验中，如果出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率. 当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，我们可以采用直接列举试验结果的方法求概率. 列表法求概率 当一次试验涉及两个因素或需要分两步完成，且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率. 1.列表法适用于两步随机试验，尤其是对两步随机试验的结果很多的题目； 2.在列表时，要考虑题中的随机试验是有放回的，还是无放回的，若是有放回的，则第一次出现的结果，第二次仍然可以出现；若是无放回的，则第一次出现的结果，第二次就不可能再出现. 画树状图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图列出随机试验的所有可能的结果n，然后找出符合条件的结果m，求出随机事件的概率. 无限个结果的等可能事件 如果区域I上有一个区域A，假设每次试验能够落在I上的任意一点处，并且落在任一点的可能性总是相同的，记区域I的面积为S总，区域A的面积为SA，那么一次试验落在区域A上的概率. 特别地，如果区域A被划分为m等份，用其中的一等份作为基本面积单位来划分，区域I被分成n等份（其中n＞m），那么一次试验落在区域A上的概率. 1.试验的结果要有无限性和等可能性； 2.无限个结果的等可能事件的概率可转化为有限个结果的等可能事件的概率进行计算. 即时即练 19．班级开展趣味数学抽奖活动，准备了五张完全相同的卡片，正面分别写有数字：，，0，1，2，背面朝上打乱放在桌面上．每位同学从中随机抽取一张卡片，若抽到的数字是非负数，即可获得小奖品．某同学抽到奖品的概率是__________． 【答案】/0.6 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出满足“抽到数字是非负数”的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，可得所有等可能的结果共种， 数字，，，，中的非负数为，，，共种满足条件的结果， ∴某同学抽到奖品的概率是． 20．某商场周年庆开展感恩回馈促销活动，顾客可凭消费小票参与幸运大转盘抽奖，现场设置了一个如图所示材质均匀的圆形转盘，转盘上划分出不同奖项区域．转盘停止后，顾客可领取指针所指区域对应的奖品（指针落在分割线时重新转动），那么顾客转动一次转盘获得三等奖的奖品的概率为________． 【答案】 【分析】根据周角的定义求出三等奖对应的扇形圆心角度数，再利用几何概率公式求解. 【详解】解：由图可知，一等奖对应的圆心角为，二等奖对应的圆心角为， 三等奖对应的扇形圆心角度数为， 顾客转动一次转盘获得三等奖的奖品的概率为． 21．在一个不透明的袋子中装有5个红球和4个白球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． (1)摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是白球的概率是多少？ (2)为了使摸出白球的概率是，再放进去7个球，那么这7个球中红球和白球的数量分别应是多少？ 【答案】(1)摸出的球是红球的概率是，摸出的球是白球的概率是 (2)这7个球中红球和白球的数量分别应是个，个． 【分析】本题考查了概率公式，已知概率求数量，正确掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式进行列式计算，即可作答． （2）先设放进的7个球中红球数量为个，则白球数量为个，结合概率公式以及摸出白球的概率是，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，； ∴摸出的球是红球的概率是，摸出的球是白球的概率是； （2）解：设放进的7个球中红球数量为个，则白球数量为个， 依题意，， 则， 解得， ∴（个）； ∴这7个球中红球和白球的数量分别应是个，个． 题型1 求平均数 1．为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份20元，乙种套餐每份15元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（     ） A．17.5 B．18 C．18.5 D．19 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的学生占比为权重，计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为，订购乙种套餐的人数为， ∴总花费为， ∴平均花费为． 2．在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义． 【详解】解：由题意可得，若去掉一个最高分，平均分为，则此时的一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 去掉一个最低分，平均分为，则此时的一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 故， 故选：A． 3．某城市春、夏、秋、冬四季的平均气温（单位）分别为：，，，，则该城市四季的平均气温为_________． 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：平均气温为． 4．已知一组正数a，b，c，d的平均数为5，则，，，的平均数为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平均数的计算，熟练掌握算术平均数的计算是解题的关键．先根据平均数的计算方法求出，再代入，，，的平均数的式子中计算即可． 【详解】解：一组正数a，b，c，d的平均数为5， ， ， 则，，，的平均数为． 故答案为：2． 5．小明想调查某个高速公路入口处每天的汽车流量（单位：辆）．一天，他从上午在该入口处，每隔相等的一段时间作一次统计，共统计了8次，数据如表： 记录的次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 内通过的汽车流量 51 50 64 62 58 55 55 53 试估计：这天上午这内共有___________辆通过该入口． 【答案】 3360 【分析】本题主要考查平均数的实际应用，利用平均数据求出总数，理解题意中利用平均数求总数据的大小是解题关键． 根据表中数据先计算出每的平均汽车流量，然后计算总的时间通过的车次即可． 【详解】解：每的平均汽车流量为： （辆）． 所以，可以估计这天上午这3h通过该入口的车次大约为： （车次）， 故答案为：． 题型2 利用已知的平均数求相关数据的平均数 6．x1、x2、……、x10的平均数为m，x11、x12、……、x50的平均数为n，则x1、x2、……、x50的平均数为（    ） A．m+n B． C． D． 【答案】D 【分析】由x1、x2、……、x10的平均数为m，x11、x12、……、x50的平均数为n知，x1+x2+……+x10＝10m，x11+x12+……+x50＝40n，再根据算术平均数的定义可得答案． 【详解】解：∵x1、x2、……、x10的平均数为m，x11、x12、……、x50的平均数为n， ∴x1+x2+……+x10＝10m，x11+x12+……+x50＝40n， ∴x1、x2、……、x50的平均数为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 7．已知数据 x1，x2，…xn的平均数是2，则3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数为（    ） A．2 B．0 C．6 D．4 【答案】D 【分析】根据数据：x1，x2，…，xn的平均数是2，得出数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×2＝6，再根据每个数据都减2，即可得出数据：3x1-2，3x2-2，…3xn-2的平均数． 【详解】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是2， ∴数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×2＝6， ∴数据3x1-2，3x2-2，…，3xn-2的平均数是6-2＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查的是算术平均数的求法，一般地设有n个数据，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化． 8．已知一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组新数据，，，…，的平均数是_____． 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义，先由原数据的平均数得到原数据的总和，再计算新数据的算术平均数即可． 【详解】解：数据，，，，的平均数为， ，即， ∴新数据的平均数为：． 9．杭州亚运会射箭比赛中，某运动员箭的成绩（单位：环）依次是，，，，，若前箭的平均成绩为环，则这箭的平均成绩为 _____环． 【答案】 【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解题的关键．根据前箭的平均成绩为环，可得，再计算箭的平均成绩，化简为含有的算式，即可求出结果． 【详解】解：前箭的平均成绩为环， ， ， 这箭的平均成绩为， 故答案为：． 10．若数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3，则a，b，c，4，d，e这组数据的平均数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平均数．解决本题的关键是熟练掌握平均数的定义． 根据a，b，c的平均数是2，求出a，b，c的和，根据d，e的平均数是3，求出d，e的和，即可求a，b，c，4，d，e的平均数． 【详解】∵数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是3， ∴，， ∴a，b，c，4，d，e的平均数是， ． 故答案为：． 题型3 求加权平均数 11．某市编程赛成绩按如下权重计算：代码质量占，功能实现占，文档编写占．小明在比赛中这三项成绩分别为：80分、70分、90分，则小明的编程赛成绩为（     ） A．70分 B．75分 C．78分 D．85分 【答案】C 【分析】根据给定的各项成绩和对应权重，计算加权和即可得到最终成绩． 【详解】解：∵ 各项成绩对应权重分别为代码质量，功能实现，文档编写. ∴ 小明的编程赛成绩为：（分）． 12．某校八年级学生参加每分钟跳绳的测试，并随机抽取部分学生的成绩制成了频数分布直方图（如图）．若取每组的组中值作为本小组的均值，则抽取的部分学生每分钟跳绳次数的平均值为（     ） A．100次 B．110次 C．112次 D．120次 【答案】A 【分析】根据跳绳次数分组的中间值，得出每分钟跳绳次数的平均数即可． 【详解】解：由题意可得： （次）． 13．贵州某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照的比例确定最终成绩，该学生各项成绩（百分制）如下表，则该生最终的综合成绩为（    ） 笔试 面试 实际操作 94 80 90 A．88分 B．89分 C．90分 D．94分 【答案】C 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据给定的比例和成绩，使用加权平均数公式求解． 【详解】解：该生最终的综合成绩为（分）， 故选：C． 14．为加快提升广大青少年科技素养，常德市某区开展了信息科技素养测评活动，测评分为知识性、实践性、创新性三类题目，分别按的比例计入综合总分．若小明三类题目的得分分别为90分，80分，60分，则他的最终成绩是________． 【答案】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据三类题目的权重比，利用加权平均数公式即可求解最终成绩． 【详解】解：（分）． 15．一次实验竞赛由笔试、实践操作、结果分析、答辩四项构成，甲、乙两组的各项成绩（十分制）如下表所示． 小组 笔试 实践操作 结果分析 答辩 甲组 9 7 7 9 乙组 7 8 9 m 对笔试、实践操作、结果分析、答辩成绩分别赋权2，4，2，2，计算每组的平均成绩．如果甲、乙两组的平均成绩相同，那么m的值为________． 【答案】7 【分析】先根据加权平均数计算公式求出甲组的加权平均成绩，再根据两组平均成绩相等建立关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：权重总和：． 甲组的加权平均成绩：， 乙组的加权平均成绩：， 由题意得， 即， 解得． 题型4 利用（加权）平均数做决策 16．相声是一门讲究说、学、逗、唱的民间表演艺术．某相声社招录学员，甲、乙二人各项测评成绩如表所示，说、学、逗、唱成绩按的比确定平均成绩，则优先录取_________．（填甲或乙） 说 学 逗 唱 甲 80 85 90 95 乙 90 80 95 85 【答案】乙 【分析】根据给定的成绩权重，分别计算甲、乙两人的加权平均成绩，比较大小后，平均成绩更高者优先录取． 【详解】解：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， ， 乙的平均成绩更高， 优先录取乙． 17．某旅游景点招聘一名解说员，现有甲、乙、丙三人竞聘．通过听、说、写三项测试，他们各自的成绩（百分制）如下表所示： 听 说 写 甲 乙 丙 其中听、说、写三项成绩按的比例计算最终成绩，取最高分录用．则最后录用的人是________． 【答案】 甲 【分析】分别计算甲、乙、丙三人的加权平均成绩，比较大小得到最高分，即可确定录用人选． 【详解】解：由题意得，听、说、写三项成绩的权重和为， 甲的加权平均成绩：， 乙的加权平均成绩：， 丙的加权平均成绩：， 比较大小得，甲的最终成绩最高，故录用甲． 18．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：）及方差（单位：）如表所示： 品种 甲 乙 丙 丁 x 23 23 24 24 2.1 1.9 2 1.9 今年准备从四个品种中选出一种产量高且稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是________． 【答案】丁 【分析】本题考查了利用平均数和方差进行决策，熟练掌握平均数和方差的意义是解题关键．先根据平均数可得应该选择丙或丁品种，再根据方差的大小进行选择即可得． 【详解】解：因为丙和丁品种的平均数大于甲和乙品种的平均数， 所以从平均数看，应该选择丙或丁品种， 又因为丁品种的方差小于丙品种的方差， 所以丁品种的产量更稳定， 所以应选的品种是丁， 故答案为：丁． 19．某商场招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘．通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自的成绩（百分制）如下表所示． 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 50 60 85 (1)商场对计算机、语言和商品知识分别赋权2、3、5，计算两名应试者的平均成绩．从成绩看，应该录取谁？ (2)该商场员工月收入如下表，试计算该商场员工月收入的平均数；若用平均数来代表这个商场员工月收入的大致情况是否合理？请说明理由． 月收入/元 20000 18000 12000 8000 6000 5000 人数 1 2 4 5 7 6 【答案】(1)甲的平均成绩为69分，乙的平均成绩为分，应该录取乙； (2)该商场员工月收入的平均数为8640元，用平均数代表这个商场员工月收入的大致情况不合理，理由如下： 由表格可得，该商场总员工数为（人）， 所有员工月总收入为（元）， ∴月收入平均数为（元）， 该商场只有少数员工的月收入达到或超过8640元，大多数员工的月收入都低于8640元，平均数受极端高收入的影响较大，不能反映大多数员工的月收入水平， ∴用平均数来代表这个商场员工月收入的大致情况不合理． 【分析】（1）按照给定权重分别计算两名应试者的加权平均成绩，比较成绩大小，录取成绩最高者； （2）先根据加权平均数公式计算月收入平均数，再结合极端值对平均数的影响判断合理性． 【详解】（1）解：∵计算机、语言、商品知识的权重分别为，，， ∴甲的加权平均成绩为（分）， 乙的加权平均成绩为（分）， ， 乙的平均成绩最高，应该录取乙； （2）略 20．某互联网公司正在招聘一名产品经理，经过初筛后，甲、乙、丙、丁四名候选人进入最终考核环节，考核分为三个部分： （1）笔试（占比）：考察产品知识、逻辑分析能力． （2）面试（占比）：考察沟通能力、团队协作、职业规划． （3）项目实战（占比）：要求候选人在2小时内完成一个简单的产品需求文档（），考察实操能力．四位候选人的各项成续如下表所示（满分100分）： 项目 考核成绩 甲 乙 丙 丁 笔试 87 90 88 86 面试 90 88 92 94 项目实战 83 92 85 90 请计算四位候选人的最终得分，按照公司要求；项目实战成绩必须达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单，那么最终录用的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 首先检查项目实战成绩是否达到85分，甲不符合条件；然后计算乙、丙、丁的加权平均分（笔试、面试、项目实战），比较得分高低． 【详解】解：∵项目实战成绩达到85分以上（包括85分）才能进入录用名单， ∴甲的项目实战成绩是83分，，不符合； 乙、丙、丁的项目实战成绩均符合． 计算最终得分： 乙：分， 丙：分， 丁：分， ∵丁得分最高， ∴录用丁． 故选D． 题型5 求中位数与众数 21．某校为弘扬航天精神举办了“航天知识竞赛”，随机抽取10名学生的成绩（单位：分）如下：85，90，90，92，94，95，95，95，98，100．这组数据的中位数和众数分别是（     ） A．94.5，95 B．94，95 C．95，95 D．94.5，94 【答案】A 【分析】根据定义分别计算即可得到结果，本题数据已按从小到大排序，直接按定义求解. 【详解】解：∵这组数据共个，已经按从小到大排序，数据个数为偶数，中位数为排序后最中间两个数的平均数，最中间为第个和第个数据，分别是和， ∴中位数为； ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，这组数据中出现次，出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别是，. 22．一个小组名同学的跳绳成绩（单位：次）分别是：，，，，，则这组数据的中位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将数据按顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列，可得：，，，，， 这组数据共有个，数据个数为奇数 ， 中位数为排序后位于中间位置的第个数据， 这组数据的中位数是． 23．4月某一周，醴陵市的最高气温（单位：）分别是，，，，，，，这组数据的众数是________． 【答案】 【分析】根据众数的定义，统计这组数据中每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：在数据，，，，，，中，出现次，出现次数最多，根据众数的定义，可知这组数据的众数是． 24．某校随机调查了100名学生所穿衣服的尺码，统计结果如图所示．则这100名学生所穿衣服尺码的众数是_______． 【答案】M 【分析】根据扇形统计图各部分百分比之和为1求出m的值，再比较各尺码所占百分比的大小，占比最大的即为众数． 【详解】解：由扇形统计图可知，， ∵， ∴尺码为M的学生人数最多， ∴这100名学生所穿衣服尺码的众数是M． 25．某学校开展了阳光体育活动，倡导同学们课余练习足球、篮球、排球及乒乓球等项目，一段时间后，随机调查了一部分学生参与锻炼的体育项目个数，并进行了统计，绘制出统计图①和图②．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生人数为_____，图①中的值为_____，这组数据的众数为_____，中位数为_____； (2)求本次抽测的这组数据的平均数； (3)若该校有名学生，试估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为多少？ 【答案】(1)，，， (2)这组数据的平均数为 (3)人 【分析】（1）根据参与个项目的人数及所占百分比求出总人数，再用减去其他项目的百分比求出的值，根据众数和中位数的定义确定众数与中位数． （2）根据平均数公式计算这组数据的平均数． （3）用总人数乘以参与个项目的人数所占百分比，估计该校参与个项目的人数． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为（人）， ∵项所占百分比为， ∴． 参与个项目的人数最多，为人，故众数为． 将数据从小到大排列，第、个数据分别为和， ， 故中位数为． （2）解：， 这组数据的平均数为； （3）解：（人）． 估计该校学生参与锻炼的体育项目个数为的人数约为人． 题型6 利用中位数、众数求未知数据的值 26．已知三个数、5、7，若添加一个数组成一组新数据，且这组新数据唯一的众数与中位数相等，则这个新数据为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数和众数的确定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的一个， ∴添加的新数据只能是、5、7中的一个， 又∵中位数为排序后位于中间两位的平均数，且其中一个数一定是5，且众数等于中位数， ∴这个新数据只能是5； 故选C． 27．某车间工人在某一天加工的零件数只有5件，6件，7件，8件四种情况，这天的相关数据如图所示，有一个数据看不到，只知道7是这一天加工零件数的中位数．设加工零件数是7件的工人有x人，则x的最小值是（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【分析】本题考查根据中位数确定未知数的值，由题意，可知，将数据从小到大排序后，第29个数为7，当第29个数据为中位数时，x的值最小，进行求解即可． 【详解】解：∵7是这一天加工零件数的中位数， 由题意可知：将数据排序，第个数据为7， ∴当第29个数据为中位数时，x的值最小，此时数据总数为：， ∴x的最小值是：， 故选C． 28．若一组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是6，则这组数据的中位数是（    ） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查众数与中位数，掌握根据众数定义确定数据中的未知量，再将数据排序求中位数是解题的关键． 先根据众数的定义确定的值，再将数据排序，根据中位数的定义求出中位数，进而分析选项． 【详解】解：这组数据的众数是6， 将这组数据 从小到大排列为： 数据个数为7，是奇数，所以中位数是第4个数，即5． 故选：B． 29．一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 ________． 【答案】1或2 【分析】根据众数的定义，结合正整数的性质解答即可． 本题考查了众数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4， ∴， 由x为正整数, 故数据x是1或2． 故答案为：1或2． 30．一组由7个整数组成的数据：9，4，，7，，5，10，它们的中位数与众数相同，则满足条件的值共有______个． 【答案】5 【分析】分五种情况：当a=5时，当a=6时，当a=7时，当a=8时，当a=9时，即可求解． 【详解】解：当a=5时，这7个数按从小到大排列为4，5，5，5，7，9，10， 所以中位数为5，众数为5，此时中位数与众数相同； 当a=6时，这7个数按从小到大排列为4，5，6，6，7，9，10， 所以中位数为6，众数为，6，此时中位数与众数相同； 当a=7时，这7个数按从小到大排列为4，5，7，7，7，9，10， 所以中位数为7，众数为7，此时中位数与众数相同； 当a=8时，这7个数按从小到大排列为4，5，7，8，8，9，10， 所以中位数为8，众数为8，此时中位数与众数相同； 当a=9时，这7个数按从小到大排列为4，5，7，9，9，9，10， 所以中位数为9，众数为9，此时中位数与众数相同； ∴满足条件的a的值为5，6，7，8，9，共5个． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 题型7 利用中位数、众数做决策 31．在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与________（从平均数、众数、中位数、方差中选择）有关． 【答案】中位数 【分析】此题考查统计量的选择，要熟练掌握解答此题的关键是要明确：数据的平均数，众数，中位数是描述一组数据集中趋势的特征量，属于基础题，难度不大，根据中位数的意义分析解答即可． 【详解】在某次赛制为“12进4”且当场公布分数的舞蹈比赛中，小华所在的队伍当第10支队伍分数公布后仍排名第二而欢呼，请问她们判定自己已进入下一轮比赛的依据与中位数有关, 故答案为：中位数． 32．为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）数据进行统计： 八年级：，，，，，，，，，； 九年级：，，，，，，，，，． 整理如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)__________，__________，__________； (2)同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是__________年级的学生； (3)若该校八年级学生有800人，请估计该校八年级学生的平均每周锻炼时长达到八小时及以上的学生共有多少人？ 【答案】(1)8，8，9 (2)八 (3)人 【分析】本题考查平均数、中位数、众数和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据平均数、中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）利用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）将八年级10名学生的平均每周锻炼时长从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数， ∴中位数， 九年级平均数， 九年级10名学生的平均每周锻炼时长9小时出现的次数最多，众数， 故答案为：8，8，9； （2）同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是八年级的学生． 故答案为：八； （3）根据题意：（人） ∴估计该校八年级学生的平均每周锻炼时长达到八小时及以上的学生共有人． 33．从2024年开始，山西省将八年级信息技术考试成绩计入中考总分．根据山西省招生考试管理中心公布的复习题（满分15分），某校组织了一次适应性考试，“腾飞小组”和“希望小组”的同学的成绩如下：（每组10名学生，单位：分）． 腾飞小组 15 15 14 12 15 13 14 15 12 15 希望小组 14 13 15 14 13 15 12 15 15 14 (1)腾飞小组成绩的中位数是_____分，希望小组成绩的众数是_____分； (2)计算希望小组的平均成绩； (3)已知小宇所在小组成绩的中位数比另一个小组成绩的中位数小，则小宇所在的小组是______． 【答案】(1)，15 (2)14分 (3)希望小组 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，解题的关键是熟练掌握以上定义和公式． （1）利用中位数和众数定义进行求解即可； （2）利用平均数的公式进行求解即可； （3）求出希望小组的中位数对比即可． 【详解】（1）解：腾飞小组成绩的中位数取排序后的第5位和第6位的平均数， ∴中位数为（分）， 希望小组成绩的众数是15， 故答案为：，15； （2）解：希望小组的平均成绩为：（分）； （3）解：希望小组成绩中位数取排序后的第5位和第6位的平均数， ∴中位数为（分）， ， ∴小宇所在的小组是希望小组． 故答案为：希望小组． 34．【项目背景】 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活，技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献，某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考． 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分，从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理，成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：） 下面给出了部分信息： 甲款软件名使用者打分为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款软件名使用者打分在等级的数据是：，，，，，． 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 年级 平均数 众数 中位数 甲款软件 乙款软件 乙款AI软件抽取的使用者打分统计图 【数据分析与应用】 任务一：上述表中a ＝ ____________；b ＝ ____________； 任务二：求扇形统计图中A组所占圆心角的度数． 任务三：下列结论一定正确的是____________． ①甲乙两款样本数据的中位数均在A组； ②得分96分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多． 任务四：根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款AI更优，并说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务一：；； 任务二： 任务三：② 任务三：甲款更优秀 【分析】本题考查了众数，中位数，扇形统计图的圆心角度数，数形结合是解题的关键； 任务一：根据众数，中位数的定义即可求解； 任务二：根据A组的占比乘以，即可求解； 任务三：根据题目中的数据逐项分析，即可求解． 任务四：根据甲款软件的众数和中位数都高于乙款软件，则甲款更优秀． 【详解】任务一：根据甲款软件名使用者打分可得，众数， 乙款软件打分在等级的数据有个，占， 则等级的占比为 ∴等级的数据有：个， ∴第和个数据为，，则； 故答案为：；． 任务二：扇形统计图中A组所占圆心角的度数为 任务三：①甲款样本数据的中位数在A组；乙款样本数据的中位数在组，故①错误 ②得分96分以上的样本数据甲乙一样多，都是个，故②正确 ③甲乙两款样本数据的满分不一定一样多，故③不正确． 故答案为：② 任务四：甲款更优秀． 甲款软件的众数和中位数都高于乙款软件，则甲款更优秀． 35．西大附中09届校友储卫民荣获“2024年感动重庆十大人物”提名奖．他策划拍摄的《火车看中国》《不一样的中国》《中国新塔》等系列作品，不仅仅是一幅幅美丽的风景照，更是一个个充满故事的画面，通过人物情感、表情与环境的互动，展现出中国人民的勤劳、善良和勇敢，向世界真实展现当代中国的发展变化，看到一个真实、美丽、充满活力的中国．小福是我校初三年级的学生，更是储卫民的粉丝，为了了解同学们对储卫民的喜爱程度，他在初三（1）班和（2）班各随机抽取了20位同学展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，共分成4组，其中A：为不喜欢，B：为比较喜欢，C：为喜欢，D：为非常喜欢），下面给出了部分信息：初三（1）班20名学生评分数据的扇形统计图如图所示：其中评分在D：的学生评分为：91，91，92，93，94，95，97，98，99，99，99，99，99，根据信息，解决下列问题： 初三（2）班20名学生的评分数据整理如表： 分数 70 81 83 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 1 2 0 1 3 2 4 1 5 两组数据的平均数，众数，中位数，如表所示： 班级 平均分 中位数 众数 初三（1）班 91.7 99 初三（2）班 91.7 93 (1)填空：____________，____________，____________． (2)根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢储卫民，请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校初三年级共1600人，估计初三年级对储卫民“非常喜欢”的人数？ 【答案】(1)92.5，100，20 (2)初三（2）班的同学更喜欢储卫民，理由见解析 (3)1120人 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表、中位数、众数、样本估计总体等，根据题意进行正确求解和分析是解题的关键． （1）找出初三（1）评分数据的中位数为第10个和第个数据的平均数，即可求出a的值；初三（1）班评分在D：的学生所占的百分比，用1减去已知各项的占比，即可得到m的值；根据初三（2）的评分数据中出现次数最多的数据，即可求出b的值； （2）根据中位数、众数等方面分析即可得到答案； （3）用总人数乘以抽取的对储卫民“非常喜欢”的评分的所占百分比即可得到答案． 【详解】（1）解：将初三（1）班评分数据从大到小排列，第10个数据是93，第11个数据为92， ∴中位数， ∵初三（1）班评分在D：的学生有13人，占， ∴； 根据初三（2）班表格数据，评分为100分的有5人，人数最多， ∴众数， 故答案为：92.5，100，20； （2）解：我认为初三（2）班的同学更喜欢储卫民，理由是：初三（2）班的评分数据中位数和众数都高于初三（1）班的评分数据，故初三（2）班的同学更喜欢储卫民； （3）解：由题意，初三（1）班对储卫民“非常喜欢”的有13人，初三（1）班对储卫民“非常喜欢”的有15人， ∴初三年级对储卫民“非常喜欢”的人数有人． 题型8 求四分位数 36．某城市9月份空气质量指数的箱线图如下图所示．这个月空气质量指数的第三四分位数是（     ） A．30 B．40 C．50 D．80 【答案】D 【详解】解：由箱线图可知，这个月空气质量指数的第三四分位数为． 37．将某小组立定跳远数据（单位：）绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（     ） A．230 B．203 C．187 D．9 【答案】A 【详解】解：由箱线图可知上四分位数为230． 38．某班在4月体育跳远测试中，第一组同学的得分分别为10、12、13、13、13、14、14、15、15、15，则这组数据的第一四分位数是（     ） A．12 B．12.5 C．13 D．13.5 【答案】C 【分析】根据四分位数的不同定义求解即可． 【详解】解：方法一：∵该组数据共个，已经按从小到大排列，计算第一四分位数的位置得， ∵ 不是整数， ∴取大于的最小整数， ∴该组数据的第一四分位数是第个数据，即 方法二：该组数据的中位数是第5、6个数据的平均数，为，前半组数据为10、12、13、13、13，则中位数为第一四分位数． 39．已知一组被墨水污染的数据：，，，，，，11，13，其箱线图如图所示，则被污染的数据为__________和__________，这组数据的第一四分位数是__________． 【答案】 【分析】直接根据箱线图进行作答即可. 【详解】解：由图可知，这组数据的最大值为14，最小值为3，第一四分位数是5， 故被污染的数据为3和14. 40．2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为了让同学们铭记历史、缅怀先烈，弘扬伟大的爱国主义精神、伟大的抗战精神，某地区甲、乙两个学校举行了“纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年”知识竞赛，最后的决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了10名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙校：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 (1)求甲校测试成绩的四分位数； (2)根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查箱线图的运用． （1）根据四分位数的计算方法即可求解； （2）根据箱线图的画法作图即可求解； （3）根据箱线图数据分析即可． 【详解】（1）解：将甲组的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共有10个数据， ∴中位数为， 前半段的数据：60，70，70，80，89， ∴， 后半段的数据：91，92，96，98，100， ， ∴，，； （2）解：如图所示： （3）解：根据箱线图和四分位数可知甲校成绩的中位数和乙校相同，但甲校成绩明显比乙校的波动大． 题型9 画箱线图 41．学校为了解八年级学生的体能状况，对该年级1班和2班的学生进行了跳绳测试．如图是老师绘制的两个班级成绩的箱线图．下列说法正确的是（     ） A．1班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在2班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．2班跳绳次数整体比1班好 【答案】D 【分析】需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A、∵1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为，， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B、∵1班最下端点是136，2班最下端点是152，， ∴1班的最小值更小，故B错误； C、∵1班中位数是165，2班中位数是172，， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D、∵2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 42．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图能判断分数方差最小、数据最集中的班级是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：箱线图中，甲班分数最大值与最小值的差值以及上四分位数与下四分位数的差值最小，数据最集中，方差最小． 43．在以“运动强体魄，青春绽光彩”为主题的跳绳比赛中，已知八年级1班和2班的人数相等．两个班成绩的箱线图如图所示，由图可知_______班成绩更集中． 【答案】二 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 44．某校为了解八年级学生的身体健康情况，现从中随机抽取部分学生进行体育测试，并将成绩统计如图所示．请根据图表中所提供的信息，解答下列问题： 八年级学生体育测试成绩 体育成绩（分） 人数（人） 百分比（%） (1)本次测试抽取的总人数为______人；______； (2)本次测试成绩的中位数为______分，并在如图的箱线图中画出该中位数对应的线段； (3)已知该校八年级共有名学生，如果体育成绩达分以上（含分）为身体健康，请估计该校八年级学生身体健康的总人数． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3)约人 【分析】本题考查了频数与频率、中位数以及用样本估计总体的统计知识，熟练掌握相关概念和计算方法是解答本题的关键． （1）利用已知频数和对应百分比，通过除法求出抽取的总人数，再根据总人数和指定百分比计算对应频数； （2）将所有成绩按顺序排列后，根据数据个数确定中位数的位置，进而求出中位数； （3）先计算样本中体育成绩达分以上（含分）的人数所占比例，再用该比例乘以八年级总人数，估计身体健康的总人数． 【详解】（1）解：本次测试抽取的总人数为：（人）， ； （2）解：把人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数为分和分，故本次测试成绩的中位数为：（分）， 如图所示： （3）解：（人）， 答：估计该校八年级学生身体健康的总人数约人． 45．学校的“数据实践社”数学兴趣小组为比较甲地和乙地2025年2月份的日均气温，收集了两地该月每天的平均气温，制作了如下统计图（不完整），其中甲地每天平均气温依次如下：（单位：） 根据以上信息回答下列问题： (1)甲地2月日均气温的中位数为___________； (2)请在表示甲地“2月每天平均气温”的箱线图中画出该地中位数所对应的横线； (3)结合箱线图，请从数据的集中趋势或离散程度分析这个月甲、乙两地气温的特点． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了求中位数，箱线图，熟知中位数和箱线图的知识是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据（1）所求结合箱线图的知识作图即可； （3）根据箱线图结合题意言之有理即可． 【详解】（1）解：∵2025年2月一共有28天， ∴将甲地这28天的日均气温按照从低到高的顺序排列，第14名和第15名的气温的平均数为甲地2月日均气温的中位数，即为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，甲地这28天的日均气温有接近一半的天数的气温不高于，乙地这28天的日均气温有接近一半的天数的气温不高于． 题型10 求方差 46．已知一组数据1，3，5，7，则该组数据的方差（     ） A．1 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】按照方差的计算步骤，先求出数据的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果. 【详解】解：∵ 数据为，共个数， ∴ 平均数， ∴ . 47．一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求方差，熟知方差的性质是解答的关键．先求出原数据的平均数，再根据方差性质，分析加入数a后方差变小的条件，进而确定a的可能取值． 【详解】解：由题意，原数据的平均数为， 加入一个数a后，原数据的个数变为6，平均数为，要使加入a后方差变得更小，那么a应该更接近原数据的平均数6.6， 在各选项中，∵，，，，又， ∴时最接近平均数6.6，此时方差最小， ∴a最可能为7， 故选：D． 48．某地5家企业在今年第一季度的产值（单位：亿元）分别为7，8，10，11，14，则这组数据的方差为________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式代入计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数， 方差为． 49．某校举办“强国有我”演讲比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 9 a 乙 8.8 b 0.96 丙 c 8 0.96 根据以上信息，完成下列问题： (1)求出，，的值； (2)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 【答案】(1)0.56，9，8.8 (2) 选甲更合适，理由如下： 三位选手的平均成绩一样说明三人实力相当，但甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定， 选甲更合适． 【分析】本题考查了中位数，平均数，方差；折线统计图、条形统计图、扇形统计图；从图获取有效信息是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数、方差的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案． 【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲的方差为 由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为：10、9、9、9、8， 乙得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8, 丙得分的平均数为 故，，， 故答案为：0.56，9，8.8； （2）略 50．我市某中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示根据图中数据解决下列问题： (1)根据图示求出表中的a、b、c． 平均数 中位数 众数 九（1）班 a 85 c 九（2）班 85 b 100 ， ， ； (2)小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：． 请你求出九（1）班复赛成绩的方差． 【答案】(1)，， (2)70 【分析】本题主要考查了求平均数，中位数，方差和众数，熟知相关定义是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数的定义求解即可； （2）根据方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由表可知，九(1)班成绩的平均数为(分)，众数(分)， 九(2)班成绩重新排列为：，则九(2)班成绩的中位数分， 故答案为：； （2）解：九(1)班复赛成绩的方差为． 题型11 利用方差求未知数据的值 51．如果样本方差，那么这个样本的平均数和样本容量分别为（    ） A．2，4 B．2，6 C．3，6 D．4，6 【答案】A 【分析】此题考查了方差，解题的关键是根据方差的定义以及公式中各个字母所表示的意义进行解答． 根据方差公式中所有字母所代表的意义，是样本中的平均数进行解答即可． 【详解】∵在公式平均数是，样本容量是n， ∴在中，这个样本的平均数为2，样本容量是4． 故选：A． 52．若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查方差，观察两组数据分布特点，根据方差表示的是数据波动大小求解． 【详解】数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，前4个数据也是相差2，数据波动一致， ∴若或时，两组数据方差相等， 当时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19小，即方差更小， 当或时1，3，5，7，的数据波动比11、13、15、17、19大，即方差更大， 则的值不可能是10． 故选：A． 53．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，那么另一组数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是（  ） A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18 【答案】C 【分析】根据平均数和方差的变化规律可得数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数和方差分别是数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数和方差的3倍和32倍，计算即可. 【详解】∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3， ∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均数是3×2=6，方差是3²×3=27． 故选：C 【点睛】本题主要考查了平均数和方差的知识，若一组数据x₁，x₂，x₃， …xn的平均数为，方差为S²，则数据ax1，ax2，ax3， …axn的平均数为，方差为a2S2，掌握以上知识是解题的关键． 54．已知一组数据：，，，…，，小明用，计算这一组数据的方差，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了方差的定义：一般地设个数据，，，，…，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，根据方差公式可以确定这组数据的平均数和数据个数，相乘即可得出答案，解题的关键是熟记方差计算公式，根据公式确定平均数与数据个数． 【详解】解：由，可知这个数据的平均数为， ∴， 故答案为：． 55．如果一组数据的方差，已知9是这组数据中的一个数据，现把9去掉，所得新的一组数据的平均数是______． 【答案】21 【分析】由方差可知，这组数据共有12个，平均数为20，进而可知去掉一个数据后共有11个数据，数据总和为，然后根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：由方差可知，这组数据共有12个，平均数为20， ∴去掉9后，所得新的一组有11个数据的数据总和为， ∴新的一组数据的平均数为， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了方差，平均数．解题的关键在于根据方差确定原数据共有12个，平均数为20． 题型12 运用方差做决策 56．学校组织甲、乙、丙、丁四名运动员参加市运会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表： 甲 乙 丙 丁 /秒 根据表中数据，你认为应该推荐运动员_______去参赛，更有把握取得优异成绩． 【答案】丙 【分析】要选出更有把握取得优异成绩的运动员，结合100米项目特点，先根据平均成绩判断整体成绩优劣，100米项目用时越短成绩越好，再根据方差判断成绩稳定性，方差越小成绩越稳定，据此筛选即可得到结果． 【详解】解：在100米项目中，平均成绩越小，代表运动员整体成绩越好． 比较四名运动员的平均成绩，可得， 甲、丙的平均成绩小于乙、丁的平均成绩， 因此优先考虑甲、丙两人． 方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定． 甲的方差为，丙的方差为，，因此丙的成绩更稳定． 综上，甲、丙的平均成绩相同，但丙的成绩更稳定，应推选丙参赛． 57．为加强中学生安全意识，树立“安全第一，预防为主”的思想，某中学开展了校园安全知识竞赛，八年级甲、乙、丙三个班比赛成绩的平均数与方差如表所示．若要从中选择一个成绩较好且发挥稳定的班级代表年级去参加该知识竞赛，应该选择_________班． 甲 乙 丙 平均数 方差 【答案】乙 【分析】根据平均数和方差的意义解题，先选出平均数较大的成绩较好的班级，再从中选出方差较小的发挥更稳定的班级，即可求解． 【详解】解：由表中数据可知，甲，乙两班的平均数均为，大于丙班的平均数，因此甲，乙两班成绩较好. 在甲，乙两班中，乙班的方差为，小于甲班的方差，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定，因此乙班发挥更稳定． 58．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板两个方面的统计结果如下． 比赛得分统计图：    技术统计表： 队员 平均每场得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________；________（填“”、“”或“”）． (2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． (3)规定“综合得分”按平均每场得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ 【答案】(1)28，29， (2)解：从得分方面看，甲队员的平均每场得分高于乙队员，且甲队员得分的方差小于乙队员得分的方差， 故甲队员的表现更好； (3)解：甲队员的综合得分为， 乙队员的综合得分为， ， 故乙队员的表现更好. 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出的值，根据波动情况判断方差的大小即可； （2）从平均数和方差两方面，进行判断即可； （3）求出加权平均数，比较大小即可. 【详解】（1）解：甲数据中出现次数最多的是28，故； 乙数据排序后，第3个和第4个数据的平均数为，故； 由折线图可知，甲的数据波动明显小于乙的数据波动， ∴； （2）略 （3）略 59．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛的相关数据． 【信息1】 甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 36.25 乙 27 27.5 3.25 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 【答案】(1)；； (2)甲综合得分：， 乙综合得分：， ∵， ∴甲队员的表现更好； (3)从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是小于甲的得分方差，说明乙的得分更稳定； 从平均得分的角度分析，乙的平均得分分高于甲的平均得分分，说明乙的平均得分更好； ∴我认为乙队员表现更好． 【分析】（1）观察乙的得分数据根据众数的定义可求；将甲的得分排序后，根据中位数定义可求；根据甲的篮板统计图，结合平均数的计算公式可求； （2）根据加权平均数的计算公式计算甲、乙的综合得分，再比较大小即可解答； （3）可从平均得分、方差、众数、中位数、篮板数等指标中任选两个，因为不同指标反映不同的表现维度，所以结合指标数据进行分析． 【详解】（1）解：乙的得分中，出现次数最多（次）， ∴得分众数； 将甲的得分从小到大排序：，，，，，，，，共个数， ∴中位数为第、个数的平均数：； 由篮板统计图可得，甲的平均每场篮板； （2）略 （3）略 60．2026年，中国人工智能项目DeepSeek取得重大突破．其发布的新一代大模型 在推理性能上比肩全球一流模型，并率先完成与华为昇腾国产芯片的深度适配，同时开放识图模式等功能，展现出强大的多模态理解能力．其开源免费的模式与极低的推理成本，引发了全球科研界和社会的广泛关注．某初中学校为了解学生对DeepSeek等智能软件的使用情况，举办了智能软件使用技能竞赛，现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： a．八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100 b．九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88． c．八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 84.5 84.5 中位数 83.5 众数 82 79 方差 102.75 122.5 d．九年级所抽学生的竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________． (2)请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由．（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？ 【答案】(1)， (2)解：八年级成绩更好．理由：八年级和九年级的平均数相同，但八年级的方差更小（），说明八年级学生成绩更稳定 (3)名 【分析】（1）由题意易得A组占，B组6人，所占百分比为，然后根据中位数的定义及题意进行求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数及方差可进行求解； （3）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：九年级20人中，A组占，即人；B组6人，所占百分比为；所以C组占，即6人；D组人． 中位数为第10、11个数的平均值．九年级数据中，第10、11个数为81、82， ∴，； （2）略 （3）解：八年级优秀人数：20人中80分以上的有15人，优秀率， 八年级优秀人数名， 九年级优秀人数：A组5人+B组6人名，优秀率， 九年级优秀人数名， 总优秀人数名， 答：八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有名． 题型13 求离差平方和及其应用 61．一组数据3，4，a，5的平均数为，若数据4与的离差为1，则a为（     ） A．0 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先根据离差的定义求出这组数据的平均数，再根据平均数计算公式列方程求解即可． 【详解】解：∵数据与的离差为， ∴， 解得， 又∵数据，，，的平均数为， ∴， 整理得， 解得． 62．把数据2，4，6，9，10分成两组，根据组内离差平方和最小的原则，最佳分组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】计算每个选项的总离差平方和，其中总离差平方和为两组离差平方和之和，比较大小后即可得到总离差平方和最小的分组． 【详解】解：对于选项A：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项B：∵的平均数， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项C：∵单元素组的离差平方和为， ∴， ∵的平均数， ∴， ∴； 对于选项D：∵的平均数， ∴， ∵单元素组的离差平方和为，即， ∴. 比较大小得， 所以最佳分组为选项B． 63．学校种植园中有 盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将 盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有 种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则 盆植物的最优分组序号是______． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组 个，第二组 个 ② 第一组 个，第二组 个 ③ 第一组 个，第二组 个 【答案】③ 【分析】根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解． 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组， ∵， ∴序号③的组内离差平方和最小，即盆植物的最优分组序号是③． 64．五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表： 分组方案 第1组 第2组 组内离差平方和 方案① 5.0 5.6，6.0，6.8，7.2 方案② 5.0，5.6 6.0，6.8，7.2 0.93 方案③ 5.0，5.6，6.0 6.8，7.2 0.59 方案④ 5.0，5.6，6.0，6.8 7.2 1.71 想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（     ） A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案④ 【答案】C 【分析】要让组内同学水平最接近，即组内数据波动最小，组内离差平方和越小，数据波动越小，先计算方案①的离差平方和，再比较四个方案的离差平方和，最小的即为最合理分组． 【详解】解：∵方案①第一组只有个数据，离差平方和为， 第二组数据为，第二组的平均数， ∴第二组的离差平方和为， ∴， 比较四个方案的组内离差平方和得 ， ∵组内离差平方和越小，组内同学成绩越接近，水平越一致， ∴方案③分组最合理． 65．艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干名同学进行艺术测评与分析，下面是对九年级（1）班抽测到的10名同学的测评分值的数据分析过程： 10名同学的测评分值数据分组统计如表： 分组方式 组别 测评分值数据 方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 分组数据统计分析如表： 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 85 46 Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近． (1)如图所示为10名同学测评分值的统计图，则图中“90分”对应的圆心角度数为________． (2)________，________，________，________． (3)为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，应尽可能保持同组成员之间的水平接近，请你根据以上信息，选择一种有利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 【答案】(1)108 (2)85；90；360；16 (3)解：选择方式二，理由如下： 根据题意，组内离差平方和越小，同组成员水平越接近，越有利于小组学习， 方式一的总组内离差平方和为，方式二的总组内离差平方和为，，因此方式二同组成员水平更接近，故选择方式二． 【分析】（1）用360度乘以得分为90的人数占比即可得到答案； （2）根据中位数和众数的定义可得的值，根据方差与离差平方和之间的关系可求出； （3）根据题意应选择组内离差平方和较小的分组，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得图中“90分”对应的圆心角度数为； （2）解：Ⅰ组数据排序为，5个数的中位数是第3个数，即； 乙组数据为，出现次数最多的数是90，即； 方式一的总离差平方和Ⅰ组离差平方和 Ⅱ组离差平方和 ； 方式二总离差平方和为110，甲组离差平方和为， ∴乙组离差平方和为， ∴乙组方差； （3）略 题型14 等可能性 66．众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类． 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 67．大连某高级中学某年级数学组在期末考试结束后采取抽签轮空批卷制度，试卷需要人工批阅的部分分为填空题（，由一人批阅）和、、、、五道大题，该年级数学组一共位老师参与抽签，抽中轮空票的老师可以不参与阅卷工作，其他老师按照自己抽中的题号批阅相应试题，下列说法正确的是（   ） A．张老师抽中轮空票的概率为 B．夏老师抽中批阅题的概率为 C．刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，王老师批阅题，常老师轮空的概率为 D．已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为 【答案】C 【分析】先理清所有等可能的抽签结果，再结合具体情况具体分析事件概率即可． 【详解】解：依题得，共有七种抽签结果：填空题、题、题、题、题、题、轮空， 张老师抽中轮空票的概率为，选项错误； 夏老师抽中批阅题的概率为，选项错误； 刚开始，王老师和常老师首先同时进行抽签，则在互不影响的前提下，求王老师批阅题，常老师轮空的概率， 即在王老师批阅题的前提下，常老师轮空，概率应计算为，选项正确； 已知王老师第一个抽到了题，夏老师第二个抽到了题，还剩下五种抽签结果， 则此时常老师和张老师同时抽票，则张老师抽到轮空票的概率为，选项错误 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是列举随机实验的所有可能结果、根据概率公式计算概率，解题关键是理清所有等可能的抽签结果． 68．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针分别落在数字1、2、3所示区域内．随机转动两次，则两次数字相同的概率为_______． 【答案】 【分析】先判断出随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同，再画树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】解：由图可知数字的圆心角为， 即随机转动后，指针落在数字1、2、3所示区域的可能性相同， 画树状图如下： 可知共9种情况，其中两次数字相同的情况有3种， 即两次数字相同的概率为． 69．甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有______种不同情况，其中甲是第4名有______种可能情况． 【答案】 8 4 【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解． 【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况， 第1名 第2名 第3名 第4名 ① 丙 乙 丁 甲 ② 丙 丁 乙 甲 ③ 丁 丙 乙 甲 ④ 丁 乙 丙 甲 ⑤ 丁 甲 乙 丙 ⑥ 丁 乙 甲 丙 ⑦ 丙 甲 乙 丁 ⑧ 丙 乙 甲 丁 其中①②③④四种情况是甲为第4名， 故答案为，． 70．现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最大的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填， （1）请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果______； （2）满足条件的填法有______种． 6 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：（1）甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，表中第一个数字是，甲先填， 第二个数字为，第四个数字为， ∵乙会选择填入后使表中现有数据中位数最大的数字． ∴第三个数字可以为9，8或7． 故答案为：． （2）乙会选择填入后使表中现有数据中位数最大的数字．第三个数字可以为9，8或7，第4个数是， 第五个数字可以为，，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有3种选法，第五个数字有2种选法， 满足条件的填法有6种． 故答案为： 6 【点睛】本题考查平均数，中位数的定义，列举法，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 题型15 根据概率公式计算概率 71．如图所示，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次同车厢的高铁车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的，则甲、乙两人座位相邻（座位C与座位D不算相邻）的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数量，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种， 甲、乙两人座位相邻的概率为． 72．某校准备从《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》三首歌曲中随机选择两首进行排练，参加即将举办的“建班制合唱”选拔赛，那么恰好选中前面两首歌曲的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：用A、B、C分别表示《保卫黄河》《我的祖国》《英雄赞歌》， 由题意，可画树状图为： 由树状图，可知共有6种等可能的结果，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种， ∴恰好选中前面两首歌曲的概率为． 73．一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从口袋中随机摸出1个球，记下标号后放回，再随机摸取1个球，则两次所得标号之和为奇数的概率为___________． 【答案】 【分析】画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中和为奇数的有4种情况， ∴两次所得标号之和为奇数的概率为． 74．三星堆文创盲盒是三星堆博物馆以其独特的出土文物为原型，结合现代潮流玩偶设计理念，所开发的一系列创意产品．它成功地将古老神秘的三星堆文化与现代消费潮流相结合，成为“让文物活起来”的典范之作．如图，已知一箱祈福神官系列内有4个盲盒，包括A款青铜大立人，B款铜鸟，C款平头金面青铜人头像，D款青铜戴冠纵目面具，则随机抽取的2个盲盒中有A款青铜大立人的概率为______________． 【答案】/ 【分析】先算总共有多少种抽取2个的情况，然后再算含A的有多少种，根据概率公式 计算即可． 【详解】解：我们将4个盲盒分别记为A、B、C、D， 从4个盲盒中随机抽取2个， 所有等可能的组合共12种等可能结果，如图所示 其中包含A款的结果共6种符合条件的结果， ∴所求概率为 ． 75．某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、B、C、D、E五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下： 成绩频数分布表 等级 成绩（分） 频数 A B C D E 统计B等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题： (1)参赛学生总人数为__________人，成绩频数分布表中__________，__________； (2)参赛学生此次成绩的中位数是__________； (3)若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率． 【答案】(1)40，12，4 (2)82 (3) 【分析】（1）由B等级学生人数除以其占参赛总人数的百分比可求出参赛学生总人数，总人数乘以C等级的百分比求出m，总人数减去其他等级的人数求出n； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）画出树状图，根据树状图得到总的结果数与该事件的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：参赛学生总人数为人， ， ； （2）解：∵， ∴40个数据中的第20，21个数据分别为83，81， ∴参赛学生此次成绩的中位数是； （3）设另外两名学生分别为a，b，小佳用c表示，小亮用d表示， 列树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中同时抽到小佳和小亮的有2种， ∴同时抽到小佳和小亮的概率是 题型16 几何概率 76．一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个灰色小三角形的面积为，表示出相关图形的面积，最后利用简单概率公式求解． 【详解】解：设每个灰色小三角形的面积为，灰色区域的面积为，则每个小正方形的面积为，大正方形的面积为， ∴小球停在灰色区域的概率是． 77．如图，面积为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积大小，进行了模拟试验．通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】随着试验总次数不断增加，点落在不规则图案内的频率逐渐稳定在0.3附近，用稳定的频率估计概率，再结合长方形总面积，即可求出不规则图案的估计面积． 【详解】解：由频率折线图可知，随着试验次数增多，点落在不规则图案内的频率稳定在0.3左右，因此可估计点落在阴影不规则图案内的概率． 已知长方形总面积为，设不规则图案面积为，根据几何概型： ， 计算得： ． 78．如图是一个七巧板形状的飞镖靶盘，将一支飞镖任意投掷在靶盘上，恰好落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】设大正方形的面积为，根据七巧板的特点可以得到7块图形各自的面积，进而求出阴影部分的面积，再根据几何概率公式可得答案． 【详解】解：设大正方形的面积为， 七巧板由块图形组成，其中包括个大等腰直角三角形，个中等腰直角三角形，个小等腰直角三角形，个正方形，个平行四边形， 其中每个大等腰直角三角形的面积为，中等腰直角三角形的面积为，每个小等腰直角三角形的面积为，正方形的面积为，平行四边形的面积为， 观察图形可知，阴影部分由2个小等腰直角三角形，个正方形和个平行四边形组成， ∴ 阴影部分的面积为 ， ∴飞镖恰好落在阴影部分的概率为． 79．如图，学校在教学楼走廊铺设4×4的正方形防滑方格地砖，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，部分地砖区域做了黑色阴影涂鸦．课间开展抛沙包小游戏：将沙包随机抛落在地砖面上（落在地砖缝隙、地砖外则重新投掷），随机抛掷沙包一次，求沙包落在阴影部分的概率是___________． 【答案】 【分析】地板由16个相同的小正方形组成，沙包随机落在地板上，落在阴影部分的概率等于阴影部分面积与地板总面积之比，每个阴影三角形的面积恰好为一个小正方形面积，求出阴影面积，再求比值即可求解． 【详解】解：地板由个相同的小正方形组成， 设每个小正方形的面积为，则地板总面积为16， 观察图形，含有阴影三角形的小正方形共4个， 每个阴影三角形的面积为， 阴影部分的总面积， 沙包落在阴影部分的概率． 80．如图1和图2均是可以自由转动的转盘，图1的转盘被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2的转盘被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘． (1)如图1，转到数字5是________事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)求小明转出的数字小于7的概率； (3)小颖认为，小明转出来的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？ 【答案】(1)随机 (2) (3)解：她的看法对，原因为： 图2绿色部分的扇形圆心角是， 则图2红色部分的扇形圆心角是， 则（小亮转出的颜色是红色）， ∵P（小明转出的数字小于7）， ∴两者概率相同，她的看法对． 【分析】（1）根据事件的分类判断即可； （2）直接根据概率公式计算即可； （3）求出小亮转出的颜色是红色的概率，与（2）比较即可作答． 【详解】（1）解：由图1可知，转到数字5是随机事件； （2）解：共有9种等可能的情况，其中转出的数字小于7的情况有6种， 则P（小明转出的数字小于7）； （3）略． 题型17 列表法或树状图法求概率 81．某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 课程 内容 人数 A 《论语》 B 《史记》 C 《天工开物》 D 《九章算术》 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有________人，表中的值为________； (2)现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比得出调查的总人数，用总人数减去选择其他课程的人数即可得出的值； （2）利用列表法求解即可； 【详解】（1）解：根据题意，得学生一共有（人）， ∴表中的值为． （2）解：列表如下， 第一次第二次 A B C D A B C D 由表可知，共有种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共种， ∴（恰好选到课程A和课程B）． 82．年“苏超”即江苏省城市足球联赛再度开赛，小驰、小成和小龙都是足球迷，三人都已经买到足球票，相约一起去看足球赛．已知奥体中心，两个入口均能进入场馆． (1)小龙从入口进入场馆的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求三人从同一入口进入场馆的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由简单概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能的结果及满足题意的结果，由简单概率公式求解即可． 【详解】（1）解：奥体中心，两个入口均能进入场馆， 小龙从入口进入场馆的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中三人从同一入口进入场馆的有种结果，则三人从同一入口进入场馆的概率为． 83．学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A．非常喜欢，B．喜欢，C．一般，D．不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据上述信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查中，学校一共抽取了_____________名学生，并补全条形统计图； (2)该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数； (3)学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)25，补全条形统计图如下： (2)112人 (3) 【分析】（1）根据统计图先求出被抽查的总人数，然后根据题意得到B类男生人数和A类女生人数，进而问题可求解； （2）根据题意可直接列式进行求解； （3）由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，然后根据列表法进行求解概率即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：本次抽样调查中，学校一共抽取了学生人数为（名）， ∴（名），即B类男生人数为（名）， A类女生人数为（名）， 补全条形统计图略； （2）解：由（1）可得：（人）， 答：对活动“非常喜欢”的学生人数112人； （3）解：由题意可设C类学生中男生为，女生为，D类学生中男生为，女生为，则可列表如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的有6种等可能的结果，所以抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为． 84．为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题： 类别 参与创新实践活动的时间（单位：小时） A B C D E (1)本次随机调查的学生共有_________人，补全条形统计图． (2)若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生人数． (3)已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)40； (2)120人 (3) 【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出本次调查的学生人数．将本次调查的学生人数减去已知的A，B，D，E类的人数，求出C类的人数，即可补全条形统计图； （2）将该校八年级学生320人乘以本次调查中平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生比例即可解答； （3）通过画树状图或者列表，找出所有等可能的情况数，和满足要求的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：本次调查的学生共有（人）， C类的学生有（人）． （2）解：（人）， 答：估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在小时及以上的学生有120人． （3）解：画树状图为： 由此可得，从中抽取两名同学共有6种等可能情况，其中所抽取的两名学生恰好是一男一女的情况有4种情况， ∴所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率为． 85．为了解某景区游客消费情况，某天工作人员采用抽样调查的方法，随机抽取若干名游客，调查人均日消费金额．统计情况如下表： 【数据收集与整理】 组别 人均日消费金额x（元） 组中值 频数 频率 A 100 20 0.1 B 300 60 0.3 C 500 a 0.4 D 700 30 b E 900 10 0.05 【数据描述】   【数据分析与应用】根据以上信息，解答下列问题： (1)频数分布表中____________，____________； (2)补全频数分布直方图； (3)用组中值表示该组人均日消费金额，根据统计信息，估计这一天游客人均日消费金额的平均数； (4)从D组，E组中各选取2人，在这4人中再随机抽取2人进行访谈，请利用列表法或树状图法求这2人恰好来自同一组别的概率． 【答案】(1)80；0.15 (2)解：补图如下： (3)450元 (4) 【分析】（1）求出样本容量，减去已知几个组的人数即可求出a的值；用组的人数除以样本容量即可求出b的值； （2）根据（1）中结果补图即可； （3）根据加权平均数定义求解即可； （4）根据题意画出树状图，可分别得到总共有多少种等可能的结果与符合条件的结果，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：样本容量为， ∴， ； （2）略 （3）解：， 答：估计这一天游客人均日消费金额的平均数为450元； （4）解：记D组两人为、；E组两人为、， 画树状图如下： 共12种等可能结果，其中2人恰好来自同一组别的结果为4种， ∴2人恰好来自同一组别的概率为. 题型18 概率的实际应用 86．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【答案】不公平，理由如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，质数有2，3，5，7；被5整除的数有5，10， ∴小丽去的概率为，小华去的概率为． ∵， ∴这个游戏不公平． 游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 【分析】分别计算小丽去的概率和小华去的概率，若概率相等则公平，若概率不相等则不公平；要修改游戏规则达到对双方公平的目的，则应使小丽去的概率和小华去的概率相等． 【详解】解：游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，奇数有1，3，5，7，9；偶数有2， 4， 6， 8， 10； ∴小丽去的概率为，小华去的概率为， ∴游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去，才能对双方公平． 87．某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 88．五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)设计方案如图， 【分析】转盘被等分为，指针落在每个扇形区域的概率等于该区域圆心角与的比值，分别计算各扇形圆心角占的比例，可解答（1）-（4）； （5）由概率之和为1求出七折优惠的概率，再将各概率乘以得到对应圆心角，据此设计转盘． 【详解】（1）解：转盘的圆心角总和为， 七折优惠对应的圆心角为， ． （2）解：20元对应的圆心角为， ． （3）解：中奖得现金包括获得10元或20元两种情况， 对应的圆心角之和为， ． （4）解：谢谢参与对应的圆心角为， ． （5）解：各结果概率之和为1， ， 各扇形对应的圆心角分别为： 七折优惠：， 20元：， 10元：， 谢谢参与：． 设计方案如下：将转盘分成四个扇形区域，七折优惠和20元的圆心角均为，10元的圆心角为，谢谢参与的圆心角为． 图略． 89．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30个．某数学学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球？ 【答案】(1)， (2)0.6 (3) 【分析】（1）根据频率的定义，列式计算即可； （2）利用频率估计概率即可解答； （3）先设取出了个黑球，则放入了个白球，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． （2）解：随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.6附近， 故“摸到白球”的概率的估计值为0.6． （3）解：由（2）可知，“摸到白球”的概率约为0.6， 袋中原有白球的数量为：（个）． 设取出了个黑球，则放入了个白球， 根据题意得，， 解得，． 答：取出了个黑球． 90．为传承中华优秀传统文化，弘扬山西本土非遗魅力，某校精心开展“山西非遗进校园、传统文化润童心”主题实践活动，设置了趣味十足的非遗电子转盘互动游戏．本次游戏所用电子转盘被均匀划分为8个大小一致、形状完全相同的扇形区域，8个区域分别标注有：剪纸、皮影、晋剧、面塑、刺绣、漆器、翼城花鼓及谢谢参与．游戏规则如下：点击按钮即可启动转盘，转盘停止后指针会随机落在任意一个扇形区域内（若指针落在区域分界线上，则本次游戏判定无效，重新转动转盘），游戏胜负判定标准为：若指针最终指向剪纸、皮影、晋剧、面塑四类非遗项目，则本次游戏童童获胜；若指针最终指向刺绣、漆器、翼城花鼓三类非遗项目，则本次游戏年年获胜，请结合概率知识判断这个游戏对童童和年年两人是否公平，并说明理由；若游戏不公平，请你设计一种合理的调整方案，使得游戏规则对双方公平 【答案】不公平． 理由如下： 因为转盘被等分成8个扇形，所以共有8种结果，且每种结果出现的可能性相同． 其中指针指向剪纸、皮影、晋剧、面塑的结果有四种，所以童童获胜的概率为； 其中指针指向刺绣、漆器、翼城花鼓的结果有三种，所以年年获胜的概率为； 因为，所以这个游戏不公平． 修改规则：指针指向剪纸、皮影、晋剧童童获胜；指向刺绣、漆器、翼城花鼓年年获胜． 【详解】略 1．小明参加基础知识、建模能力、思维能力三项测试，其成绩（百分制）依次为85分、90分、92分，对基础知识、建模能力、思维能力分别赋权2，3，5，计算小明的平均成绩，所得结果为（   ） A．85 B．89 C．90 D．92 【答案】C 【分析】本题考查加权平均数的计算，需根据加权平均数的计算公式，将各项成绩与对应权重相乘后求和，再除以权重总和得到结果。 【详解】∵加权平均数计算公式为 ∴小明的平均成绩为（分） 故选C 2．如图为某城市月份空气质量指数的箱线图（说明：值越小，空气质量越好），则下列说法错误的是（　　） A．这个月空气质量指数的最大值为 B．中位数为 C．数据在箱体的右侧比较集中 D．第一四分位数为 【答案】D 【分析】本题考查箱线图的应用，熟记箱线图及相关统计量的意义是解决问题的关键． 由箱线图得到最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为，结合相关统计量逐项分析选项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 最小值为、下四分位数为、中位数为、上四分位数为、最大值为， A、这个月空气质量指数的最大值为，说法正确，不符合题意； B、中位数为，说法正确，不符合题意； C、在箱体中，中位数左侧宽、右侧窄，则数据在箱体的右侧比较集中，说法正确，不符合题意； D、第一四分位数为，选项中原说法错误，符合题意； 故选：D． 3．有一组数据：6，2，4，5，7，这组数据的极差为（　　） A．1 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查极差，熟练掌握极差的定义是解题的关键；因此此题可根据极差是一组数据中最大值与最小值的差，进而问题可求解． 【详解】解：∵数据为6，2，4，5，7， ∴最大值为7，最小值为2， ∴极差为； 故选B． 4．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 【答案】A 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 5．如图，转盘中八个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，请你估计这些事件发生的概率最小的是（     ） A．指针落在标有9的区域内 B．指针落在标有6的区域内 C．指针落在标有奇数的区域内 D．指针落在标有有理数的区域内 【答案】A 【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可． 【详解】解：A、指针落在标有9的区域内的概率是0； B、指针落在标有6的区域内的概率是； C、指针落在标有奇数的区域内的概率是； D、指针落在标有有理数的区域内的概率是1， 故指针落在标有9的区域内的概率最小，选项A符合题意． 6．在一个网约车平台上，某时段共有40辆在线接单的车辆，分为新能源车和燃油车，车辆外观、接单优先级等其他条件完全相同．乘客通过多次打车体验后发现，打到新能源车的频率稳定在附近，则该平台这40辆在线车辆中，新能源车辆约有（     ）辆 A．7 B．12 C．16 D．28 【答案】D 【分析】当频率稳定在某一数值附近时，可用该频率估计概率，再结合总车辆数计算新能源车辆的数量即可． 【详解】解：∵打到新能源车的频率稳定在附近， ∴可估计打到新能源车的概率为， ∵总共有40辆在线车辆， ∴新能源车辆数量约为辆． 7．已知甲、乙两个班的人数相同，在一次数学测试中两个班成绩的箱线图如图所示(满分为150分)，则下列说法错误的是（     ） A．这次测试中两个班均没有满分 B．甲班成绩的下四分位数与乙班成绩的中位数相同 C．甲班成绩的波动比乙班的大 D．乙班成绩的平均分比甲班的高 【答案】B 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：对于A，由图可知甲、乙两班的最高分都未达到150分，所以两班均没有满分，故此选项说法正确，不符合题意； 对于B，甲班成绩的上四分位数与乙班成绩的中位数相同，都是120，故此选项说法错误，符合题意； 对于C，甲班的成绩的箱体比乙班的成绩的箱体更高，所以甲班的成绩比乙班的成绩波动更大，故此选项说法正确，不符合题意； 对于D，由图可知乙班成绩的中位数与甲班成绩的上四分位数相同，并且乙班成绩的最小值与甲班成绩的下四分位数相同，乙班成绩的下四分位数与甲班成绩的中位数几乎相同，说明乙班的平均分比甲班的平均分更高，故此选项说法正确，不符合题意． 8．在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的下四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班成绩的中位数低于二班 【答案】B 【分析】考查知识点为箱线图的特征（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值的含义）；解题关键是明确箱体长度、中位数、最值对应的箱线图元素． 先回忆箱线图的含义：箱体长度反映数据集中程度（越短越集中），箱体下端是下四分位数、中间线是中位数，须线端点是最值．再逐一分析选项． 【详解】选项A：箱线图中，箱体越短代表数据越集中．一班的箱体长度长于二班，因此一班成绩更分散，该选项错误． 选项B：一班成绩的下四分位数对应的是箱体下端，图中一班箱体下端为80分，故该选项正确． 选项C：箱线图的最大值为140分，说明一班成绩的最大值是140分，无同学超过140分，该选项错误． 选项D：一班成绩的中位数是箱体中间线（100分），二班中位数低于100分，因此一班中位数高于二班，该选项错误． 故选：B． 9．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻的亩产量（单位：）并整理如下表： 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（   ） A．100块稻田中亩产量的中位数小于 B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过 C．100块稻田中亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田中亩产量的平均值介于至 【答案】C 【分析】本题考查求中位数，极差和平均数，熟练掌握各数的计算方法是解题的关键，求出中位数，极差和平均值，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由题意，中位数为第50块和第51块的亩产量的平均值，由图可知，第50块和第51块的亩产量的范围均在上，故中位数大于或等于，原结论错误，不符合题意； B、100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例为；原结论错误，不符合题意； C、最小亩产量在至950之间，最大亩产量在至1200之间，，极差最小为，最大为，原结论正确，符合题意； D、，原结论错误，不符合题意； 故选C 10．若把1，3，5，7分成1，3和5，7两组，则它们的组内离差平方和为_______． 【答案】4 【分析】根据组内离差平方和的定义，分别计算两组的离差平方和，再求和得到最终结果． 【详解】解：第一组数据为，，计算本组平均值为， 第一组的离差平方和 第二组数据为，，计算本组平均值， 第二组的离差平方和 ； 总组内离差平方和为：． 11．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）方差为，该顾客选购的鸡蛋的质量方差为，则_____（填＞、=、＜）． 【答案】＞ 【分析】根据方差的意义，方差表示数据波动的大小，原有鸡蛋大小不一，波动更大，选购的鸡蛋大小均匀，波动更小，即可比较两者方差的大小． 【详解】解：由题意可知，货架上原有鸡蛋大小不一，数据波动程度更大，顾客选购的鸡蛋大小均匀，数据波动程度更小，根据方差的意义，波动越大方差越大，波动越小方差越小，因此． 12．某地4家企业在今年第一季度的产值(单位：亿元)分别为8，10，6，7．若按照组内离差平方和最小的原则，把这 4 家企业今年第一季度的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值是____________． 【答案】2 【分析】首先将4个数据从小到大排列为,,,，分组分为两类：1个数据一组、3个数据一组，2个数据一组、2个数据一组，组内离差平方和为两组各自计算每个数据与本组平均数的差的平方和，再相加得到总和，比较所有结果得到最小值． 【详解】解：①计算1个和3个分组的组内离差平方和： 分组：； 分组：； 分组：； 分组：； ②计算2个和2个分组的组内离差平方和： 分组：； 分组：； 分组：； ∵ ∴组内离差平方和的最小值是． 13．已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么，，，，的平均数和方差分别是__________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数，方差的计算，解题的关键是掌握平均数和方差公式．根据平均数，方差公式回答即可． 【详解】解：，，，，的平均数是， ， 设是，，，，的平均数， ， ， ， ， ， ，，，，方差是， ， 令是，，，，的方差，其平均数 ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．一只不透明的袋子中装有个白球，5个红球，这些球除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出1个球，若要使从中摸出白球的概率比摸出红球的概率大，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据概率公式，概率等于所求情况数与总情况数的比，两种球概率的分母相同，则只需白球数量大于红球数量，列出不等式即可求解的最小值． 【详解】解：∵袋子中白球数量为个，红球数量为个， ∴摸出白球的概率为，摸出红球的概率为，且， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为． 15．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为__________ ． 【答案】12 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 16．容器中有A，B，C，3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子．例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子．现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子．给出下列结论： ①最后一颗粒子可能是A粒子；       ②最后一颗粒子一定是C粒子 ③最后一颗粒子一定不是B粒子；    ④以上都不正确 其中正确结论的序号是_____________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③/③① 【分析】假设剩下的是A、B、C粒子，分别讨论，列举结果，进行排除，最终得到结果． 【详解】解：（1）最后剩下的可能是A粒子． 10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子； 9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子； 所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子； 这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子． （2）最后剩下的可能是C粒子． 10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子； 所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子； 这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子． （3）最后剩下的不可能是B粒子． A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况： A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子：（B多1个，A、C共减少两个）； B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子：（B少1个，A、C总数不变）； C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子：（B多1个，A、C共减少两个）； A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变）； A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子：（B多1个，A、C共减少两个）； B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子：（B少1个，A、C总数不变）， 可以发现如下规律： ①从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个．题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次， 由于开始B粒子共有8颗， 所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个， 所以，最后剩下的不可能是B粒子． ②从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个．题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的． 所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查简单的合情推理，需列举，发现规律，是解题的关键． 17．某城市月份空气质量指数的箱线图如图所示． (1)这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数分别是多少？ (2)请分析这个月空气质量的特点． 【答案】(1)解：这个月空气质量指数的最大值是、最小值是、下四分位数是、上四分位数是 (2)解：由箱线图可知，这个月空气质量指数有集中在到之间，分布在到之间，这个月空气质量指数的中位数是，说明这个月空气质量指数有一半低于，中位数右边较长，说明空气质量指数大的部分较分散，空气质量指数小的部分较集中． 【分析】（1）根据箱线图找出这个月空气质量指数的最大值、最小值及四分位数即可； （2）根据箱线图中这个月空气质量指数的最大值、最小值、上四分位数、下四分位数、中位数分析即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购．他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下． 健康监测准确性 运动模式丰富度 电池续航 外观颜值 佩戴舒适度 A 非常好 一般 良好 一般 良好 B 一般 非常好 非常好 非常好 非常好 C 非常好 非常好 良好 一般 良好 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分=4×健康监测准确性+2×运动模式丰富度+电池续航+外观颜值+佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视的一个评分项目是____________； (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表? 【答案】(1)健康监测准确性 (2)小明会选购C款智能手表 【分析】（1）根据评分规则分析即可； （2）分别求出三款手表的得分，取得分最高的手表即可． 【详解】（1）解：健康监测准确性； （2）解：A款智能手表的总分； B款智能手表的总分：； C款智能手表的总分：． 小明会选购C款智能手表． 19．为了解学生科学素养情况，随机抽取，班各名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制，单位：分）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）班成绩如下：、 、 、、、、、、、； （Ⅱ）部分数据如下表： 班级 平均数 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 (1)请计算： ； ； (2)请补全箱线图； (3)小华计算了两个班分数的平均数，发现，得出结论：801班学生科学素养情况要优于802班．你认为合理吗？请结合箱线图，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不合理，理由如下：平均数，只能说明班学生科学素养平均成绩大于班，不能表明班学生科学素养情况要优于班， 由箱线图可得，班的科学素养成绩更集中，波动更小，说明班的科学素养情况要优于班． 【分析】（1）把班的成绩从小到大排序，中位数为第五位，第六位数和的一半，得到前半段的数据，即可得到，； （2）由题意可得，最大值为，最小值为，，，的值，补全箱线图，即可； （3）根据箱线图，进行解答，即可． 【详解】（1）解：把班成绩的成绩从小到大排序：、 、 、、、、、、、； ∴中位数为：； ∴前半段的数据为：、 、 、、； ∴． （2）略 （3）略 20．某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 分数/分 2 5 6 7 8 9 人数/人 4 6 8 8 12 2 表1 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 第二次 b 8 9 c 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2中的统计图补充完整； (2)填空： ， ， ； (3)若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数． 【答案】(1)补全统计图如下： (2)8，8.55， (3)估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数大约为1050人 【分析】（1）用样本容量40乘可得8分人数，进而得出7分人数，补全条形图； （2）分别根据众数、加权平均数以及合格率的定义可得a、b、c的值； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）解：8分人数为：（人），故7分人数为：（人）， 补全统计图略； （2）解：由题意可知，众数， 平均数； 合格率； （3）解：（人）， 答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数大约为1050人． 21．某班40名学生身高的数据信息如图所示． 请回答以下问题： (1)从图中你能直接读出这40名学生身高的平均数、中位数和众数吗？ (2)一定有身高为的学生吗？一定有身高为的学生吗？ (3)依身高将同学们排序，中间的学生其身高处于哪个范围？ (4)不低于的学生在全班学生中占比多少？ 【答案】(1)见详解 (2)一定有身高是的学生，一定没有身高为的学生 (3)中间的学生其身高处于到这个范围 (4)不低于的学生在全班学生中占比 【分析】（1）根据频数分布直方图，平均数，中位数，众数及箱线图可进行求解； （2）根据箱线图可直接进行求解； （3）根据箱线图进行求解即可； （4）先得出身高不低于的学生人数，然后问题可求解． 【详解】（1）解：从图中无法直接得出这40名学生身高的平均数； 由箱线图可知：这组数据的中位数是； 从所给的统计图中无法直接得出众数，只能得出众数所在的组； （2）解：由箱线图可知：最大值是，说明这组数据中最高身高是； ∴一定有身高是的学生，一定没有身高为的学生； （3）解：由箱线图可知：下四分位数是，上四分位数是， ∴中间的学生其身高处于到这个范围； （4）解：不低于的学生人数共有（人）， ∴； 答：不低于的学生在全班学生中占比． 22．某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取名学生，统计竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 乙班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 乙班 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 和 乙班 和 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______，______； (2)请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； (3)按照比赛规定分及以上可以获得奖品，若甲、乙两班学生共人，其中甲班生人，请估计这两个班级可以获得奖品的总人数． 【答案】(1)；； (2)乙班的竞赛成绩更整齐，理由见解析； (3)人． 【分析】（）根据中位数的定义求甲班的中位数，根据平均数的定义求乙班的平均数； （）利用方差的意义，方差越小数据越整齐，通过比较两个班的方差得出结论； （）利用用样本估计总体的方法，先得到样本中分及以上人数的占比，再估算两个班的获奖总人数． 【详解】（1）解：将甲班名学生的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∴个数据的中位数是第个和第个数据的平均数，， ∵乙班名学生成绩总和为， ∴平均数， 故答案为：，； （2）解：乙班的竞赛成绩更整齐，理由如下， ∵甲班的方差为，乙班的方差为，， ∴乙班成绩波动更小，竞赛成绩更整齐； （3）解：由整理数据可知，甲班样本中分及以上的人数为人，占样本的，乙班样本中分及以上的人数为人，占样本的， ∵甲班学生人， ∴乙班总人数为（人）， ∴估计获奖总人数为：（人）， 答：估计这两个班级可以获得奖品的总人数为人． 23．一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)小明从袋子中随机摸一个红球是__________（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)如图，摸到黑球的频率会接近__________（精确到0.1）； (3)估计袋中黑球的个数为__________只； (4)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.75左右，则小明后来放进了__________个黑球． 【答案】(1)不可能事件 (2)0.5 (3)25 (4)50 【分析】（1）根据袋中球的颜色种类，判断摸到红球这一事件发生的可能性； （2）观察统计图，分析随着试验次数增加，黑球频率稳定在哪个常数附近； （3）利用公式：黑球个数总球数黑球频率进行计算； （4）设放入黑球个数为，根据新的频率建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 袋子里只装有黑、白两种颜色的球， 从袋子中随机摸一个红球是不可能事件． 故答案为：不可能事件； （2）解：由统计图可知，当摸球次数越来越大时，摸到黑球的频率波动在附近， 摸到黑球的频率会接近； （3）解：袋中黑球的个数（只）； （4）解：设小明后来放进了个黑球， 由题意得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 小明后来放进了个黑球． 24．某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表： 每批粒数 100 150 200 500 800 1000 发芽的粒数 65 111 136 345 552 发芽的频率 (1) ， ； (2)估计这种油菜籽发芽的概率是 （精确到0.1） (3)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？ 【答案】(1)， (2) (3)在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵 【分析】（1）用发芽粒数除以每批粒数即可算出a，然后变形即可求出b的值； （2）根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率即可得出答案； （3）用种子数乘以发芽率再乘以成秧率即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率； ∵发芽的频率接近， ∴概率估计值为，精确到为； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． 25．一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 【答案】(1) (2)12 (3)4 【分析】（1）根据当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，即可得到答案； （2）设白球估计有x个，列方程求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，所以从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为； （2）解：设白球估计有x个， 根据题意，得， 解得， 白球估计有12个； （3）解：根据题意，得， 解得 经检验是方程的解． 26．抽签方法合理吗？小明认为先抽的人中签的可能性大一些，后抽的可能吃亏；小红认为先抽的人如果没有抽到，那么后抽的中签的可能性不就大了吗？我们一起来探究！有一个不透明的箱子，里面有若干个签（超过1个），其中有一个签画有记号，记为A． (1)小明抽取一次，抽中A签，该事件为______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）． (2)若该箱子中共有2个签，除了A签，还有一个没有记号的B签，不妨让小明先抽，借助表格列出所有可能的情况，判断两人中签的可能性大小是否相同，如下表： 第一次（小明抽的签号） 第二次（小红抽的签号） A B B ____________ 完成表格，小明抽中A签的可能性______小红抽中A签的可能性（填“大于”“小于”或“等于”）． (3)若该箱子中共有3个签，除了A签，还有两个没有记号的B签和C签，不妨让小明先抽，仿照（2）中的方法，列出所有可能的情况，并判断小明与小红谁抽中A签的可能性大？ 【答案】(1)随机事件 (2)A，等于 (3)所有可能的情况有：（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），小明与小红抽中A签的可能性一样大 【分析】（1）根据随机事件的定义判断即可； （2）利用表格列举所有的情况，再利用概率公式求解即可； （3）利用表格列举所有的情况，即可判断． 【详解】（1）解：因为箱子里的签超过1个，所以小明抽中A签的事件是可能发生也可能不发生的，故为随机事件； （2） 第一次（小明抽的签号） 第二次（小红抽的签号） A B B _____A_______ 小明抽中A签的可能性等于小红抽中A签的可能性； （3） 第一次（小明抽的签号） 第二次（小红抽的签号） A B A C B A B C C A C B 共有6种等可能情况，小明与小红抽中A签的可能性一样大． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $