1.1.2 空间向量的数量积运算（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖空间向量数量积运算全知识点，通过梯度题型培养数学运算与直观想象素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|空间向量数量积、夹角等6个基础知识点|基础选择填空，匹配新授课重点考点| |B组|综合运算与应用|含解答题，需结合几何模型，提升逻辑推理能力| |C组|创新情境与跨学科应用|数学文化、建模问题，培养数学抽象与创新意识| |拓展|高考真题|链接高考题型，强化应试能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1.2空间向量的数量积运算 参考答案 A组 巩固过关 知识点01 空间向量的数量积运算 1.B: 2.A: 3.ABC; 知识点02 空间向量的夹角运算 4.D: 5.A: 6.C; 7.D 知识点03 空间向量的模长运算 8.B; 9.A: 10.C: 知识点04 空间向量垂直关系的运算 11.B: 12. 【答案】()10：2)证明见解析：(3)17 【详解】(1)AA.DC=AA.AB=5×4×cos60°=10 (2)证明：因为ADB=A(AB-AD)=A.AB-AAAD =5×4×c0s60°-5×4×c0s60°=10-10=0. 所以AA⊥DB (3)因为AC=AC-AA=AB+AD-AA, 1/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以AC=(AB+AD-A4=AB+AD+A+2AB.AD-2AB.A升-2AD.A, =16+16+25+0-2×4×5×-2×4x5×-17. 1 2 2 所以AC=7 B B 知识点05 空间投影向量的运算 13.B; 14.B: 15.C: 知识点06 空间向量数量积的运算律 16.B 17.ABD B组 能力进阶 一、单选题 1.B; 2.C; 3.C: 4.D: 5.D: 6.D;7.C; 8.B: 二、多选题 9.AD; 10.BC: 11.BCD 三、填空题 12.-1: 13.26; 14.[5-42,5+4W2 四、解答题 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15. 【答案】()AC=a+i+c,V10:(2)90 【分析】(1)根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可： (2)根据空间向量夹角公式进行求解即可： 【详解】(1)因为AB=a,AD=b,AA=c,且BC=AD,CC=A4, 所以AC=AB+BC+CC=AB+AD+AA=a+b+c 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且A4=2,∠AAB=∠AAD=60°， 所以4C=a+5+c=层2+万2+c2+2a-6+2b-c+2ad +1+4+0+2x1x2x,+2x1×2x)=V10. (2)因为底面ABCD是边长为1的正方形，且A4=2,∠AAB=∠AAD=60°， 又由BD=AD-AB=b-a,AA=c, 所以4BD=(6-dc=c.6-ca=2x1x】2x1x0, 2 2 所以cos44,BD) AA·BD AA BD -0,放石卢D的夹角为0 16.【答案】(1)V15:(2)-2 【详解】(1)~AC=A+AB+AD,AB=AA+AB, .AE=(AC+4B)=44+4B+D -++-+41+2x2x22*2x店 1 2 2 (2)由题意得BABE=BA(AE-AB, 又由1)可知正=+)D+4. 则8ME=}D+瓜而-丽4 又AB:AD=0,AB.AA=2×2×cos60°=2， BA·BE=0-2=-2. 17.【答案】(1)2W3:(2)2 3/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据题意可得BM=-店+AD+)A, 利用数量积求模长即可： (2)设CE=ACC,根据向量垂直结合数量积可得九=2，即可得结果. 【详解】四)由腿意可知：网-0-2国=4，店.而：0而=孤.石=2x4×(》4. 因为M=+4M-丽+而+， 则8斯-（西+而+ -AB+AD'+44-24B.AD+AD.44-AB.44 =4+4+4-0-4+4=12, 即BM=2W5,所以BM的长为25 (2)设CE=CC,则AE=AC+CE=AB+AD+A 可得正.BM-(B+0+元a)-孤+D+)d -花+而+看+合0+日刘 44+8-4行-4分小以-4， 若4B⊥BM则正.B丽-8以-4：0解得元= 所以c团-cC=2,即cE的张为2 C组 思维拔高 1 1.D:2.BCD: 3.V2或2： 43;5.(16+162)π： ππ 6.42: 7.√30 8.[0,8] 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1.A:2.C:3.C; 4.BD 515 分层作业 1.1.2空间向量的数量积运算 目 录 A组 巩固过关 知识点01 空间向量的数量积运算（重点） 知识点02 空间向量的夹角运算（重点） 知识点03 空间向量的模长运算（常考点） 知识点04 空间向量垂直关系的运算 知识点05 空间投影向量的运算 知识点06 空间向量数量积的运算律（易错） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 空间向量的数量积运算知识点01 知识点速记： 1. 空间向量的夹角 ⑴定义：两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角； ⑵记法： ⑶范围：通常规定：，当时，。 （特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2. 空间向量的数量积 ⑴定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; ⑵空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 题型巩固练： 1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【详解】依题意可知, . 故选：B 2．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【详解】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ， 故选：A. 3．（多选）（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 空间向量的夹角运算知识点02 知识点速记： 求空间向量的夹角 基本公式，向量夹角的范围是. 注：若求异面直线所成角，结果需取锐角或直角（范围）. 题型巩固练： 4．在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】由题意 ， 又，即，得， 所以． 故选：D． 5．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 6．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 7．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 空间向量的模长运算知识点03 知识点速记： 求空间向量的模长 ⑴数量积法：利用公式，先算向量自身点积再开方； ⑵和差模展开：求时，先算模的平方，再开方. 题型巩固练： 8．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】由可得， 则， 因为为空间两两垂直的单位向量，故， 则． 9．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 10．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 空间向量垂直关系的运算知识点04 知识点速记： 题型巩固练： 11．已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 所以，解得. 12．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求；(2)求证：；(3)求的长． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 空间投影向量的运算知识点05 知识点速记： 1、空间向量在向量上的投影向量 （1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 2、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 题型巩固练： 13．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 14．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 15．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 空间向量数量积的运算律知识点06 知识点速记： 空间向量数量积的运算律 （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 题型巩固练： 16．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 17．（多选）（25-26高二上·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 1、 单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 2．（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 3．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 4．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则 ， 所以. 故选：D 5．（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 6．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】依题意，，而， 所以. 7．（2026高二·全国·专题练习）如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过，，又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以， 同理可得， 所以丝线缠一圈的长度为． 故选：C. 8．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 2、 多选题 9．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算判断A；结合A可得，再根据数量积的运算律判断B；根据，则为异面直线与所成的角，即可判断C；计算，即可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以 ， 所以，即，故B错误； 对于C：因为，，所以， 所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误； 对于D：因为，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：AD 10．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 【答案】BC 【详解】 对于A，如图，在正方体中，不妨设， 此时，但是，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，根据共面向量基本定理，可知C正确； 对于D，设向量之间的夹角为，因， 则，因，则， 故的取值范围为，故D错误. 11．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    3、 填空题 12．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 13．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 所以 ， 故对角线. 14．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算法则，将转化为，则题意求得的取值范围，即可得到的取值范围. 【详解】分别取，的中点，，则，即，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面． 又， 因为三棱锥的棱长均为4，所以三棱锥是正四面体，其每个面均为边长为的正三角形. 所以，. 因为， 所以，. 所以的取值范围为． 4、 解答题 15．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 16．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又， ． 17．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意可得，利用数量积求模长即可； （2）设，根据向量垂直结合数量积可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 1.【数学文化】（24-25高一下·吉林松原·期末）郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】由题意可知：，，， 因为， 则 ， 所以． 故选：D. 2．【新定义问题】（多选）（25-26高二上·山西太原·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 【答案】BCD 【详解】选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系，， ，所以， 故A不正确， 选项B：由，， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为， 且与同向共线，又， 且与同向共线，又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 3．【数学建模】（25-26高二上·河北·期中）如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 【答案】或2 【详解】依题意，，而，， 由AB，CD所在直线所成角为60°，得或， 所以 ， 当时，；当时，. 4．【直观想象】（25-26高二上·上海·期中）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 【答案】 【分析】记该正四面体为，由题意得出球是该正四面体的内切球，球心也是外接球的球心，在高上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径，最大时，是球的直径，由数量积的运算得出取最大值时，只要最大即可得． 【详解】记该正四面体为，如图，由题意球是该正四面体的内切球，    显然在其高上，是底面正的中心，设， 则，， ，得到， 因为是正四面体，则是内切球球心也是其外接球球心， 设内切球半径为，即，又， 由，得，解得， 当最大时，是球的直径， ， 因为点在正四面体的表面上运动，当是正四面体的顶点时， 取得最大值，最大值为， 所以的最大值是． 5．【数学运算】（25-26高二上·上海闵行·期中）从空间中一定点出发的两个向量满足：，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的表面积是___________． 【答案】 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以为顶点，高为4，母线长为的圆锥，从而根据圆锥的表面积公式求解. 【详解】由，得，即， 所以存在实数，使得， 则，解得， 又，，所以在方向上的投影是， 所以围成的空间几何体是以为顶点，高为，母线长为的圆锥， 则其底面半径为， 所以由构成的空间几何体的表面积是. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据，得到数量积及模长，再根据夹角公式结合值域计算，最后应用角的范围求解即可. 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 7．【逻辑推理】（25-26高二上·青海海东·期末）已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为______. 【答案】 【分析】运用空间向量加法的几何意义，结合空间向量数量积的运算性质、二次函数的最值性质进行求解即可. 【详解】因为质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，而且， 所以， 设， 因为， 所以 ， 因为棱柱是正六棱柱， 所以， 因此， 所以 ， 二次函数的开口向上，对称轴为， 因为， 所以当时，二次函数有最小值， 所以当时，质点与之间距离的最小值为. 故答案为： 8．【数学运算】（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球内切于正四面体ABCD，线段MN是球的一条动直径，点是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据向量运算规则将化为的组合表达式，并进一步可得，再将求的取值范围转为求的取值范围即可，而的最大值为正四面体的外接球半径，最小值为正四面体的内切球半径，求出这两个半径即可． 【详解】设内切球球心为O，可知O为MN的中点，则，，， 所以， 设正四面体ABCD的棱长为a，外接球半径为R，如图所示，    可知H为正三角形ABC的外心，则， 在和中，， 解得，， 设正四面体ABCD的内切球半径为r，内切球半径为图中OH，所以， 解得，又的最大值为外接球半径R，最小值为内切球半径r， 所以，进一步可得，即的取值范围为． 1．（2015·北京·高考真题）设，是非零向量，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件，故选A. 考点：充分必要条件、向量共线. 2．（2006·浙江·高考真题）如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】取AC的中点M，连结EM，FM，则，， 又，而，则，所以．故选C． 3．（2004·全国·高考真题）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】由题意可得， . 故选：C 4．（多选）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.2空间向量的数量积运算 目 录 A组 巩固过关 知识点01 空间向量的数量积运算（重点） 知识点02 空间向量的夹角运算（重点） 知识点03 空间向量的模长运算（常考点） 知识点04 空间向量垂直关系的运算 知识点05 空间投影向量的运算 知识点06 空间向量数量积的运算律（易错） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 空间向量的数量积运算知识点01 知识点速记： 1. 空间向量的夹角 ⑴定义：两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角 ⑵记法： ⑶范围：通常规定：，当时，. 2. 空间向量的数量积 ⑴定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; ⑵空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 题型巩固练： 1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 3．（多选）（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 空间向量的夹角运算知识点02 知识点速记： 求空间向量的夹角 基本公式，向量夹角的范围是. 题型巩固练： 4．在空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D．0 5．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 空间向量的模长运算知识点03 知识点速记： 求空间向量的模长 ⑴数量积法：利用公式，先算向量自身点积再开方； ⑵和差模展开：求时，先算模的平方，再开方. 题型巩固练： 8．（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 9．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 空间向量垂直关系的运算知识点04 知识点速记： 题型巩固练： 11．已知是异面直线，且，分别为直线的单位方向向量，且，，，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求；(2)求证：；(3)求的长． 空间投影向量的运算知识点05 知识点速记： 1、空间向量在向量上的投影向量 （1）如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 2、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 题型巩固练： 13．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 空间向量数量积的运算律知识点06 知识点速记： 空间向量数量积的运算律 （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 题型巩固练： 16．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 17．（多选）（25-26高二上·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 1、 单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 4．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 5．（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 7．（2026高二·全国·专题练习）如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过，，又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈的长度为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2、 多选题 9．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 10．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 11．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 3、 填空题 12．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 13．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且，则对角线长为_____ 14．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______． 4、 解答题 15．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 16．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 17．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 1.【数学文化】（24-25高一下·吉林松原·期末）郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D．6 2．【新定义问题】（多选）（25-26高二上·山西太原·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 3．【数学建模】（25-26高二上·河北·期中）如图，某科技公司研发的智能仓储机械臂由空间长均为1米的三段AB、BC、CD构成，A处为机械臂固定基座，机械活动关节B，C处可自由活动，当机械臂处于，，AB，CD所在直线所成角为60°的位置时，A，D两点之间距离为__________米（忽略机械臂粗细，AB、BC、CD均按线段计算）. 4．【直观想象】（25-26高二上·上海·期中）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 5．【数学运算】（25-26高二上·上海闵行·期中）从空间中一定点出发的两个向量满足：，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的表面积是___________． 6．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是______． 7．【逻辑推理】（25-26高二上·青海海东·期末）已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为______. 8．【数学运算】（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球内切于正四面体ABCD，线段MN是球的一条动直径，点是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是__________． 1．（2015·北京·高考真题）设，是非零向量，“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2006·浙江·高考真题）如图，正三棱柱的各棱长都为2，分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是（ ） A．2 B． C． D． 3．（2004·全国·高考真题）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 4．（多选）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $