第1章 3.2 矩形的判定 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦矩形判定三定理及逆用，以“基础理解-综合应用-拓展提升”分层设计，构建从单一判定到跨知识点推理的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|定义判定、三个角直角、对角线相等的平行四边形|直接应用定理证明，如菱形证矩形，强化几何语言规范| |综合应用|判定方法对比、性质与判定逆向运用|结合动态问题（动点t值）、坐标系背景，提升逻辑推理| |拓展提升|直角三角形斜边中线定理逆用|通过中点、中线条件判定直角三角形，深化知识关联|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第一章 特殊平行四边形 3 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 ▌课时目标 1. 理解并掌握矩形的三种判定方法（定义判定、三个角为直角、对角线相等的平行四边形），能根据已知条件灵活选用恰当的判定定理，规范书写判定过程的几何语言。 2. 能综合运用矩形的判定定理和性质进行逻辑推理与几何证明，体会“性质”与“判定”的互逆关系，提升分析图形特征和构造证明思路的能力。 3. 掌握直角三角形斜边中线定理的逆用，能利用“边上的中线等于这边一半”的条件判定直角三角形，并解决相关的几何计算与证明问题。 ▌课时目录 知识点01：矩形的判定定理一：定义判定 知识点02：矩形的判定定理二：有三个角是直角的四边形 知识点03：矩形的判定定理三：对角线相等的平行四边形 知识点04：三种判定方法的适用条件对比 知识点05：矩形判定的证明过程 知识点06：矩形判定与性质的逆向运用 知识点07：直角三角形斜边中线定理的逆用与判定 ▌知识点01：矩形的判定定理一：定义判定 矩形的定义本身就是一种判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。几何语言：在四边形ABCD中，若▱ABCD且∠A＝90°，则四边形ABCD是矩形。 使用条件：必须先证明四边形是平行四边形，再证明其一个角为直角。这是最基础的判定方法，也是后续判定定理证明的依据。 1．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形是平行四边形，平分且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)过点D作于点E，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ； (2)证明：四边形是平行四边形， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义得到，进而得到，利用等腰三角形的性质得出结论即可； （2）先利用平行四边形性质得，结合已知推导得到，进而证明四边形是平行四边形，利用证明四边形是矩形． 【详解】（1）略； （2）略． 2．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知菱形，过点A，D分别作于点E，交延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求此菱形的边长． 【答案】(1)∵菱形， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ∴四边形是矩形； (2)10 【分析】（1）由菱形的性质得到，证明四边形为平行四边形，根据即可得到结论； （2）设菱形边长为x，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：设， ， ， 在中，， ，，， 解得， ∴菱形边长为10． 3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，点是线段的中点， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． ， ， 平行四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先根据两组对边平行判定四边形是平行四边形，再结合，有一个角是直角的平行四边形为矩形完成证明． （2）先求出，由勾股定理算出，再借助三角形面积法，求出线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ∴在中，， ∵四边形是矩形， ，， ， 即， ． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，垂足为，点在边上，．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ，即． ∴四边形为平行四边形． ， ， ∴四边形为矩形． 【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可证明四边形为平行四边形，根据，得出，即可得证． 【详解】略 ▌知识点02：矩形的判定定理二：有三个角是直角的四边形 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C＝90°，则四边形ABCD是矩形。 证明思路：由∠A＝∠B＝90°得∠A＋∠B＝180°，故AD∥BC；由∠B＝∠C＝90°得∠B＋∠C＝180°，故AB∥DC；因此四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）；又∠A＝90°，由定义判定为矩形。 该判定不需要预先证明平行四边形，直接由角的条件即可得出结论，在已知多个角为直角的题型中尤为便捷。 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，D是中点，是的外角的平分线，于E，连接交于F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)∵，D是中点， ∴，， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质求得，，根据是的外角的平分线，推得，再根据矩形的判定定理即可证明； （2）由（1）证明是等边三角形，求出，的长即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知四边形是矩形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴，， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，某数学兴趣小组做了以下探究： 在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：， ①________． 四边形是菱形， ∴，，，． ， ②________． 又∵， 四边形为平行四边形， ③________， ， ④________， ， 四边形为矩形． 【答案】(1)解：如图， (2)，，，， 【分析】（1）根据垂线的基本作图求解即可； （2）首先证明四边形为平行四边形．再利用三个角是直角的四边形是矩形，证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一点，过点作轴于，轴于，连接． (1)求、两点的坐标； (2)求证：四边形是矩形； (3)当点在什么位置时，线段的长度最小？求出这个最小值． 【答案】(1)，； (2)证明：轴于轴于D， ，， 又(坐标轴互相垂直)， 四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）； (3)当点的坐标为时，的最小值为． 【分析】（1）根据题意求得、两点的坐标即可； （2）利用有三个角是直角的四边形是矩形即可证明四边形是矩形； （3）连接，利用勾股定理求得，由（2）得四边形是矩形，当时，取得最小值，此时取得最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ， 令，则， ； （2）略； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴， 由（2）得四边形是矩形， ∴， 当时，取得最小值，此时取得最小值， ∵，， ∴点是的中点， ∴点的坐标为， ∴，即的最小值为． 8．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：； 证明：如图2，过点作的延长线于点，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； (3)解：存在最小值；最小值为；理由如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当取最小值时，，，三点共线，最小值为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴在中，． 【分析】（1）利用含角直角三角形的性质设，则，即可利用勾股定理解出各边的长，过点作于点，证明，得到，即可求出的长，再由三角形面积公式运算即可； （2）过点作的延长线于点，作于点，证明， 得到，，证明四边形是矩形，得到，，即可证出为等腰直角三角形，再利用勾股定理建立关系即可； （3） 在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，证明可得到，即可推出点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，由，可得到当取最小值时，，，三点共线，最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 ▌知识点03：矩形的判定定理三：对角线相等的平行四边形 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：在▱ABCD中，若AC＝BD，则▱ABCD是矩形。证明思路：由平行四边形性质知AB＝DC，BC＝CB，又AC＝BD，可证△ABC≌△DCB（SSS），得∠ABC＝∠DCB；又平行四边形邻角互补（∠ABC＋∠DCB＝180°），故∠ABC＝∠DCB＝90°，由定义判定为矩形。 该判定利用了平行四边形对角线互相平分的性质，再加上相等条件即可推出矩形，在涉及对角线长度比较的题型中优先使用。 9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知对角线互相平分，结合动点运动速度相同可得，从而判定四边形始终为平行四边形．若四边形为矩形，则需对角线相等，即．根据在上的位置关系（相遇前或相遇后），分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ，． 点、的速度相同， ， ， 即． ，， 四边形是平行四边形． 若四边形为矩形，则需． 分两种情况讨论： 情况一：当点、在相遇前时，， 令， 解得； 情况二：当点、在相遇后时，， 令， 解得； 综上所述，当或时，四边形为矩形． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，的对角线，相交于点，，为的中点，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)求的面积． 【答案】(1)证明：在中，，， 为的中点，， 垂直平分， ， ， ， ， 是矩形； (2) 【分析】（1）证明，即可解答； （2）利用勾股定理计算出，再计算矩形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，，， ， ， 矩形的面积为． 11．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，从而得到，进而证明四边形为平行四边形，结合可得，四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质可得，，，由矩形的性质可得，使用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴． 12．（25-26八年级下·重庆万州·期末）如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，，， 、分别是线段、的中点， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 为等边三角形， ∴， ， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，得出四边形是平行四边形，再证是等边三角形，即可得出结论； （2）根据所对的直角边是斜边的一半得出，设，则，根据勾股定理列方程求出的值，再求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴， ∴， 设，则． ∵， ，解得（负值舍去）， ，， ∴，， ∴， ． ▌知识点04：三种判定方法的适用条件对比 判定方法 前提条件 需证条件 适用题型特点 定义判定 已知或易证平行四边形 一个角为90° 题目已给出平行四边形背景，只需补充一个直角条件 三个角为直角 无平行四边形前提 三个角均为90° 题目直接给出多个角的度数，或易证多个角为直角 对角线相等判定 已知或易证平行四边形 两条对角线相等 题目涉及对角线长度或易证对角线等长，如坐标系中计算距离 选择判定方法的原则：优先利用题目中最直接的条件，避免多余证明。例如题目已说明平行四边形且给出对角线相等，则直接用第三种判定；题目给出三个角为直角，则直接用第二种判定。 13．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，且．点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为．下列判断不正确的是（     ） A．当时，四边形是平行四边形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．无论t为何值，四边形都不可能是菱形 【答案】B 【分析】将选项的值代入，计算的值，再逐一判断即可解答． 【详解】解：在矩形中，，，，， A、当时，，， 如图， 此时， ， ， 四边形是平行四边形，A正确，不符合题意； B、当时，，， 如图， 此时， ， 四边形不是菱形，B错误，符合题意； C、当时，，， 如图， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形，C正确，不符合题意； D、根据勾股定理可得， ， ， 无论t为何值，四边形都不可能是菱形，D正确，不符合题意． 14．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得出，根据可证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是矩形； （2）根据中点的定义及矩形的性质得出，，利用勾股定理求出，根据中位线的性质求出，，根据矩形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵为的中点，， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵是的中位线，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 15．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，平分，点O是的中点，连接并延长到点E，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在中，，平分， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）连接，首先证明四边形是平行四边形，得到，，然后利用三线合一得到，，推出，进而证明即可； （2）首先得到，然后利用勾股定理得到，然后利用矩形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 16．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，以为边在第一象限内作等腰直角，且，过C作轴于点D，的垂直平分线l交于点E，交x轴于点G，连接． (1)求点C的坐标； (2)判定四边形的形状，并说明理由； (3)点M在直线l上，使得，点M的坐标为_______________． 【答案】(1) (2)∵是的垂直平分线，， ∴E点横坐标为1， 当时，， ∴，， ∵轴于点D，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵轴， ∴平行四边形是矩形； (3)或 【分析】（1）先求出，，即可得出，，再证明，得出，，即可得出结果； （2）由线段垂直平分线的性质可得E点横坐标为1，求出，即可得出，证明四边形是平行四边形，再结合轴，即可得证； （3）由（1）可得，，即可得出，设，由（2）可得，则，根据，得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A， ∴当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由题意可得， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）略； （3）解：由（1）可得，， ∴， ∵点M在直线l上， ∴设， 由（2）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴，点M的坐标为或． ▌知识点05：矩形判定的证明过程 以“对角线相等的平行四边形是矩形”为例，规范证明过程： 已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD。 求证：▱ABCD是矩形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，BC＝CB（平行四边形对边相等）。 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠ABC＝∠DCB。 又∵▱ABCD中，∠ABC＋∠DCB＝180°（平行四边形邻角互补）， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴▱ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 注意：证明过程要步步有据，每步推理都要注明理由；涉及平行四边形性质时，要明确写出“平行四边形对边相等”或“邻角互补”等具体性质。 17．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在中，与交于点，是上一点，点在的延长线上，且是的中点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，．若，且恰好是的中点．判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)证明：∵中，与交于点，是的中点， ∴，即是的中点， ∴，， ∴． (2)解：四边形是矩形． 证明：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得为的中位线，进而可证． （2）先利用证明，再利用全等三角形的性质和，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 18．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，且． (1)求证；四边形是矩形． (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； (2)48 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，进而证明，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由得，再由矩形的性质得，由勾股定理得，再根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形的面积． 19．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在菱形中，，相交于点O，过点C作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， 又，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）利用菱形的性质，得到和，即可先证四边形为平行四边形，再证四边形为矩形； （2）利用菱形的性质，得到是等边三角形，从而求出，再利用勾股定理求出，通过菱形的对角线互相平分的性质得到，即可利用面积公式求出面积． 【详解】（1）略． （2）解：在菱形中，，，，， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 20．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，的对角线，交于点，于点，交延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． 【答案】(1)证明： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由已知可得，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再由，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证明； （2）根据题意，可求得，再利用角所对直角边等于斜边一半，求得，再利用勾股定理，求得，根据矩形的性质，得到，，，再由勾股定理，求得，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴，由勾股定理，得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 由勾股定理，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点为中点， ∴在中，是斜边上的中线， ∴． ▌知识点06：矩形判定与性质的逆向运用 性质是从“已知矩形”推出边、角、对角线的特征；判定是从“边、角、对角线的特征”推出矩形。 两者互为逆命题，解题时可双向使用： 1. 已知矩形→用性质（四个角为直角、对角线相等且平分）求未知量； 2. 已知三个角为直角或对角线相等→用判定证明是矩形→再用性质求其他量。 例如：已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，先判定为矩形，再利用“对角线相等”求出AC的长度。这种“判定→性质”的链式推理是综合题的常见思路。 21．（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，对角线，且，，点、分别是边、的中点，则的长度是（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】取的中点H，连接，证明四边形是矩形，结合三角形中位线定理以及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，分别交于点，设交于点， ∵点、分别是边、的中点，， ∴分别是三角形，三角形的中位线， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ． 22．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，．若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则下列各点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交x轴于点，设直线l分别交于点H，交y轴于点G， 设直线l的解析式为，可证明四边形和四边形都是矩形，则可求出；利用待定系数法可得直线l的解析式为，则可求出，根据直线将多边形分割成面积相等的两部分，得到，则，据此可求出直线l的解析式为，再逐一判断即可． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点，设直线l分别交于点H，交y轴于点G， 设直线l的解析式为， ∵，，，，，， ∴，轴，轴，轴，轴， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴； ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵直线将多边形分割成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， 在中，当时，，故点不在直线l上， 在中，当时，，故点在直线l上， 在中，当时，，故点不在直线l上， 在中，当时，，故点不在直线l上． 23．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，． ∵点，分别在，的延长线上， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，即， ∴平行四边形是矩形； (2)． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是矩形； （2）根据平行四边形的性质得到，可知，根据平分得到，即，根据等角对等边得到，求出，根据的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：在平行四边形中，， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在矩形中，， ∵， ∴平行四边形的面积为． 24．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图1，在平行四边形中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． 【答案】(1)15 (2)证明：， 四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 四边形是菱形， ， 四边形为矩形．（一个角是直角的平行四边形是矩形）， ， ； (3) 【分析】（1）首先证明四边形是菱形，利用菱形的对角线互相垂直且平分，得到，，利用勾股定理求解即可； （2）首先证明四边形为矩形，利用菱形的性质，矩形的性质，等量代换证明即可； （3）过点D作于点H，利用菱形的面积，性质，矩形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， 四边形是菱形， ，，，相交于点， ，，，， ． （2）略 （3）解：过点D作于点H， 根据菱形的面积，得， ， 解得， ， 四边形是菱形，四边形为矩形， ， ， ． ▌知识点07：直角三角形斜边中线定理的逆用与判定 直角三角形斜边中线定理的逆命题可用于判定直角三角形：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形，且该边为斜边。几何语言：在△ABC中，若CM为AB边上的中线且CM＝AB，则∠ACB＝90°。 证明思路（矩形法）：延长CM到D使MD＝CM，连接AD、BD，则四边形ACBD的对角线互相平分，故为平行四边形；又CD＝AB（由CM＝AB得CD＝AB），故▱ACBD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），因此∠ACB＝90°。 该判定在解决“已知中线与边长关系”的题型中非常有效，无需额外证明。 注意：该判定要求中线必须连接该边的中点，否则不适用。 25．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质求出的长，则可求出的长，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 26．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【答案】 【分析】首先利用三线合一性质得到，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 27．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．若，则的周长为 ____________． 【答案】16 【分析】由三角形中位线定理得到，可证明，得到，则由直角三角形的性质和线段中点的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， ∴的周长． 28．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，在 中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是中点，， ∴在中，， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等腰的中线， ∴是的中点， ∴是的中位线， ∴； (2) 【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线的性质证明为等腰三角形，再利用三线合一的性质证明是的中点，即可通过中位线的性质得到结果； （2）利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∵是中点， ∴在中，． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简矩形的长，再根据正方形面积求出其边长，结合图形得出阴影部分的长和宽，最后利用矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，即矩形空地的长为， ∵四个角的面积均为的正方形， ∴四个角的正方形边长都为， ∴蹦床乐园的长为：，蹦床乐园的宽为， ∴蹦床乐园的面积为：． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期末）在四边形中，，，下列说法能使四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，，可得四边形为等腰梯形或平行四边形，结合矩形的判定，逐一分析各选项即可． 【详解】解：，， 四边形是等腰梯形或平行四边形． 对选项A：若四边形为等腰梯形，为底边，等腰梯形同一底上的角相等，满足，但不是矩形，故A不符合题意． 对选项B： 同理可得， 即四边形四个内角均为直角， 四边形是矩形，故B符合题意． 对选项C：等腰梯形可以满足腰长等于底边长，即，仍为等腰梯形，不是矩形，故C不符合题意． 对选项D：等腰梯形对角线相等，满足，但等腰梯形不是矩形，故D不符合题意． 3．（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得，结合推出，即为等腰三角形；再结合是中点，得，在中，是斜边中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可求． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，对角线互相平分，． 已知，则， 得， 是等腰三角形． 为中点， 等腰中，中线， ， 即是直角三角形． 又为的中点， 在中，斜边中线． ， ． 4．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，在菱形中，，交于点，，于点，且，则菱形的面积为（   ）． A．24 B．48 C．30 D．15 【答案】A 【分析】菱形对角线互相平分，直角三角形斜边中线等于斜边一半，先求出长度，再用勾股定理算出，得到，最后用菱形面积公式求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴是直角三角形． 又∵是中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半， ∴． 已知， ∴， 则． 菱形对角线互相垂直， 即，为直角三角形． 在中，，，由勾股定理： ， ， 菱形面积等于对角线乘积的一半： ． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建莆田·期末）如图，中，平分于点为的中点，连接并延长交于点．若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质可求得，由等腰三角形的性质和角平分线的定义可证得，证明四边形是平行四边形，从而证明，再利用三角形中位线定理可求得的长，则可求得的长． 【详解】解：如图，过作交的延长线于， ∵为的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，， ， ， 又∵， ， ， ∴为的中位线， ， ． 6．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，矩形的面积是20，对角线与交于点，线段经过点且与和分别交于、点，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】5 【分析】由矩形的性质可得，，证明，得出，由此计算即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案 ． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴ ． 8．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在轴上，若，则点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】先求出，，，再分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，通过构造全等三角形求解． 【详解】解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵， ∴， 当点在点左侧时， ∵，， ∴， 过点作，交直线于点，过点作轴，过点作于，过点作于，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， 设， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴； 当点在点的右侧时， 作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 三、解答题 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，．是边的中点，是内一点，且．连接并延长，交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】先利用直角三角形斜边中线性质结合平行线通过等量代换推导，证出，再由等腰三角形三线合一得到，通过证明得到长度，最后用线段相减依次算出、的长． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， ∵是边的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； (2)当的面积为时，求t的值； (3)请直接写出的面积满足时t的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)的取值范围是或． 【分析】（1）分，，三种情况分别求解即可； （2）当的面积为时，得或，求解即可； （3）当时，若，则，若，则，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 综上，； （2）解：当的面积为时，得： 或， 解得：或； （3）解：当时， 若，则， 解得：， 若，则，不满足条件， 若，则， 解得：， ∴的取值范围是或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训练 第一章 特殊平行四边形 3 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 ▌课时目标 1. 理解并掌握矩形的三种判定方法（定义判定、三个角为直角、对角线相等的平行四边形），能根据已知条件灵活选用恰当的判定定理，规范书写判定过程的几何语言。 2. 能综合运用矩形的判定定理和性质进行逻辑推理与几何证明，体会“性质”与“判定”的互逆关系，提升分析图形特征和构造证明思路的能力。 3. 掌握直角三角形斜边中线定理的逆用，能利用“边上的中线等于这边一半”的条件判定直角三角形，并解决相关的几何计算与证明问题。 ▌课时目录 知识点01：矩形的判定定理一：定义判定 知识点02：矩形的判定定理二：有三个角是直角的四边形 知识点03：矩形的判定定理三：对角线相等的平行四边形 知识点04：三种判定方法的适用条件对比 知识点05：矩形判定的证明过程 知识点06：矩形判定与性质的逆向运用 知识点07：直角三角形斜边中线定理的逆用与判定 ▌知识点01：矩形的判定定理一：定义判定 矩形的定义本身就是一种判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形。几何语言：在四边形ABCD中，若▱ABCD且∠A＝90°，则四边形ABCD是矩形。 使用条件：必须先证明四边形是平行四边形，再证明其一个角为直角。这是最基础的判定方法，也是后续判定定理证明的依据。 1．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，四边形是平行四边形，平分且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)过点D作于点E，若，求证：四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知菱形，过点A，D分别作于点E，交延长线于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求此菱形的边长． 3．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，点是线段的中点，，，，垂足为点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，垂足为，点在边上，．求证：四边形为矩形． ▌知识点02：矩形的判定定理二：有三个角是直角的四边形 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：在四边形ABCD中，若∠A＝∠B＝∠C＝90°，则四边形ABCD是矩形。 证明思路：由∠A＝∠B＝90°得∠A＋∠B＝180°，故AD∥BC；由∠B＝∠C＝90°得∠B＋∠C＝180°，故AB∥DC；因此四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）；又∠A＝90°，由定义判定为矩形。 该判定不需要预先证明平行四边形，直接由角的条件即可得出结论，在已知多个角为直角的题型中尤为便捷。 5．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，D是中点，是的外角的平分线，于E，连接交于F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 6．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）如图，某数学兴趣小组做了以下探究： 在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：， ①________． 四边形是菱形， ∴，，，． ， ②________． 又∵， 四边形为平行四边形， ③________， ， ④________， ， 四边形为矩形． 7．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点为直线上一点，过点作轴于，轴于，连接． (1)求、两点的坐标； (2)求证：四边形是矩形； (3)当点在什么位置时，线段的长度最小？求出这个最小值． 8．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． ▌知识点03：矩形的判定定理三：对角线相等的平行四边形 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：在▱ABCD中，若AC＝BD，则▱ABCD是矩形。证明思路：由平行四边形性质知AB＝DC，BC＝CB，又AC＝BD，可证△ABC≌△DCB（SSS），得∠ABC＝∠DCB；又平行四边形邻角互补（∠ABC＋∠DCB＝180°），故∠ABC＝∠DCB＝90°，由定义判定为矩形。 该判定利用了平行四边形对角线互相平分的性质，再加上相等条件即可推出矩形，在涉及对角线长度比较的题型中优先使用。 9．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 10．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，的对角线，相交于点，，为的中点，连接，． (1)求证：四边形为矩形； (2)求的面积． 11．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 12．（25-26八年级下·重庆万州·期末）如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的周长． ▌知识点04：三种判定方法的适用条件对比 判定方法 前提条件 需证条件 适用题型特点 定义判定 已知或易证平行四边形 一个角为90° 题目已给出平行四边形背景，只需补充一个直角条件 三个角为直角 无平行四边形前提 三个角均为90° 题目直接给出多个角的度数，或易证多个角为直角 对角线相等判定 已知或易证平行四边形 两条对角线相等 题目涉及对角线长度或易证对角线等长，如坐标系中计算距离 选择判定方法的原则：优先利用题目中最直接的条件，避免多余证明。例如题目已说明平行四边形且给出对角线相等，则直接用第三种判定；题目给出三个角为直角，则直接用第二种判定。 13．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，且．点P从点A出发，以的速度沿向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为．下列判断不正确的是（     ） A．当时，四边形是平行四边形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．无论t为何值，四边形都不可能是菱形 14．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 15．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，平分，点O是的中点，连接并延长到点E，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 16．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，以为边在第一象限内作等腰直角，且，过C作轴于点D，的垂直平分线l交于点E，交x轴于点G，连接． (1)求点C的坐标； (2)判定四边形的形状，并说明理由； (3)点M在直线l上，使得，点M的坐标为_______________． ▌知识点05：矩形判定的证明过程 以“对角线相等的平行四边形是矩形”为例，规范证明过程： 已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD。 求证：▱ABCD是矩形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，BC＝CB（平行四边形对边相等）。 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠ABC＝∠DCB。 又∵▱ABCD中，∠ABC＋∠DCB＝180°（平行四边形邻角互补）， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴▱ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 注意：证明过程要步步有据，每步推理都要注明理由；涉及平行四边形性质时，要明确写出“平行四边形对边相等”或“邻角互补”等具体性质。 17．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在中，与交于点，是上一点，点在的延长线上，且是的中点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)连接，．若，且恰好是的中点．判断四边形的形状，并证明． 18．（25-26八年级下·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，且． (1)求证；四边形是矩形． (2)若，，求平行四边形的面积． 19．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在菱形中，，相交于点O，过点C作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 20．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，的对角线，交于点，于点，交延长线于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． ▌知识点06：矩形判定与性质的逆向运用 性质是从“已知矩形”推出边、角、对角线的特征；判定是从“边、角、对角线的特征”推出矩形。 两者互为逆命题，解题时可双向使用： 1. 已知矩形→用性质（四个角为直角、对角线相等且平分）求未知量； 2. 已知三个角为直角或对角线相等→用判定证明是矩形→再用性质求其他量。 例如：已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，先判定为矩形，再利用“对角线相等”求出AC的长度。这种“判定→性质”的链式推理是综合题的常见思路。 21．（25-26八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，对角线，且，，点、分别是边、的中点，则的长度是（     ） A． B． C． D．不确定 22．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，．若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则下列各点在直线上的是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）如图，在中，平分．已知交的延长线于点，交延长线于点． (1)证明：四边形为矩形； (2)若，，求的面积． 24．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图1，在平行四边形中，，，，，相交于点，且，，连接． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，设与相交于点，连接，求的长． ▌知识点07：直角三角形斜边中线定理的逆用与判定 直角三角形斜边中线定理的逆命题可用于判定直角三角形：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形，且该边为斜边。几何语言：在△ABC中，若CM为AB边上的中线且CM＝AB，则∠ACB＝90°。 证明思路（矩形法）：延长CM到D使MD＝CM，连接AD、BD，则四边形ACBD的对角线互相平分，故为平行四边形；又CD＝AB（由CM＝AB得CD＝AB），故▱ACBD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），因此∠ACB＝90°。 该判定在解决“已知中线与边长关系”的题型中非常有效，无需额外证明。 注意：该判定要求中线必须连接该边的中点，否则不适用。 25．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则的长为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 26．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 27．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．若，则的周长为 ____________． 28．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）如图，在 中，，是的中点，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海崇明·期末）在四边形中，，，下列说法能使四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东德州·期末）如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·四川巴中·期末）如图，在菱形中，，交于点，，于点，且，则菱形的面积为（   ）． A．24 B．48 C．30 D．15 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建莆田·期末）如图，中，平分于点为的中点，连接并延长交于点．若，则线段的长为______． 6．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，矩形的面积是20，对角线与交于点，线段经过点且与和分别交于、点，若，则图中阴影部分的面积为_________． 7．（2026·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 8．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在轴上，若，则点的坐标为___________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，．是边的中点，是内一点，且．连接并延长，交于点，若，求的长． 10．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在矩形中，，点O是边上的定点，且．动点P从点C出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点B停止．设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)求点Р在整个运动过程中，S与t之间的函数表达式，并写出对应的自变量t的取值范围； (2)当的面积为时，求t的值； (3)请直接写出的面积满足时t的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $