25.3　实际问题与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“几何图形问题与一元二次方程”，通过“知识关联”复习解一元二次方程方法及列方程步骤，结合几何图形公式，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点是以“探究与应用”为主线，通过连续正整数直角三角形、靠墙围养鸡场等实例，引导学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理求解、用数学语言表达模型，培养抽象能力、推理意识和模型意识。小结清晰，检测题典型，助力学生提升应用能力，为教师提供高效教学资源。

第二十五章　一元二次方程 25.3　实际问题与一元二次方程 第2课时　传播与平均变化率问题 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 知识关联 ①审题;②设未知数;③根据等量关系列方程;④解方程;⑤检验并写出答案. 在列方程解应用题时，一般步骤有哪些? 知识关联 【情境问题】 1. 谚语 “ 一传十、十传百、百传千千万 ” 的意思是什么? 2. 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是50分，第二次月考数学成绩增长了20%，第三次月考数学成绩又增长了20%，你能列式表示出小明第三次月考数学成绩是多少吗? 思考： 【探究1】 传播问题 【操作尝试】 探究与应用 某种传染病的传染速度很快。如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了几个人? 分析 : 设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 1+x 开始有1个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有　　　　个人被传染；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有　　　　 个人被传染.  1+x+x（1+x） 列出方程，得1+x+x(1+x)=121. 解得x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）. 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 【尝试交流】 探究与应用 思考1 : 如果按照这样的传染速度，经过三轮感染后共有多少个人患流感？ 【探究1】 传播问题 （1+x）2+x（1+x）2=（1+x）3 第n轮的传播后的量=传播前的量×(1+传播速度)n 思考2 : 经过n轮感染后呢？ 助力教学 (authorId_373264932) - 1.问题的设置让学生直观感性地认识到传播是递增的,速度非常快. 2.由特殊到一般的延伸和设计,提高学生的数学思维能力,为后面学习列方程解实际问题做好铺垫. 3.教师做好归纳和规律总结,为学生解答问题提供方法. 【理解应用】 探究与应用 例1 某植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支。如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支? 解 : 设支干的数量为x个，则 答 : 每个支干会长出9个小分支. 小分支的数量为x·x=x2个. 根据题意，得1+x+x2=91, 解得x1=9，x2=-10(不合题意，舍去). 【探究2】平均变化率问题 【尝试交流】 探究与应用 两年前生产1 t甲种食品的成本是10000元，生产1 t乙种食品的成12000元。随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种食品的成本是6000元，生产1 t乙种食品的成本是7200元。哪种食品成本的年平均下降率较大? 分析: 1.容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为(10000-6000)÷2=2000(元)， 乙种食品成本的年平均下降额为(12000-7200)÷2=2400(元). 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大，但年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数). 2.若设甲种食品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种食品成本应怎样表示？两年后呢? 则一年后甲种食品成本为5000（1-x）元，两年后甲种食品成本为5000（1-x）2元． 【探究2】 平均变化率问题 探究与应用 解：设甲种食品的年平均下降率为x.根据题意，可列方程 5000 ( 1－x )2 = 3000， x1≈0.225，x2≈1.775. 答：根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5％. 为什么选择22.5%作为答案？ 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降; 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下率一定大吗?应怎样全面比较几个对象的变化情况? 助力教学 (authorId_373264932) - 思考:1.为什么选择22.5%作为答案? 2.请计算乙种食品成本的年平均下降率,并比较两种食品成本的年平均下降; 3.经过计算,你能得出什么结论?成本下降额大的食品,它的成本下率一定大吗?应怎样全面比较几个对象的变化情况? 师生活动:教师给予学生充足的时间考虑问题并解答问题,使学生能够真正理解问题的解答方法,教师做好个别指导. 师生共同归纳:平均增长率(或下降率)问题:若基数为a,增长(或下降)率为x,n为增长(或下降)次数,b为变化后的结果,其基本关系式是a(1±x)n=b. 【探究2】 平均变化率问题 探究与应用 【概括新知】 若基数为a，增长(或下降)率为x，n为增长(或下降)次数，b为变化后的结果， 其基本关系式是a(1±x)n=b. 平均增长率(或下降率)问题: 平均变化率问题的注意事项： 增长时，变化率没有限制， 降低时，变化率要小于1 【理解应用】 探究与应用 例2 　劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克。若平均每年的增产率相同，求平均每年的增产率. 解 : 设平均每年的增产率为x. 答 : 平均每年的增产率为10%. 根据题意，得300(1+x)2=363, 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意,舍去). 【小结】 课堂小结与检测 列一元二次方程解应题 传播问题 平均变化率问题 数量关系：第n轮传播后的量= 传播前的量×(1+传播速度)n 常列方程：a(1±x)n=b 【检测】 B 课堂小结与检测 1. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感, 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【 检测】 课堂小结与检测 2. 某企业2024年获利润300万元，计划到2026年利润达到507万元。 设这两年的年利润的平均增长率为x，应列方程是 ( ) A.300(1+x)=507 B.300(1+x)2=507 C.300(1+x)+300(1+x)2=507 D.300+300(1+x)+300(1+x)2=507 B 【 检测】 课堂小结与检测 10% 3 . 某种商品经过两次降价后，价格为降价前的81%，则平均 每 次降价　　 .  【 检测】 课堂小结与检测 4 . 某公司最近的各项经营中，一季度的营业额为200万元，三季度的营业额为450万元，如果平均每季度营业额的增长率相同，求平均季度营业额的增长率. 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%． 200(1+x)2=450， 解这个方程，得 x1=-2.5（舍去），x2=0.5. 【 检测】 课堂小结与检测 5 . 某电脑病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染。每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑? 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑. 依题意，得 6(1+x)2 =2400， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑. 解得x1=19 或 x2=-21 (舍去). $第二十五章　一元二次方程 25.3　实际问题与一元二次方程 第1课时　几何图形问题 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 问题2: 列一元一次方程解应用题的步骤? 知识关联 问题1: 解一元二次方程有哪些方法? 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法. ①审题; ②设出未知数; ③根据等量关系列方程; ④解方程; ⑤检验并写出答案. 知识关联 【情境问题】 关于几何图形的体积、面积和周长，你知道哪些常见图形的计算公式?分别是什么? 下面我们用图形的一些计算公式建立数学模型，解决一些涉及几何图形的实际问题. 助力教学 (authorId_373264932) - 这里可以回忆 三角形，平行四边形，菱形等 面积公式，圆形也可以 【探究1】 直角三角形边的数量关系 【操作尝试】 探究与应用 问题1：勾股定理如何用字母表示? 问题2：勾股定理反映的是哪种三角形三边之间的数量关系? a2+b2=c2 直角三角形三边之间的数量关系 【尝试交流】 探究与应用 问题3：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这 样的三角形有多少个?　 【探究1】 直角三角形边的数量关系 分析:(1)怎样理解“连续”这个词? (2)能否用含有相同未知数的量，表示这三个连续正整数? (3)直角三角形的三边有怎样的数量关系？能用等式表示吗? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x、x+1、x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=-1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3、4、5. 【理解应用】 探究与应用 例1 如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否 存在点E，使得∠DEC为直角? 解：存在. 设AE=x，则BE=4-x. 在Rt△DEC中，根据勾股定理，得 DE2+CE2=CD2，即x2+12+12+(4-x)2=42, 整理，得x2-4x+1=0，解得x1=2+ ，x2=2- . 故AB上存在点E使得∠DEC为直角. 【探究2】几何规则图形的面积问题 【尝试交流】 探究与应用 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一? 分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度。设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该邻边长，再利用面积列方程求解. 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边为(20-x)m；再由矩形的面积为96 m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 思考1：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区城? 通过计算可知，方程虽然有两个根，但这样的矩形是唯一。 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m、12 m. 【探究2】几何规则图形的面积问题 【思考交流】 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解上述问题吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 探究与应用 思考2：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如: (2)可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10-x)m. (1)可设一边长为x m，那么其邻边长为 m; 助力教学 (authorId_373264932) - 1)学生对几何图形的分析能力; (2)学生在未知数的选择上,能否根据情况灵活处理; (3)在讨论中能否互相合作; (4)解一元二次方程的能力; (5)学生回答问题时的语言表达是否准确 【理解应用】 探究与应用 例2 图是矩形养鸡场的平面示意图，其中一面靠墙，另外三面用竹篱笆围成。若竹篱笆总长为35 m，所围矩形养鸡场的面积为150 m2，则此矩形养鸡场的长、宽分别为多少? 解：设矩形养鸡场的平行墙的一边长为x m，则与它相邻的边为 (35-x)m. 根据题意，得 x(35-x)=150, 解得x1=15，x2=20. 答：矩形养鸡场的长、宽分别为15 m、10 m, 或20 m、7.5 m 【小结】 课堂小结与检测 几何图形与一元二次方程问题 三角形勾股定理 矩形面积问题 【检测】 课堂小结与检测 1. 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(　　) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 C 【 检测】 课堂小结与检测 2. 如图，在长为30米、宽为20米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.若耕地面积为551平方米，则修建的道路的宽为 ( ) A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 A 【 检测】 课堂小结与检测 3. 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的矩形，a的值不可能是 ( ) A.20 B.40 C.100 D.120 D 4. 一个菱形的两条对角线之和是10，面积是12，求这个菱形的周长. 答案: 【 检测】 课堂小结与检测 5. 一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗?如果存在，有多少个? 答案：存在1个满足条件的三角形，其三边长分别是5、12、13。 解 : 设斜边的长为x，则两条直角边的长分别为x-1和x-8 根据勾股定理可得(x-8)2+(x-1)2 = x2 整理得x2-18x+65=0 解得x1= 13，x2=5。 当x=13时，x-1=12，x-8=5，符合题意 当x=5时，x-8=-3，不符合题意，舍去。 $第二十五章　一元二次方程 25.3　实际问题与一元二次方程 第3课时　比赛问题 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 几何图形问题、传染与平均变化率问题 知识关联 问题1: 解一元二次方程有哪些方法?怎样选择恰当的方法解方程? 问题2 :列方程解应用题，我们讲过了哪几种类型? 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【探究】 比赛问题 【操作尝试】 探究与应用 问题1: 要组织一次排球邀请赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,组织者应邀请多少支球队参加比赛? 3.每两个队之间都要比赛一场，全部比赛共全部比赛共 x(x-1)场; 4.可列方程为: x(x-1)=28. 2.每个队都要比赛(x-1)场; 分析:设应邀请x个队参赛. 1.每个队要与(x-1)个队进行比赛; 【尝试交流】 探究与应用 问题2 ：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好 是300，他算得对吗？为什么?　 【探究】 比赛问题 分析 : 双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛。如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n-1). 由于1201不是完全平方数, ∴n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 解 : 假设这个人算得对， 即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n(n-1)=300. 解方程，得 【理解应用】 探究与应用 例 一次会议上有若干人，每两人之间都握手一次，共握手10次,有多少人参加会议? 解：设这次聚会共有x人参加， 依题意，得 （x-1）=10， 整理，得2--20=0， 解得：1=5，2=-4（不符合题意，舍去）． 答：这次聚会共有5人参加． 【理解应用】 探究与应用 变式2 . 某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛90场，那么共 有多少个球队参加比赛? 答案 : 10个 变式1. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次, 则有多少人参加酒会? 答案 : 11人 计数问题的关键是:是否会出现重复，主客，互送表重复 【小结】 课堂小结与检测 列一元二次方程解应题 比赛问题 双循环比赛：n(n-1) 相似类型：送礼物等 单循环比赛： n(n-1) 相似类型：握手 等 【检测】 答 : 有8家公司参加商品交易会。 课堂小结与检测 1. 在一次商品交易会上，参会的每两家公司之间都签订了一份 合同，所有公司共签订了28份合同，共有多少家公司参加商 品交易会? 解 : 设有x家公司参加商品交易会。 根据题意，可列方程: x(x-1)=28 解得x1=8，x2=-7(舍去)。 【检测】 课堂小结与检测 2. 在一个交流群里，每两个网友之间都发一条信息，共发了28 条信息，这个群里有多少个网友? 答 : 这个群里有8个网友。 解 : 设这个群里有x个网友 根据题意，可列方程 x(x-1)=28 解得x1=8，x2= -7。 因为网友的人数不能为负数，所以舍去x2=7 【 检测】 课堂小结与检测 3.某校要组织足球联赛，每两队之间都进行两场比赛。如果全 校一共进行90场比赛，那么有多少支球队参加比赛? 答 : 有10支球队参加比赛. 解：设有x支球队参加比赛. 依题意，得x(x-1)=90. 解得x1=10，x2=-9(不合题意,舍去) 【 检测】 课堂小结与检测 4.随着中考结束，初三某毕业班的每一名同学都向其他同学赠 送一张自己的照片留作纪念，全班共送了1980张照片，则该 班有多少名同学? 答：该班有45名同学 解：设该班有x名同学 依题意，得x(x-1)=1980 解得x1=45，x2=-44(不合题意,舍去) $