30.1.2 圆的切线 (2) 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“圆的切线（2）”，核心知识点为切线长定理及过圆外一点作圆的切线。课堂导入通过复习过圆上点作切线的尺规步骤，引导思考过圆外点作切线的方法，搭建从已有知识到新知的学习支架，逐步引出切线长概念及定理。 其亮点在于以尺规作图发展几何直观与空间观念，通过定理证明培养推理能力，设置例题、跟踪训练及综合实践题强化应用意识。例如例1结合切线性质与直角三角形计算，变式训练通过切线长等量代换求周长，帮助学生用数学思维解决问题，教师可借助系统资源提升教学效率，学生能在探究中发展创新意识。

第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2 圆的切线 (2) 人教版九年级上册 复习 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线？ 如图，圆心为 O，圆上已知点为 P. ① 连接 OP 并延长； ② 以点 P 为圆心，适当长为半径作弧，交射线 OP 于点 A，B； ③ 分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于点C，作直线CP，即所求作的切线. O P 课堂导入 思考：那你知道如何过圆外一点作圆的切线吗？如图 ，P 是 外一点，如何过点P 作 的切线？ 因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过点 𝑃且与相切， 所以需在上确定一点 𝐴， 满足𝑂𝐴⊥𝐴𝑃，即 ∠𝑂𝐴𝑃=90°. 由此可知，点 𝑂，𝑃，𝐴 可以确定一个圆， 𝑂𝑃是这个圆的直径. 因此以 𝑂𝑃为直径作圆，该圆与的交点即为所要确定的点. P O A 请你根据上面的想法，用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 90°的圆周角所对的弦是直径 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 P O 如图 ：(1) 连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN，与 OP 交于点 C； (2) 以点 C 为圆心，CO 为半径作圆，与 相交于 A，B 两点； (3) 作直线 PA，PB，即所求作的切线. M N C A B 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切.我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA，PB的长），叫作这点到圆的切线长. P O M N C A B 注意：切线是一条直线，无法度量， 切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 如图，连接  和 . ∵  和  是  的两条切线， ∴ ，. 又 ，， ∴ Rt△POA ≌ Rt△POB， ∴ ，. 思考：如图，PA，PB 是  的两条切线，切点分别为 A，B，过点 O，P 作直线 OP. 线段 PA 与 PB，∠APO 与 ∠BPO 有什么关系？ 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言： ∵PA和PB是的两条切线，A，B是切点， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 解：如图，连接 . ∵ ， 是  的两条切线，， 是切点， ∴ ，，. 又 ， ∴ ， ∴  是等边三角形， ∴ . 又 在 Rt△POA 中，∠APO = 30°，OP = 2， ∴ OA = 1，PA = ， ∴ △PAB 的周长为 . 如图 ，， 是  的两条切线，， 是切点，连接 . 若 ，，求  的周长. 例1 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 如图， 是  的切线，切点分别是 P，C，D. 若 AB=10，AC=6，则 BD 的长是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 跟踪训练 解析：∵ AC，AP 为 的切线， ∴ AC=AP=6. ∵ BP，BD 为 的切线， ∴ BP=BD， ∴ BD=PB=AB-AP=10-6=4. B 知识点1 旋转的相关概念 新知讲解 切线长 切线长定理 *尺规作图 *切线长定理 过圆外一点作圆的切线. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 课堂小结 1.下面是“过圆外一点P作☉O的切线”的尺规作图的方法：①连接OP；②分别以点O，P为圆心，大于OP的长为半径作弧，两弧相交于A，B两点，作直线AB，交OP于点M；③以点M为圆心，OM为半径画圆，交☉O于C，D两点；④作直线CP，DP，直线CP，DP即为所求.上述方法通过判定 得到直线CP，DP是☉O的切线.  ∠OCP＝∠ODP＝90° 随堂练习 B层 提升练 A层 基础练 2.如图，在正方形网格中，☉O的半径OA为4，且O，A，B均在同一水平线的格点(网格线的交点)上，AB＝2，连接OB. (1)尺规作图：在OB上方作☉O的切线BD交☉O于点D；(保留作图痕迹，不写作法) (2)求BD的长. 解：(1)作图略. (2)BD＝2. B层 提升练 A层 基础练 3.如图，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于点A，B.若∠AOB＝122°，则∠APO＝( ) A.68° B.58° C.29° D.22° C B层 提升练 A层 基础练 4.如图，AB，AC，BD是☉O的切线，切点分别为P，C，D.若AB＝10，AC＝6，则BD的长是　 　. 　4　 B层 提升练 A层 基础练 如图，PA，PB分别切☉O于点A，B，MN切☉O于点C，分别交PA，PB于点M，N.若PA＝7.5 cm，则△PMN的周长是　 　cm.  　15　 B层 提升练 A层 基础练 5.[开放题]如图所示，PA，PB是☉O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交☉O于点D，交AB于点C.根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明. 略 B层 提升练 A层 基础练 6.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以点D为圆心，AD为半径的圆弧恰好与BC相切，切点为E.若AB＝1，BC＝3，则阴影部分的面积是( )  A.4π B.2π C.2π D.3π C B层 提升练 A层 基础练 7.如图，∠APB＝60°，半径为a的☉O切PB于点P.若将☉O在PB上向右滚动，则当滚动到☉O与PA也相切时，圆心O移动的水平距离是  　.  a B层 提升练 A层 基础练 8.如图，☉O的直径AB＝18，AC和BD是☉O的两条切线，CD与☉O相切于点E，且与AC，BD分别相交于点C，D，设AC＝x，BD＝y，求xy的值.   解：xy＝81. B层 提升练 A层 基础练 9.[新课标—综合与实践题]在数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，尝试用不同的方法利用尺规过圆外一点P作☉O的两条切线. 小红提出：①连接PO并延长，分别交☉O于点B，C；②以点O为圆心，BC的长为半径画圆；③以点P为圆心，PO的长为半径画圆，两圆交于点D，E；④连接OD，OE，分别交☉O于点F，H；⑤连接PF，PH，则PF，PH即为所求. B层 提升练 A层 基础练 小明提出：①连接PO并延长到点D，使OD＝PO；②以点D为圆心，☉O的直径长为半径画圆；③以点O为圆心，OP的长为半径画圆，交②中所画圆于点E，F；④连接PE，PF，则PE，PF即为所求. 任务1　请你任意选择以上一种方法在图1中用无刻度的直尺和圆规过点P作☉O的两条切线，并说明该方法成立的理由.(不写作法，保留作图痕迹) 图1 B层 提升练 A层 基础练 解：任务1(选择其一即可)按小红方法作图如图1所示，理由略. 图1 按小明方法作图如图2所示，理由略. 图2 B层 提升练 A层 基础练 任务2　请在图2中，用不同于小红、小明提出的方法，用无刻度的直尺和圆规过点P作☉O的一条切线PQ.(保留作图痕迹，不需证明) 图2 任务2如图3，PQ即为所求.(答案不唯一，合理即可) 图3 B层 提升练 A层 基础练 $